初中数学浙教版八年级上册第1章三角形的初步知识1．1认识三角形 优质课比赛一等奖

认识三角形同步练习2一．选择题（共15小题）1．（2023春•隆化县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100° B．110° C．115° D．120°2．（2023•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118° B．119° C．120° D．121°3．（2023春•迁安市月考）如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A．° B．8° C．6° D．3°4．（2023春•沭阳县期末）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEF的值为（）A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．5．（2023•北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A．内心 B．外心 C．中心 D．重心6．（2023•怀化校级自主招生）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（通州区一模）如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A．6 B．5 C．4 D．38．（扬州校级一模）课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30°，AB=10cm，∠A的对边BC可以在长为4cm、5cm、6cm、11cm四条线段中任选，这样最多可以画（）个互不全等的三角形．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个9．（台湾）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．1010．如图，△ABC中，边BC=12cm，高AD=6cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm11．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，那么线段DG的长为（）A．2 B．3 C．6 D．1212．如图，在△ABC中，AD、BF、CE相交于O点，则图中的三角形的个数是（）A．7个 B．10个 C．15个 D．16个13．在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G为重心，到斜边AB的距离为（）A． B． C． D．214．（2023春•监利县校级期末）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°15．给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有（）A．一个 B．两个 C．三个 D．四个二．填空题（共7小题）16．如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=度．17．（2023•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．18．（2023•济南）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．19．（2023•普陀区一模）如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为．20．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度．21．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=．22．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到三．解答题（共8小题）23．（2023春•沈丘县期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．24．（2023春•故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|25．（2023春•定陶县期末）一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？26．（2023春•江阴市期中）已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA=（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA=（3）将（2）中“∠OBA=30°”改为“∠OBA=α”，其余条件不变，则∠OGA=（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数（用含α的代数式表示）27．（2023春•迁安市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．28．（2023秋•宁海县校级月考）小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x千米，那么x的取值范围是．29．（2023春•宝丰县期末）如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°．（1）求∠B的度数．（2）求∠ACD的度数．30．（2023秋•渠县期末）请在下列证明过程中，标注恰当的理由．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACD的平分线CE相交于点E．证明：因为BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACD的平分线，所以∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2．（）因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠A+∠ABC．（）所以∠A=∠ACD﹣∠ABC．（）所以∠A=2∠2﹣2∠1．（）=2（∠2﹣∠1）因为∠2是△BEC的一个外角，所以∠2=∠1+∠E．（）所以∠E=∠2﹣∠1．（）所以∠A=2∠E．（）

认识三角形2参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2023春•隆化县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100° B．110° C．115° D．120°【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC=60°=30°，∠PCB=∠ACB=80°=40°．由三角形的内角和定理可知：∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=180°﹣30°﹣40°=110°．故选；B．2．（2023•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118° B．119° C．120° D．121°【解答】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．3．（2023春•迁安市月考）如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A．° B．8° C．6° D．3°【解答】解：∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠所以2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC而2∠A1BC=∠ABC，所以2∠BA1C=∠同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA所以∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C故选D．4．（2023春•沭阳县期末）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEF的值为（）A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．【解答】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×4=2，∴S△BCE=S△ABC=×4=2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=S△BCE=×2=1（cm2）．故选B．5．（2023•北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A．内心 B．外心 C．中心 D．重心【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D．6．（2023•怀化校级自主招生）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵S△CDE=3，S△ADE=6，∴CE：AE=3：6=（高相等，面积比等于底的比）∴S△BCE：S△ABE=CE：AE=∵S△BCE=4，∴S△ABE=8．故应选：B．7．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，∵△ABC面积为1，∴S△A1B1B=2．同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；同理可证S△A2B2C2=7S△A1B1C1=49，第三次操作后的面积为7×49=343，第四次操作后的面积为7×343=2401．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2023，最少经过4次操作．故选C．8．课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30°，AB=10cm，∠A的对边BC可以在长为4cm、5cm、6cm、11cm四条线段中任选，这样最多可以画（）个互不全等的三角形．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：如图，过B作BD⊥直线AC于D，则线段BD的长度是B到直线AC的最短距离，∵∠A=30°，AB=10cm，∴BD=AB=5cm，而垂线段最短，∴在长为4cm、5cm、6cm、11cm四条线段中有5cm、11cm可以各画1个互不全等的三角形，6cm可以画二个互不全等的三角形．故选B．9．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．10【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：C．10．如图，△ABC中，边BC=12cm，高AD=6cmA．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：设正方形的边长为x，PN交AD于E，如右图，连接PD、DN．（BD+CD）x+AD（PE+NE）=，解得x=4．故选B．11．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，那么线段DG的长为（）A．2 B．3 C．6 D．12【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG=AG=3．故选B．12．如图，在△ABC中，AD、BF、CE相交于O点，则图中的三角形的个数是（）A．7个 B．10个 C．15个 D．16个【解答】解：6+3+6+1=16个三角形．故选D．13．在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G为重心，到斜边AB的距离为（）A． B． C． D．2【解答】解：设CD是Rt△ABC的斜边上的中线，三角形的重心G在线段CD上，过点G作GE⊥AB于点E，过点C作CE⊥AB于点F，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，如图，CD是Rt△ABC的斜边上的中线，∴三角形的重心G在线段CD上，∴DG=CD，∵GE∥CF，∴EG=FC，∵FC×AB=AC×BC，∴FC=，∴GE=×=，即△ABC的重心到斜边AB的距离为：．故选：A．14．（2023春•监利县校级期末）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD=60°．设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，即∠P=50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）=20°．故选B．15．给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有（）A．一个 B．两个 C．三个 D．四个【解答】解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确；（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确；故选D．二．填空题（共7小题）16．如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=30度．【解答】解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∠AOB=120°，∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为：30°．17．（2023•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是4．【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为4．18．（2023•济南）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为1．【解答】解：∵BE=CE，∴S△ACE=S△ABC=×6=3，∵AD=2BD，∴S△ACD=S△ABC=×6=4，∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．故答案为：1．19．（2023•普陀区一模）如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为4．【解答】解：延长BG交AC于D点，∵G是△ABC的重心，∴BD为△ABC的中线；又∵AG⊥GC，∴GD为Rt△AGC斜边上的中线，∴GD=AC，∵G是△ABC的重心，∴BG=2GD=AC=4．20．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为85度．【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．故答案为：85．21．（2023•曾都区校级模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=54°．【解答】解：过P点作PF⊥BA于F，PN⊥BD于N，PM⊥AC于M，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，又∵PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，∴∠FAP=∠PAC．∵∠BPC=36°，∴∠ABP=∠PBC=（x﹣36）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣36°）﹣（x°﹣36°）=72°，∴∠CAF=108°，∴∠FAP=∠PAC=54°．故答案为：54°．22．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A【解答】解：连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a则△A1B1B的面积是6a，同理△B1C1C和△A1△A1B1C1的面积是19a即△A1B1C1的面积是△同理△A2B2C2的面积是△A1B1C即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积19依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195解答题（共8小题）23．（2023春•沈丘县期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．24．（2023春•故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．25．（2023春•定陶县期末）一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？【解答】解：延长CD与AB相交于点F．∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°，又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°，∵实际量得的∠BDC=148°，143°≠148°，∴这个零件不合格．26．（2023春•江阴市期中）已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA=15°（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA=10°（3）将（2）中“∠OBA=30°”改为“∠OBA=α”，其余条件不变，则∠OGA=α（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数（用含α的代数式表示）【解答】解：（1）15°；（2）10°；（3）；（4）当∠EOD：∠COE=1：2时，则∠EOD=30°，∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，而AF平分∠BAD，∴∠FAD=∠BAD，∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，∴2×30°+2∠OGA=α+90°，∴∠OGA=α+15°；当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得到∠OGA=α﹣15°，即∠OGA的度数为α+15°或α﹣15°．故答案为15°，10°，α．27．（2023春•迁安市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°