广东省汕头市潮阳五南中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省汕头市潮阳五南中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知p：则p是q的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略2.已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知p:<1,q:(x-a)(x-3)>0,若?p是?q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(

)A.[1,+∞)

B.[1,3]

C.[3,+∞)

D.

(-∞,1)参考答案：A4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90°，DA=DC=．现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是（）A． B． C． D．12π参考答案：A【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】根据两平面的形状寻找外球球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径，从而可得出球的体积．【解答】解：在图2中，取AC的中点E，连结DE，BE，∵AD=CD，∴DE⊥AC，∵平面ACD∩平面ABC=AC，平面ACD⊥平面ABC，DE?平面ACD，∴DE⊥平面ABC，∵∠ABC=90°，∴棱锥外接球的球心O在直线DE上，∵AD=CD=，AB=BC=2，∠ABC=90°，∴BE=AE=CE=AC=，DE==2，设OE=x，则OD=2﹣x，OB==，∴2﹣x=，解得x=，∴外接球的半径r=2﹣x=，∴外接球的体积V==×（）3=．故选A．5.若函数是函数的反函数，其图像经过点，则

（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：B6.如图,若程序框图输出的S是126，则判断框①中应为

（）A．

B．C．

D．参考答案：B略7.已知集合

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3参考答案：B略8.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】29：充要条件．【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A9.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1为底面的中心，则O1A与上底面A1B1C1D1所成角的正切值是（）A．1B．C．D．2参考答案：C【考点】直线与平面所成的角．【专题】空间角．【分析】连结A1C1，则∠AO1A1即为O1A与上底面A1B1C1D1所成角的平面角，利用勾股定理得A1O1，在Rt△AA1O1中利用tan∠AO1A1=计算即可．【解答】解：连结A1C1，则∠AO1A1即为O1A与上底面A1B1C1D1所成角的平面角，设该正方体的边长为a，则A1C1=a，∴A1O1=A1C1=a，在Rt△AA1O1中，tan∠AO1A1==，故选：C．【点评】本题考查线面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于基础题．10.已知复数，则（

）A．5

B．

C．-3

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．参考答案：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．12.方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标．若方程的各个实根所对应的点是均在直线的同侧，则实数的取值范围是

．参考答案：13.斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，O为原点，M是线段AB的中点，F为C的焦点，△OFM的面积等于2，则k＝______．参考答案：试题分析：由抛物线方程可知焦点.设,为的中点,.将两式相减可得,即..,解得,.考点：1抛物线的简单几何性质;2中点弦问题.14.将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有____________种(用数字作答).参考答案：91放入编号为2和3的两个小盒子里球的数目有如下三种情况：2个与5个；3个与4个；4个与3个。因此不同的放球方法有：。15.设集合={1，2，3，4，5},对任意和正整数，记，其中，表示不大于的最大整数，则=，若，则.参考答案：，.试题分析：由已知，==；观察可知，当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：==；=；=；当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：=；故，综上知，答案为，.考点：新定义，取整函数.16.设则_______

_.参考答案：

17.若，则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。（1）若函数上恒成立，求实数m的取值范围.（2）设函数，若函数的图象与轴交于点A(,0),B(,0)两点，且是函数的极值点，试比较的大小.参考答案：（1），令，则当单调递增，当1<<2时，，单调递减.…………①单调递减

…………5分（2）则，不妨取又令，则上单调递增.…………………6分又，由①式可知所以…………………8分又由①式知，取

又是的极值点，又上单调递增

………12分19.已知命题p：x∈A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，命题q：x∈B＝{x|x2－4x＋3≥0}．(1)若A∩B＝?，A∪B＝R，求实数a(2)若是p的必要条件，求实数a.参考答案：略20.（本小题满分12分）已知数列满足的前n项和为，其中.（I）试求的值并证明数列为等比数列；（II）设求数列的前n项和.参考答案：（1）见解析；（2）

【知识点】数列递推式；数列的求和D1D4（1）证明：∵a1=，an+1=，∴a2=2a1+2﹣2=1，a3=﹣a2﹣2=﹣3．bn+1=a2n+2=2a2n+1+2（2n+1）﹣2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，∴bn+1=2（﹣a2n﹣2n）+4n=﹣2a2n=﹣2bn，b1=a2=1，∴数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为﹣2；（2）由（I）可得：a2n+1=﹣a2n﹣2n，bn=a2n，cn=bn+a2n+1=a2n+（﹣a2n﹣2n）=﹣2n．cn+1=﹣2（n+1）．∴==．∴数列的前n项和=+…+==．【思路点拨】（1）a1=，an+1=，分别取n=1，n=2，可得a2，a3．利用递推式可得bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，可得bn+1=﹣2bn，利用等比数列的定义即可证明．（2）由（I）可得：a2n+1=﹣a2n﹣2n，bn=a2n，可得cn=a2n+（﹣a2n﹣2n）=﹣2n．于是=．利用“裂项求和”即可得出．21.（12分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；(Ⅲ)求二面角的大小．参考答案：解析:解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，．

………1分∵平面平面，

又∵，平面．……3分平面，．平面．

………………4分

(Ⅱ)连结，平面，是直线与平面所成的角．……5分设，则，，

……6分，．

即直线与平面所成的角为．

…8分

(Ⅲ)过作于，连结．

…………9分平面，．平面．是二面角的平面角．…10分∵平面平面，平面．．在中，，有．由(Ⅱ)所设可得，，．………11分．．∴二面角等于．

………12分解法二:∵四边形是正方形，，∵平面平面，平面，

……2分∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，是正方形的对角线的交点，．……4分

(Ⅰ)

，，，，…………5分平面．

……6分(Ⅱ)平面，为平面的一个法向量，………7分，．………8分．∴直线与平面所成的角为．……9分

(Ⅲ)设平面的法向量为，则且，且．

即取，则，则．……10分又∵为平面的一个法向量，且，，……11分设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…………………12分

22.（14分）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.参考答案：解析：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：

（x>0）（1）

当直线AB的斜率不存在时