2018届数学复习第三章三角函数、解三角形课时作业23正弦定理、余弦定理（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE11学必求其心得，业必贵于专精课时作业23正弦定理、余弦定理一、选择题1．在△ABC中，AB＝12,sinC＝1,则abc等于（）A．123 B．321C．1eq\r（3)2 D．2eq\r（3）1解析：由sinC＝1，∴C＝eq\f(π，2)，由AB＝12，故A＋B＝3A＝eq\f(π，2)，得A＝eq\f(π,6），B＝eq\f(π,3)，由正弦定理得，abc＝sinAsinBsinC＝eq\f（1,2)eq\f(\r(3），2）1＝1eq\r(3）2.答案：C2．在△ABC中,已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（）A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得eq\f(b,sinB）＝eq\f（c,sinC)，∴sinB＝eq\f（bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r（3）,2),20)＝eq\r(3）>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．答案:C3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若A＝eq\f（π,3），且b＝2acosB，c＝1,则△ABC的面积等于(）A.eq\f(\r（3），4) B.eq\f（\r（3)，2)C.eq\f（\r（3)，6) D.eq\f(\r（3)，8)解析：由正弦定理可得sinB＝2sinAcosB,即tanB＝2sinA＝eq\r（3)，所以B＝eq\f(π，3），因此△ABC是一个正三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f（\r(3)，2)×1×1＝eq\f（\r(3），4）。答案：A4．已知△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a,b，c，若a2＝b2＋c2－bc,bc＝4,则△ABC的面积为（)A.eq\f（1,2) B．1C。eq\r(3） D．2解析:∵a2＝b2＋c2－bc,∴cosA＝eq\f(1,2），∴A＝eq\f(π,3），又bc＝4.∴△ABC的面积为eq\f(1，2)bcsinA＝eq\r（3).答案：C5．钝角三角形ABC的面积是eq\f(1，2），AB＝1，BC＝eq\r（2)，则AC＝(）A．5 B。eq\r(5）C．2 D．1解析：由题意知S△ABC＝eq\f(1,2）AB·BC·sinB，即eq\f(1，2）＝eq\f(1，2）×1×eq\r(2）sinB，解得sinB＝eq\f（\r（2）,2).∴B＝45°或B＝135°。当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋（eq\r（2）)2－2×1×eq\r(2)×eq\f(\r（2),2）＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形,不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(eq\r(2）)2－2×1×eq\r（2)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2）))＝5，解得AC＝eq\r（5)。符合题意．故选B.答案：B6．（2016·新课标全国卷Ⅱ)在△ABC中，B＝eq\f(π,4）,BC边上的高等于eq\f(1，3）BC,则cosA＝()A。eq\f（3\r（10),10) B.eq\f（\r(10),10）C．－eq\f（\r（10），10） D．－eq\f(3\r（10）,10）解析：设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得eq\f(1，3）a＝csineq\f（π，4)＝eq\f（\r（2），2)c，则a＝eq\f(3\r(2)，2）c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－eq\r（2）ac＝eq\f(9,2）c2＋c2－3c2＝eq\f（5，2）c2，则b＝eq\f(\r（10），2)c.由余弦定理，可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f（\f(5，2)c2＋c2－\f(9，2）c2,2×\f（\r（10），2)c×c）＝－eq\f（\r(10),10），故选C。答案:C二、填空题7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若b＝5，B＝eq\f（π，4）,sinA＝eq\f(1，3），则a＝________.解析：由eq\f（a,sinA)＝eq\f(b，sinB),得eq\f（a，\f(1，3））＝eq\f(5,sin\f（π，4)），所以a＝eq\f（5\r(2），3)。答案：eq\f（5\r(2），3)8．(2016·北京卷)在△ABC中，∠A＝eq\f（2π,3），a＝eq\r(3）c,则eq\f(b,c)＝________。解析：∵a＝eq\r(3）c，∴sin∠A＝eq\r（3)sin∠C，∵∠A＝eq\f(2π,3），∴sin∠A＝eq\f(\r（3),2），∴sin∠C＝eq\f（1,2),又∠C必为锐角，∴∠C＝eq\f（π，6),∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝eq\f（π,6），∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴eq\f（b,c）＝1.答案：19．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3eq\r（15），b－c＝2，cosA＝－eq\f(1，4），则a的值为________．解析:因为cosA＝－eq\f(1，4)，所以sinA＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,4))）2)＝eq\f(\r（15）,4)，S△ABC＝eq\f（1,2）bcsinA＝eq\f(1，2）bc×eq\f（\r（15),4）＝3eq\r(15）。所以，bc＝24，则（b＋c）2＝（b－c）2＋4bc＝4＋4×24＝100，所以，b＋c＝10，又b－c＝2，所以，b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝64,所以a＝8。答案：8三、解答题10．（2016·天津卷)在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b,c，已知asin2B＝eq\r(3）bsinA。(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若cosA＝eq\f(1,3),求sinC的值．解：(Ⅰ）在△ABC中,由eq\f(a，sinA）＝eq\f(b，sinB)，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝eq\r（3）bsinA，得2asinBcosB＝eq\r(3）bsinA＝eq\r（3)asinB，所以cosB＝eq\f（\r(3），2)，得B＝eq\f(π,6）.（Ⅱ)由cosA＝eq\f（1，3)，可得sinA＝eq\f（2\r（2）,3）,则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin（A＋B)＝sin(A＋eq\f(π，6))＝eq\f(\r(3）,2)sinA＋eq\f(1，2)cosA＝eq\f(2\r（6）＋1,6).11．(2016·四川卷）在△ABC中,角A，B，C所对的边分别是a，b,c，且eq\f（cosA,a）＋eq\f（cosB,b)＝eq\f(sinC,c)。(Ⅰ)证明:sinAsinB＝sinC；（Ⅱ）若b2＋c2－a2＝eq\f(6，5)bc，求tanB。解：(Ⅰ）证明：根据正弦定理，可设eq\f（a，sinA)＝eq\f(b，sinB）＝eq\f(c,sinC）＝k(k〉0）．则a＝ksinA,b＝ksinB，c＝ksinC.代入eq\f(cosA，a)＋eq\f(cosB，b）＝eq\f（sinC，c)中,有eq\f(cosA,ksinA）＋eq\f(cosB，ksinB）＝eq\f(sinC，ksinC),变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）．在△ABC中，由A＋B＋C＝π,有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，所以sinAsinB＝sinC。(Ⅱ）由已知，b2＋c2－a2＝eq\f（6，5)bc，根据余弦定理,有cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f（3，5).所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f（4，5）.由（Ⅰ),sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB,所以eq\f（4，5)sinB＝eq\f(4，5)cosB＋eq\f(3,5）sinB，故tanB＝eq\f（sinB，cosB)＝4。1．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a,b，c，若△ABC的面积为S,且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于(）A。eq\f(3，4) B。eq\f（4,3)C．－eq\f(4，3) D．－eq\f（3，4)解析：因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，eq\f（sin2C－4sinCcosC＋4cos2C,sin2C＋cos2C)＝4，所以eq\f（tan2C－4tanC＋4,tan2C＋1）＝4，解得tanC＝－eq\f（4,3）或tanC＝0(舍去)，故选C.答案:C2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2,且(2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC,则△ABC面积的最大值为()A。eq\f(\r（3),2） B。eq\f(3\r（3），2)C.eq\r(3） D．2eq\r（3）解析：由正弦定理得(2＋b）（a－b）＝（c－b）c，即（a＋b)（a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f（1，2）。又A∈(0，π），所以A＝eq\f（π，3），又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝eq\f（1,2）bcsinA≤eq\f(1,2)×4×eq\f（\r(3)，2)＝eq\r（3),当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为eq\r（3）.答案:C3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c,且满足sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C，则eq\f（a＋b,c)的取值范围为________．解析：由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，∴由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab）＝－eq\f(1，2)，∴C＝eq\f（2π,3）。由正弦定理得eq\f(a＋b，c）＝eq\f（sinA＋sinB，sinC)＝eq\f(2\r(3）,3）·（sinA＋sinB），又A＋B＝eq\f(π,3），∴B＝eq\f（π，3）－A，∴sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,3)－A))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（A＋\f(π,3)）).又0〈A〈eq\f（π，3），∴eq\f(π,3)〈A＋eq\f（π，3)〈eq\f（2π，3),∴sinA＋sinB∈eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），2），1))，∴eq\f(a＋b，c)∈eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1（1，\f（2\r（3）,3））).答案:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f（2\r（3），3）))4．(2016·浙江卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(Ⅰ)证明：A＝2B；(Ⅱ)若△ABC的面积S＝eq\f(a2,4)，求角A的大小．解：（Ⅰ)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB,故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈（0，π），故0<A－B〈π，所以B＝π－（A－B）或B＝A－B，因此A＝π（舍去)或A＝2B，所以A＝2B.（Ⅱ)由S＝eq\f(a2,4）得eq\f(1，2)absi