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文档简介
相似模型模型1:A、8模型已知∠1=∠2结论:△ADE∽△ABC模型浅析如图,在相似三角形的判定中,我们通过做平行线,从而得出A型或8型相似.在做题使,我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形.模型题源【例1】如图,在ABC中,中线AF、BD、CE相交于点O,求证:.证法一:如图①,连接DE.∵D、E是中点,∴.,DE//BC∴△EOD∽△COB(8模型)∴.同理:,.∴.证法二:如图②,过F作FG//AC交BD于点G,∵F是中点,∴.∵AD=CD,∴.∵FG//AD,∴△GOF∽△DOA(8模型)∴.同理,.∴.【例2】如图,点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上,且AE=DF,BF交DE于点G,延长BF交CD的延长线于H,若=2,求的值.解答:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.设DF=a,则DF=AE=a,AF=EB=2a.∵HD//AB,∴△HFD∽△BFA∴,∴HD=1.5a,,∴FH=BH,∴∵HD//EB,∴△DGH∽△EGB,∴∴BG=HB,∴练习:1.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE//AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=1:25.则S△BDE与S△CDE的比是____________.解答:∵DE//AC,∴△DOE∽△COA,又S△DOE:S△COA=1:25,∴∵DE//AC,∴,∴,∴的比是1:4.2.如图所示,在ABCD中,G是BC延长线上的一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F,此图中的相似三角形共有___________对.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,AB//CD∴(1)△ABD∽△CDB;(2)△ABE∽△FDE;(3)△AED∽△GEB;(4)△ABG∽△FCG∽△FDA,可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3.如图,在△ABC中,中线BD、CE相交于点O,连接AO并延长,交BC于点F,求证:F是BC的中点.证明:连接DE交AF于点G,则DE//BC,DE=BC,∴G为AF中点∴,,∴BF=FC,即点F是BC的中点4.在△ABC中,AD是角平分线,求证:.方法一:过点CCE//AB交AD延长线于点E,∴∠1=∠3,∴△ABD∽△ECD,∴∵∠1=∠2,∴∠2=∠3,AC=CE,∴方法二:设ABC中BC边上的高为h,则,过D分别作DEAB,于E,DFAC于F,则,,,又∵1=2,∴DE=DF,∴5.如图,△ABC为等腰直角三角形,D是直角边BC的中点,E在AB上,且AE:EB=2:1,求证:CE⊥AD.证明:过点B做BF//AC,交CE延长线于点F,则∠CBF=90°,△AEC∽△BEF∵AE:EB=2:1,∴BF=AC=BC=CD,又AC=CB,∠ACD=∠CBF=90°∴△ACD≌△CBF,∴∠1=∠2,∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3-90°∴∠4=90°,∴CE⊥AD模型2共边共角型已知:∠1=∠2结论:△ACD∽△ABC模型浅析上图中,不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要能快速判断题中的相似三角形,模型中由△ACD∽△ABC进而可以得到:AC2=ADAB模型题源【例1】如图,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,如果△ABD的面积为15.那么△ACD的面积为.解答:∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA.∵AB=4,AD=2,∴,∴,∵S△ABD=15,∴S△ACD=5【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90o,AD⊥BC于D.(1)图中有多少对相似三角形?(2)求证:AB2=BDBC,AC2=CDCB,AD2=BDCD(3)求证:ABAC=BCAD解答(1)三对.分别是:△ABD∽△CBA;△ACD∽△BCA;△ABD∽△CAD(2)∵△ABD∽△CBA,∴.∴AB2=BDBC,∵△ACD∽△BCA∴.∴AC2=CDCB,∵△ABD∽△CAD,∴,∴AD2=BCCD(3),∴ABAC=BCAD练习:1.如图所示,能判定△ABC∽△DAC的有①∠B=∠DAC.②∠BAC=∠ADC③AC2=DCBC④AD2=BDBC【答案】①②③2.已知△AMN是等边三角形,∠
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