2018届数学二轮复习寒假作业（十二）空间几何体（注意速度和准度）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE15学必求其心得，业必贵于专精寒假作业（十二）空间几何体（注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．下列命题中，错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形解析：选B根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故B错误．2．一条线段长为5eq\r（2),其侧视图长为5，俯视图长为eq\r（34），则其正视图长为（)A．5 B.eq\r（34）C．6 D.eq\r(41)解析：选D把这条线段想象成长方体ABCD.A1B1C1D1的体对角线AC1，AC1的侧视图为DC1＝5，AC1的俯视图为AC＝eq\r(34），AC1的正视图为AD1,设AB＝a,AD＝b，AA1＝c，则a2＋c2＝25,a2＋b2＝34，又a2＋b2＋c2＝50，则b2＝25,c2＝16，AD1＝eq\r(b2＋c2）＝eq\r(41）。3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点,则三棱锥P。A1B1解析:选D在长方体ABCD。A1B1C1D1中,从左侧看三棱锥P。A1B1A，B1，A1,A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线,PA1的射影为PD14．(2017·湖北省七市(州)联考)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，底边长为4，腰长为3，则该几何体的表面积为(）A．6π B．8πC．10π D．12π解析:选C根据三视图，可以看出该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径r为2，侧棱长l为3,故该圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝π×2×（2＋3）＝10π。5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析:选B根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B.6。在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为（)A．（7＋eq\r(2))πB．(8＋eq\r(2））πC.eq\f（22π,7)D．（1＋eq\r（2))π＋6解析：选A由题意得，挖去的圆锥的底面半径r＝1，母线l＝eq\r(2)，∴该机械部件的表面积S＝π×12＋2π×1×3＋π×1×eq\r(2）＝（7＋eq\r(2)）π，故选A.7。(2017·全国卷Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12C．14 D．16解析：选B由多面体的三视图还原直观图如图．该几何体由上方的三棱锥A。BCE和下方的三棱柱BCE.B1C1A1构成，其中平面CC1A1A和平面BB1A1A8．若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为（)A.eq\r（2)∶2 B。eq\r(3）∶2C。eq\r(5）∶2 D．3∶2解析：选C设圆锥底面半径为r，高为h，则球的半径R＝eq\f(r,2)，由条件知，eq\f（1,3）πr2h＝eq\f(4，3）πeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(r,2)）)3，所以h＝eq\f(r，2)。所以圆锥的侧面积S1＝πr·eq\r(h2＋r2)＝πreq\r（\f（r2，4)＋r2)＝eq\f(\r(5)，2)πr2,球面面积S2＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（r，2)）)2＝πr2，所以S1∶S2＝eq\r（5)∶2。9。(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示(在网格线中,每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．2 B．3C．4 D．6解析:选A由三视图知,该几何体为四棱锥,其底面面积S＝eq\f（1,2）×(1＋2）×2＝3，高为2，所以该几何体的体积V＝eq\f（1,3)×3×2＝2.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（)A．18＋2π B．20＋πC．20＋eq\f（π,2） D．16＋π解析：选B由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的eq\f(1，4)圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个eq\f（1，4）圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S＝4×5＋2×2π×1×1×eq\f（1，4)＝20＋π.11．三棱锥P.ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2,△ABC是边长为eq\r(3）的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为()A。eq\f(4π，3） B．4πC．8π D．20π解析：选C由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝eq\f（\r（3)，2）×eq\r（3)×eq\f(2，3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝eq\r（r2＋d2）＝eq\r（2），所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C。12．设点A,B，C为球O的球面上三点,O为球心．球O的表面积为100π，且△ABC是边长为4eq\r（3)的正三角形,则三棱锥O.ABC的体积为（）A．12 B．12eq\r(3）C．24eq\r（3） D．36eq\r(3)解析：选B∵球O的表面积为100π＝4πr2，∴球O的半径为5.如图，取△ABC的中心H，连接OH，连接AH并延长交BC于点M，则AM＝eq\r（4\r(3)2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(4\r(3），2）))2）＝6，AH＝eq\f（2，3)AM＝4，∴OH＝eq\r(OA2－AH2)＝eq\r(52－42）＝3，∴三棱锥O。ABC的体积为V＝eq\f(1，3)×eq\f（\r(3），4)×(4eq\r（3））2×3＝12eq\r（3）。13．(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f（V1，V2)的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以eq\f(V1,V2）＝eq\f（πR2·2R，\f（4，3）πR3)＝eq\f（3,2）.答案:eq\f(3，2)14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合体．圆柱的底面半径为1,高为3,球的半径为1，故该几何体的表面积为S＝π×12＋2π×1×3＋4π×12×eq\f（1,4)＋eq\f（1，2）π×12＋eq\f(1，2)π×12＝9π.答案：9π15.(2017·南昌一模)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC,BC＝2CD＝2AD＝2,若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．解析：根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为π·1·eq\r（12＋12)＋2π·12＋π·12＝（eq\r(2）＋3）π。答案：（eq\r(2）＋3)π16．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知四棱锥P­ABCD的所有顶点都在体积为eq\f(500π,81）的球面上，底面ABCD是边长为eq\r（2)的正方形，则四棱锥P。ABCD体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R，则有eq\f(4π，3）R3＝eq\f（500π,81),R＝eq\f(5，3）。因为正方形ABCD的外接圆半径r＝1,所以球心到平面ABCD的距离h＝eq\r（R2－r2）＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5,3）))2－12）＝eq\f（4,3)，因此点P到平面ABCD的距离的最大值为h＋R＝eq\f（4,3）＋eq\f(5，3)＝3，因此四棱锥P­ABCD体积的最大值为eq\f(1，3）×(eq\r(2）)2×3＝2。答案：2二、能力拔高练1．(2017·洛阳统考）已知某组合体的三视图如图所示，则此组合体的体积为(）A。eq\f（10,3)π B．14πC。eq\f（16,3）π－8 D.eq\f(16,3）π－4解析：选D依题意知，该组合体是从一个圆锥（底面半径为2、高为4)中截去一个正四棱柱（底面正方形边长为eq\r（2）、高为2)后剩余的部分，因此该组合体的体积为eq\f（1，3)π×22×4－(eq\r(2）)2×2＝eq\f（16π,3)－4。2．已知球O1和球O2的半径分别为1和2，且球心距为eq\r（5），若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为（)A.eq\f(π，2) B。eq\f（4π,5）C．π D．2π解析：选B作出两球面相交的一个截面图，如图所示,AB为相交圆的直径,由条件知O1A＝1，O2A＝2，O1O2＝eq\r(5），所以△AO1O2为直角三角形．由三角形面积公式，得AC＝eq\f（O1A·O2A，O1O2）＝eq\f(2,\r（5）)，所以所求圆的面积为π·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,\r（5)）)）2＝eq\f(4π,5)，故选B。3．一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.eq\f（1,5） B。eq\f(1,6)C。eq\f(1，7） D.eq\f(1，8)解析:选A如图，依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC。A1B1C1(其底面边长是2）中截去三棱锥E­A1B1C1(其中E是侧棱BB1的中点)，因此三棱锥E。A1B1C1的体积为VE。A1B1C1＝eq\f（1,3）×eq\f(\r（3），4）×22×1＝eq\f（\r（3），3)，剩余部分的体积为V＝VABC­A1B1C1－VE­A1B1C1＝eq\f(\r（3）,4)×22×2－eq\f(\r（3)，3）＝eq\f（5\r(3）,3),因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为eq\f(1，5)。4．（2017·郑州第一次质量预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．80 B．160C．240 D．480解析:选B依题意,如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABC。A′B′C′中截去一个三棱锥A.A′B′C′后所剩余的部分，其中底面△ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝6，AB＝8，BB′＝10，因此几何体的体积为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）×6×8））×10－eq\f（1，3）×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）×6×8））×10)）＝160,选B。5．(2017·天水一模)四棱锥P­ABCD的三视图如图所示，且四棱锥P。ABCD的五个顶点都在同一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2eq\r(2），则该球的表面积为________．解析：法一：将三视图还原为直观图如图中四棱锥P­ABCD，可得四棱锥P.ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G,连接OG，OA，AG.因为直线EF被球面所截得的线段长为2eq\r（2），即正方体面对角线长也是2eq\r(2)，所以AG＝eq\r(2)＝eq\f（\r(2)，2）a,得a＝2.在Rt△OGA中，OG＝eq\f（1,2）a＝1,AG＝eq\r（2），则AO＝eq\r(3），即外接球半径R＝eq\r（3),所以所求外接球的表面积为4πR2＝12π.法二：将三视图还原为直观图如图中四棱锥P­ABCD,其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD＝a，连接AC，由题意得BC⊥PB，DC⊥PD，PA⊥AC，取PC的中点O,连接OA