2020年初中数学·学会此6大类模型,轻松秒杀初中数学相似问题

相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型浅析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型题源【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：．证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴．，DE//BC∴△EOD∽△COB（8模型）∴．同理：，．∴．证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴．∵AD＝CD，∴．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）∴．同理，．∴．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，求的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BFA∴，∴HD＝1．5a，，∴FH＝BH，∴∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴∴BG＝HB，∴练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴∵DE//AC，∴，∴，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=BC，∴G为AF中点∴，，∴BF=FC，即点F是BC的中点4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：．方法一：过点CCE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则，，，又∵1=2，∴DE=DF，∴5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF∵AE：EB=2：1，∴BF=AC=BC=CD，又AC=CB，∠ACD=∠CBF=90°∴△ACD≌△CBF，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°∴∠4=90°，∴CE⊥AD模型2共边共角型已知：∠1=∠2结论：△ACD∽△ABC模型浅析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC进而可以得到：AC2=ADAB模型题源【例1】如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为．解答：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA．∵AB=4，AD=2，∴，∴，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD（3）求证：ABAC=BCAD解答（1）三对．分别是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD∽△BCA∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD（3），∴ABAC=BCAD练习：1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有①∠B=∠DAC．②∠BAC=∠ADC③AC2=DCBC④AD2=BDBC【答案】①②③2．已知△AMN是等边三角形，∠