求数列通项公式的方法总结

求数列通项公式的方法数列是高考中的重点考察内容之一，每年高考都会考察，小题一般较易，大题一般较难。数列的通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。-、直接规律法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1.根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式:6

/ 351——3，(1\4例1.根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式:6

/ 351——3，(1\4158/ 630，51099(2X-19— 35176333— 99（时1,2,5,8,12（5、二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前（5、二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前n项和Sn与an的关系IS n=1a=K1 求解•n[S—S nN2（注意：求完后一定要考虑合并通项）例2.①已知数列的前n项和5〃满足S的通项an可用公式②已知数列｝的前n项和S满足S=n2+n—1已知等比数列七｝的首项a1=1列b｝的通项公式。n=2a+（—1）n,n>1.求数列k｝的通项公式.，求数列kJ的通项公式.公比0VqV1，设数列b｝的通项为b=a+1+a+2，求数③解析：由题意，b③解析：由题意，b=a++2+an+1n+3又匕｝是等比数列，公比为q妇=妇=气+七3=qbn an+1+an+2故数列X｝是等比数列，b=a+a=aq+aq2=q(q+1)，

n 12 3 1 1b=b=q(q+1)-qn-1=qn(0+1)三、待定系数法:求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未

知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、递推式为a1=Pa+q(p/l，pq/°)型，通过分解常数，可转化为特殊数列｛a+灯的形式求解。解法：设气+1+k=p(a^+k)与原式比较系数可得pk—k=q，即k=；1，从而得等比数列｛a+k｝。例3、数列｛a「满足a1=1,a广2a〃_1+1(nN2)，求数列｛a〃｝的通项公式。解：由a=万a1+1(nN2)得a—2=^(a1—2)，而a1—2=1—2=—1，„, 口1,一 ，………，，・.・数列｛a^-2｝是以万为公比，一1为首项的等比数列11「.a-2=-(2)n~1 「.a=2-(-^)n~1说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列｛an技｝,从而达到解决问题的目的。练习、1数列｛a「满足a1=1，3气+1+a「7=0,求数列｛a〃｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\z1 7n+1 n设a+k=——(a+k)n+1 3n7 1…，...｛n+1 n设a+k=——(a+k)n+1 3n7 1…，...｛a—丁｝是以—：为公比\o"CurrentDocument"4 37 3/1、「,a—彳=—彳x(-§)n-12、已知数列｝满足an 1k7 7比较系数得—k—-=-解得k=—-33 4\o"CurrentDocument"7 7 3，以a1—彳=1—云=—彳为首项的等比数列73,1、^na=3-彳x(-3)n—1=1，且a1=3a+2，求a.解：设a+1=3(a+1)，则a=3a+Itnt=1，a+1=3(a+1)nta+1｝是以(a1+1)为首项，以3为公比的等比数列na+1=(a1+1)-3n-1=2-3n-1na=23-1—1点评：求递推式形如a^+1=pa”+q(p、q为常数)的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列a+-^=p(a+-^~)来求得,也可用"归纳一猜想一证明”法来求，这也是近年高考〃+1p—1 n1一p考得很多的一种题型・2、递推式为a=pa+qn+1(p、q为常数)型，可同除qn+1，得％+1=—-%+1，令b=土从而n+1 n qn+1qqn nqn化归为a=pa+q(p、q为常数)型.n+1 n例4.已知数列k｝满足a1=1，a=3n+2a1(n>2)求a.解：将a=3n+2a两边同除3n，得a=1+2七1na=1+—^-^1n n—1 3n 3n 3n 33n-1

a 2 2 2[ 1,设b=—^，则b =1+—b .令b—t=_(b —t) nb=—b +—tn3n n 3n—1 n 3n—1 n3n—13nt=3.条件可化成bn-3=3(bn—1—3)，数列3｝是以b1—3=%—3=—?为首项，2 82fa3为公比的等比数列.bn-3=—3X(-)n—1.因bn=蓊，…c/ 8 2 c、 c Ca=b3n=3n(-3X(3)n—1+3)na=3n+1—2n+2.3、递推式为\+=pa+an+b(p丰1、0,a丰0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an+1+x(n+1)+y=p(a〃+xn+y)，与已知递推式比较，解出x,y，从而转化为E+xn+〉｝是公比为p的等比数列。n例5:设数列 ｝：。］=4,a=3a1+2n—1,(n>2)，求a.解令a +x(n+1)+y=3(a+xn+y)化简得:a=3a+2xn+2y—x化简得:TOC\o"1-5"\h\zn+1 nJ2x=2 x=1所以［之'—x=—1解得<y=0 所以a+(n+1)=3(a+n)又因为七+1=5，所以数列'"n+^是以5为首项，3为公比的等比数列。\o"CurrentDocument"a+n=5x3n-1，所以a=5x3n-1-n从而可得n n变式：(2006，山东，文,22,本小题满分14分)已知数列"n｝中，(1)令bn=an1-a广已知数列"n｝中，(1)令bn=an1-a广3,求证数列b〃｝是等比数列;的通项;(II)求数列n4'递推式为a+1=pa+an2+bn+c(p丰1、0,a丰0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=p(an+xn2+yn+z)，与已知递推式比较，解出x,y,z.从而转化为｛an+xn2+yn+z｝是公比为p的等比数列。例6：设数列E｝：a=4,a=3a+2n2—1,(n>2)，求a.n1 n n—1 n5,递推式为a〃+2=pa〃+1+qa^(其中p，q均为常数)。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为气+厂七+1=t(Qg-w〃)[s+1=p其中s,t满足〈[st=-q解法二(特征根法)：对于由递推公式a =pa+qa，a=a,a=P给出的数列k｝，方程TOC\o"1-5"\h\zn+2 n+1 n1 2 nx2-px-q=0，叫做数列E｝的特征方程。若x,x是特征方程的两个根，当x主x时，数列｛a｝n 1 2 1 2 n的通项为a=Axn-1+Bxn-1，其中A，B由a=a,a=P决定(即把a,a,x,x和n=1,2，代n 1 2 1 2 12 12入an=Axn-1+Bxn-1，得到关于A、B的方程组)；当x1=x2时，数列“｝的通项为a=(A+Bn)xnT，其中A，B由a=a,a=P决定(即把a,a,x,x和n=1,2，代入n 1 1 2 12 12a=(A+Bn)xn-i，得到关于A、B的方程组)。n1例7:已知数列｛a｝中，a=1,a=2,a=2a+1a，求a。n 1 2 n+23n+13n n变式:1.已知数列｛a^｝满足a=1,a=3,a=3a -2a(ngN*).⑴证明：数列｛an+1-aj是等比数列；(II)求数列｛a〃｝的通项公式;(III)若数列｛b ｝满足4b1-14b2-1...4bn-1= (a + 1)bn(ngN*),证明｛b ｝是等差数列n n n2.已知数列｛a｝中，a=1,a=2,a=2a+1a，求an 1 2 n+23n+13nn3.已知数列kJ中，S丑是其前n项和，并且S+1=4a+2(n=1,2,…),a1=1，⑴设数列=。山-2a.(n=1,2,……)，求证：数列b「是等比数列;⑵设数列七=壬,(n=1,2,……)，求证：数列七｝是等差数列；⑶求数列七｝的通项公式及前n项和。四、累加(乘)法1,递推式为。山二an+f(n)型数列，我们可以根据递推公式，写出n取1〜n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。例8.若在数列｛a｝中，a1=3，a+1=a+n，求通项a。解析：由。孔+1=a.+n得a^+1-a^=n，所以

a—a—n—1,a—a—n—2，…，a—a=1,将以上各式相加得：an-ai=(n—1)+(n—2)+•••+1,又ai=3所以a="+3n22、递推式为。山-f(n)an型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1〜n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。例9.在数列｝中，na=例9.在数列｝中，na=1，a=2na(neN*)，求通项a。a解析：由已知m—2

ana n——2n—1an—1a—n-1=2n-2，an—2%=2,又a1—11所以a=——• 2•a=2n-1•2n-2 2 •1=22naaa1五、取倒变换、对数变换、换元变换法1、取倒变换：递推式为f(a，a1，aa「=。的关系，可在等式两边同乘以一-—,先求出nn—11一，，再求得a.nf(n)a或递推式为an+1=g(n)a；h(n)类型一般是等式两边取倒数后转化为an+1=pan+q求解na例10・.设数列｛a〃｝满足a1=2,a〃+1=厂巨(neN),求a”.nTOC\o"1-5"\h\zc 1 …1 1解：原条件变形为a〃+1•an+3•a〃+1—a-两边同乘以-—、—，得1+3•—=、一.nn+1 n n+111 11 11 273(a+/=厂+2；a+2=3n—1 厂2x3n—1—1.n n+1 n2、对数变换：递推式为。打+1=pa,类型，一般是等式两边取对数后转化为。计+1=pa^+q，再利用待定系数法求解例11、设正项数列满足。广1，a—2a2—1(nN2).求数列的通项公式.+1—2(log2an1+1)，设，气+1—2(log2an1+1)，设，气b=log1+1—1.=log2an+12n 2n—1 2n则气=2bn1 必」是以2为公比的等比数列，b=1x2n-1=2n-1,logan+1=2n-1,log气=2n-1—1, a=22n-1-1变式：已知数列｛a｝满足：a=7■，且a= 厂~(n>2，neN*)n 12n2a+n—1n-1求数列｛an｝的通项公式；证明：对于一切正整数n,不等式a1*a2* an<2*n!2、 若数列的递推公式为a=3,上=—-2(neN)，则求这个数列的通项公式。1a.a3、已知数列｛1乃｝满足a1=1,n>2时，a--1-a^=2a〃-1a^，求通项公式。4、 已知数列｛a｝满足：a=an-1 ,a=1,求数列｛a｝的通项公式。n n3-a+11 n5、 若数列｛a｝中，a1=1,a1=>七》nEN，求通项a.n类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。3、换元变换： 递推式中含有根号、指数、对数等一般是通过换元后转化为a+1=pa+q求解例12已知数列｛a｝满足a=-1(1+4a+寸1+24a),a=1,求数列｛a｝的通项公式。n n+116 n n1解：令气=J1+24a〃，则。广24(b2-1)故a++1=£(b；+1-1)，代入a++1=116(1+4a〃+J1+24a〃)得—(b2-1)=—[1+4上伽-1)+b]24n+1 716 24n7n即4b2=(b+3)2TOC\o"1-5"\h\zn+1 n因为b=Jl+24a>0,故b= >0一，一 1.3则2b=b+3，即b=-b+-,n+1 n n+12n2可化为b一3=;;(b一3),n+1 2n所以｛b一3｝是以b1-3=J1+24匕一3=J1+24x1-3=2为首项，以2为公比的等比数列，因此

b-3=2(1)n-1=(!)n-2,则b=(!)n-2+3，即(1+2物=(^)n-2+3，得TOC\o"1-5"\h\zn2 2 n2 n2a=2(1)n+(1)n+1。n34 2 3L… 1一3评注:本题解题的关键是通过将5+24亏的换元为bn,使得所给递推关系式转化b++1=2bn+-形式，从而可知数列｛b-3｝为等比数列，进而求出数列｛b-3｝的通项公式，最后再求出数列｛a｝的n n n通项公式。1 11+a例13.已知数列kJ满足a1=-，七+1=\：丁，'1+'1+aan+1=T~r，兀…，a=cos ^解析兀…，a=cos ^.・.a=cos—，a=cos—2 6 3 22•3总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。六、阶差法（对无穷递推数列）例14已知数列｛a｝满足a=1，a=a+2a+3a+—+(n—1)a(n>2)，求｛a｝的通项公式。n 1 n12 3 n-1 n解：因为a=a+2a+3a+•••+(n-1)a(n>2)所以a=a+2a+3a+•••+(n一1)a+na用②式一①式得a用②式一①式得a+1-a=na.则a=(n+1)a(n>2)故n+1=n+1(n>2)ana所以a所以a=fnan-1a―n-1an—2TOC\o"1-5"\h\za n!•a=[n(n—1) 4x3]a=—a.2由a=a+2a+3a+ +(n-1)a(n>2)，取n=2得a=a+2a，则a=a，又知a=1，则n1 2 3 n-1 2 12 2 1 1a=1，代入③得a=1•3•4•5 n=n。2 n 2所以，｛。｝的通项公式为a=:.n n2七、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例15、(2003•高考•广东)设a。为常数，且an=3n-i—2an(n为正整数)证明对任意nN1,a=[3n+(—1)n-1• 2n]+(—1)n•2na0证明：n 0a=3n-1—2a=3n-1—2(3n-2—2a)nn-1n-2=3n-1—2,3n-2+22(3n-3—2a)n-3=3n-1—2•3n-2+22。3n-3—23(3n-4—2a)n-4=3n-1—2•3n-2+22-3n-3 +(—1)n-1^2n-1+(—1)n.2a0(—1)n・2na。前面的n项组成首项为3n-1，公比为一的等比数列，这n项的和为：=[3n+(—1)n-1^2n]a=[3n+(—1)n-m2n]+(—1)n•2na0八、数学归纳法 °如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。例16.(2002年北京春季高考)已知点的序列A〃(xn,0),n&N*，其中x1=0，x2=a(a>0)，A3是线段AA的中点，A是线段AA的中点，…，A是线段AA的中点，…12 4 23 n n-2n-1写出Xn与Xn-1，Xn-2之间的关系式(n>3)。设a=x-x，计算a,a,a，由此推测k｝的通项公式，并加以证明。TOC\o"1-5"\h\zn n+1 n 123 n略解析：(1)・「A是线段AA的中点，.•・x=xn1：xn2(n>3)n n-2n-3 n 2(2)a=x一x=a一0=a，x+x1,1a=x-x= —1一x=--2(x—x)=-2ax+x11a=x一x= 2—x=---(x—x)=—a3 4 3 2 323 2 4

猜想an=(-2)nTa(neN*)，下面用数学归纳法证明1。 当n=1时，a1=a显然成立；2。 假设n=k时命题成立，即ak=(-2)k-1a(keN*)贝gn=k+1时，a=x-x=、11*、-x=-—(x-x)=-—ak+1 k+2 k+1 2 k2k+1 k2k=(--1)=(--1)ka2=(一)(一)k-1a2 2.•・当n=k+1时命题也成立， .•・命题对任意neN*都成立。变式：(2006，全国II,理,22,本小题满分12分)设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2—anx~an=0有一根为Sn~1，n=1，2，3，…求a1，a2；｛an｝的通项公式九：特征根法。1、设已知数列®｝的项满足a1=b,a.+1=c,+d，其中c。0,31,求这个数列的通项公式。作出一个方程x=以+d,叫做数列匕」的特征方程，则当x0=a1时，a.为常数列，即TOC\o"1-5"\h\za=a;当x。a时,a=b+x，其中｛b｝是以c为公比的等比数列，即b=bcn-1,b=a—x.

n1 0 1nn0 n n1 110-2,neN,a=4,求a.当a=4时，a.x,-2,neN,a=4,求a.当a=4时，a.x,b=a+3=旦1 01 1 2 2解：作方程x=-^x-2,则x0„r,. 1, ，…“数列｛b｝是以-^为公比的等比数列.n311 1 3 311 1于是b=bn-1——(——)n-1,a=——+b=——+―^(——)n-1,neN.2.对于由递推公式a=pa+qa，a=以,a=P给出的数列E｝，方程x2-px-q=0，叫做n+2 n+1 n1 2 n数列t｝的特征方程。者x,x是特征方程的两个根，当x。x时，数列E｝的通项为n 1 2 1 2a=Axn-1+Bxn-1，其中A，B由a=a,a=P决定(即把a,a,x,x和n=1,2，代入n 1 2 1 2 12 12a=Axn-1+Bxn-1，得到关于入、B的方程组)；当x1=x2时，数列“｝的通项为an=(A+Bn)x《-1，其中A，B由a=以,a=p决定(即把a,a,x,x和n=1,2，代入a=(A+Bn)x?-1，得到关于人1 2 12 12 n 1

例18、(1)已知数列 ｝满足a1 = a,a2 =b,3a 2-5ah+2a = 0(n >0,ngN)，求数列k｝的通项公式。解法一(特征根法：这种方法一般不用于解答题)：数列｝:解法一(特征根法：这种方法一般不用于解答题)：数列｝:ai=a，a2=b的特征方程是：3X2-5X+2=0。3a -5a +2a=0(n>0,ngN)，—j—2=1X= 1，X2 3,, c ,c2a=Axn-1+Bxn-1=A+B-(—)n-1又由ai=a,a2=b，于是a=a=A+B [A=3b-2a〈一2n〈_b=A+—B [B=3(a—b)I3 、2、故a=3b一2a+3(a一b)(—)n-i

n 3解法二(待定系数一一迭加法)由3a 一5a +2a=0，得—a—a=b—a。｝是以b-a为首项，2为公比的等比数列，于是a-a=3(a -a)，且a则数列-an+1n2a一a=(b一a)G)n-1。把n=1,2,3,…,n代入，得n+1n 3=(b-a).(|)，=(b-a).(：)2，=(b-a)(3)n-2把以上各式相加，得2 2 2 1-(3)n-1a-a1=(b-a)[1+3+(3)+—+(3)n-2]= 2—(b-a)。1——322a=[3—3(—)n-1](b—a)+a=3(a—b)(—)n-1+3b—2a。n3 3

十、不动点法不动点法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f(x)xgD，使f(x)=x成立，则称x为f(x)的0 0 0 0不动点或称(x。,f"为函数f⑴的不动点。例求函数f⑴=2x-4的不动点。解：令2x-4=x，解出x=4，即4是函数f(x)=2x-4的一个不动点。分析：由f⑴=x求出不动点x0，在递推公式两边同时减去x0，在变形求解。类型一：形如a+1=qa+d例19、已知数列中，例19、已知数列中，a+1=2a+1求数列的通项公式a。解：因为a 解：因为a =2a+1n+1 n所以x=2x+1nx=-1，两边都减去不动点-1得。〃+1+1=2a〃+1+1，所以可以得到a可以得到a+1=2(a+1+1)，设a+1=b，所以b =2b，数列｛a｝为等比数列，故b=b「2n-1=2n，，n+1 n所以a-b-1=2n-1。类型二：形如a=a类型二：形如a=a气n+bn+1c-a+da-x+b分析：递归函数为f(x)= ~c-x+d(1)若有两个相异的不动点 p,q时p,q将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得a+^p=a+^p=k•q，其中k=Q

a-qa-q a-qc(aq-pq)kn-1-(ap-pq):.a= ——n (a-p)kn-1-(a-q)11(2)若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点(2)若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得—+k，a-pa-p例20已知数列｛。｝满足a= _，n n+1 4a+1na1=4，求数列｛叩的通项公式。21x—24解：令x= ，得4x2-20x+24=04x+121x—24 ,.则x1=2,x2=3是函数f⑴=WT的两个不动点。因为因为21a—24_2a—2n+1a—3n+147+1— 21a—24—2(4a+1)13a—2613a—2n+1a—3n+121an—24 n —3421an—24 n —34a+1n21a—24—3(4a+1) 9a-27 9a—3 [a—3J4—2 13, a—2 13 1=2为首项，以一为公比的等比数列，故 -=2()n-1，则a= +3。9 「3 9 n2(11)n—1—11、 用函数的不动点求数列的通项公式：如果给出的数列的递推式中不含有自变量n的函数f(n)，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。2、 定理1：若函数f(x)=ax+b,a丰0且a丰1，p是函数f(x)=ax+b的一个不动点，即f(p)=p如果数列｛xj满足递推关系4广f(x〃「,n>1，则4广p=a(x〃1—p)。3、定理2：设f(x)=aX+^(c丰0,ad—bc丰0)，数列｛x｝满足递推关系x=f(x「,n>1，且初始ax+b x_p,x—p、、一值x。f(x)，如果函数f(x)= 有两个相异的不动点p,0，则——=kX——，这里1 1 cx+d x-qx—qk=竺土，也就是说数列\^^\是以k为公比的等比数列；如果函数f(x)=竺兰只有唯一的a—qc [x_qJ cx+d1 1 , 7 2c I1I不动点p，则 = +k，这里k=一-，即数列< f是以k为公差的等差数列。x—px_p a+d [x_pJ例21例21、已知数列｛a〃｝满足a1=1，4a 一6a=——n—1 na一1n—14x4x一6解：因为所给数列的递归函数f(x)= 对应的不动点的方程为x—1x= ~-(a=4,c=1)，解为x—1x2=2，所以数列1a—x―x2=2，所以数列1a—x―n 1a—x(n2a—cx 1为公比的等比数列，a—cx2一、，a—cx因为 = =—a—cx 4—222，所以a—3―n—a—2na—3—1 a—21(1An-1212=22-n，3—23-n再解出a=n 1—22—n例22、设数列｛。｝的首项ae(0,1),a=3?〃1,n=2,3,4,…，求｛a｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\zn 1 n2 n3—尤 一. 3—x解：因为所给数列的递归函数f\x)=——对应的不动点的万程为x=——，解为x=1,把递归式的两边都减去不动点1得到a—1=——n—1—1=—-n--1，即1—a=——(1—a)，又1—a。0，所以n 2 2 n2 n-1 11 (1Sn-1｛1一a｝是首项为1—a，公比为—二的等比数列，得a=1—(1—a)—；。n 1 2 n 1k2)例23、已知气=2，且x1= (n—1^，求数列｛x｝的通项公式。n解：因为所给数列的递归函数f(x)=，+2对应的不动点的方程为x=x+^(a=1,c=2)，解方程得2x 2x到函数的不动点x-2=工一/=n+1 2xnkr^lVn—1 /x+w'2以解出数列的通项公式xn到函数的不动点x-2=工一/=n+1 2xnkr^lVn—1 /x+w'2以解出数列的通项公式xn为x=—*2x=<2(x1 2土 ，两式相除得2x以x+勇=工+龙=£1

n+1 2x 2xn n再经反复迭代得、2〃-1+还'x+V2x—n+1 x—\2n+1n、2n-1解法：如果数列｛aj满足下列条件：已知a］的值且对于neN都有an+1pa nra+h+q(其中p、q、r、hh均为常数，且ph丰qr,r丰0,a1^一-),那么，可作特征万程x=px+q .一.,. ,提，当特征万程有且仅有一根x0时,则，0T7:是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、n0练习、x2时，则］当二|是等比数列。〔"广％J1、已知数列1、已知数列｛an｝满足性质：对于neN,a—一］:n+4,且a=3,求｛a｝的通项公式.2a+3 1 nn1313a—25 n a+32、已知数列｛an｝满足：对于neN,都有a^(1)若a=5,求a;(2)若a=3,求a;(3)若a=6,求a;(4)当a取哪些值时，无穷数列｛a｝1 n 1 n 1 n 1 n不存在？3、(2005，重庆，文,22，本小题满分12分)数列｛a｝满足a=1且8aa-16a +2a+5=0(n>1),记b=——(n>1).a——(I)求b「b2、b3、b4的值； (II)求数列｛b｝的通项公式及数列｛ab｝的前n项和S.1 2 3 4 n nn n卜一、双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例24.已知数列｝中，a1=1；数列也｝中，已=0。当n>2时，a=!(2a+b),b=上(a+2b)，求a,b.n3n—1n—1n3n—1n—1 nn解：因a+b=3(2a+b)+3(a+2b)=a+b所以a+b=a+b=a+b=•••=a+b=a+b=1nn n—1n—1n—2n—2 2211(1)又因为a一b=—(2a +b)一上(a+2b)=上(a一b)nn 3n—1n—1 3 n—1 n—1 3n—1n—1所以a”-bn= 3(a 1—b「= (3)2a 2—b 2) (3)n——b「(2)11n—1.即a—b==(3)n—1(2)由(1)、(2)得：an=2[1+(3)n-1]，bn=2[1—(3)n-1]十二、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例25、(04山东数学竞赛)、已知数列｛a｝满足a=2，a=1——，求a.n 1 n+1 a nn分析：周期数列的通项公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一个最小正周期即可.^解：a=1