力学总复习-《新世纪物理学》吴大江主编

PAGEPAGE63力学总复习——《新世纪物理学》吴大江主编第一章质点运动学一、要求1、掌握：矢量、位移、速度、加速度、角速度等描述质点运动和运动变化的物理量；2、能借助于直角坐标系计算质点在平面运动时的速度、加速度；3、能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向和法向加速度。二、内容提要1、参考系：描述一个物体的运动，选择一个或几个相对静止的物体为比较的基准，这些物体群，称为参考系。2、运动（函数）方程：表示运动中的质点的位置随时间变化的函数。质点的位置用位矢表示，运动（函数）方程为：=（t）；直角坐标表示：其中，、和分别为沿X、Y和Z轴的单位矢量，上式也表示其沿三个方向运动的合成；其大小为——||=√（x²+y²+z²）；方向余弦为——cosα=x/||、cosβ=x/||、cosγ=x/||。3、坐标矢量：4、位移矢量：5、平均速度：3、坐标矢量：4、位移矢量：5、平均速度：位移Δ与发生这段位移所经历的时间Δt的比值，用表示。=……（1.3-1）O图中矢量OP为，OQ为，PQ为O图中矢量OP为，OQ为，PQ为，而Q´Q=XYZabPQQ´t7、速度的直角坐标法：……（1.2-1）=……（1.3-3）V=||=……（1.3-4）速度的大小常称为速率。8、速度的自然坐标法……（1.3-5），式中方向矢量速率V=……（1.3-6）9、平均速率；路程与经历这段路程的比值，称为质点在这段时间内的平均速率：……（1.3-7），即质点在单位时间内所通过的路程，并不给出运动的方向。图1.4-1图1.4-110、平均加速度——……（1.4-1）；11、瞬时加速度（当时，曲线转化为直线——辩证思维！）==ax+ay+az……（1.4-2）a=||=……（1.4-3）ax=，；12、自然坐标系中质点运动加速度1）、切向加速度——为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；2）、法向加速度——v·给出因速度方向（即切线方向单位矢量的方向）改变而具有的加速度。，故……（1.4-6）……（1.4-7）、自然坐标下的速度（类比推理：矛盾的特殊性——对方向求导）得到：由……（1.4-4），对（1.4-4）式求一阶导数，则有……（1.4-5），1）、切向加速度——为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；2）、法向加速度——v·给出因速度方向（即切线方向单位矢量τ的方向）改变而具有的加速度。13、曲线运动与圆周运动类比项目曲线运动圆周运动平均速度=Δ/Δtω=Δθ/Δt（平均角速度）瞬时速度=Δ/Δt=Δ/Δt（角速度）=d/dt=d/dt加速度=Δ/Δt=Δ/Δt=||=dω/dt=d²θ/dt²匀变速（V=V0+atω=ω0+βt曲线特例）S=V0t+½at²θ=θ0+ωt+½βt²直线运动V²-V²0=2aSω²-ω²0=2β（θ-θ0）14、圆周运动的加速度：a=an+at，at=Rβ，an=V²/R=ω²Ra=√（an²+at²）=√[（V²/R）²+（Rβ）²]15、伽利略速度变换：设Sˊ参考系在S系中，以速度匀速运动；在Sˊ中的质点的速度为ˊ，则在同一时刻它在S系中的速度为：；加速度为：。二、矢量运算法则1、解析法（1）、坐标法则：，（2）、矢量的标积和矢积∵，，；， ∴相同矢量的标积为1，相异矢量的标积为零；故有：。∵，，，同理：，，∴相同矢量的矢积为零，相异矢量的矢积为1；故有：。2、几何法（平行四边形法则）2、几何法（平行四边形法则）如右图所示：先画出矢量OA，再从A为起点画出矢量C至B点；连接OB，即可得矢量OB。所以，。OAB3、三角函数法（余弦定理）若矢量与矢量的夹角为，则。4、旋转矢量法Y如右图所示，矢量OA用极坐标表示，其以（恒定）匀角速度ω沿逆时针方向旋转，经过VB(r,θ+Δθ)时间t后，矢量OA旋转的角度为θ=ωt；ΔsVB(r,θ+Δθ)矢量OA在极坐标系与直角坐标系之间的转换：A(r,θ)……（1）θ+ΔθSω……（2）称为运动学方程0θX已知质点的运动学方程，求其轨迹方程：数理逻辑推理——将（1）和（2）式平方，相加……（1）´……（2）´（1）´+（2）´得，即……（3）为质点的轨迹方程。坐标系1、一维直线坐标系：OX轴：OXf=f（x）2、二维平面坐标系：（1）、笛卡尔平面坐标系OXY系OX垂直于OY轴f=f（x，y）（2）、自然平面坐标系P自然坐标op=s，称为质点P的n自然坐标，两个相互垂直O·s的单位矢量和，如图1.2-2所示；图1.2-2为切向单位矢量，为法向单位矢量。、极坐标系在研究圆周运动时，常采用极坐标系，其以两个变量r和θ来描述质点的坐标，如图1.5-1所示。3、三维笛卡尔立体坐标系OXYZ系f=f（x，y，z）、自然坐标下的速度（类比推理：矛盾的特殊性——对方向求导）得到：由……（1.4-4），对（1.4-4）式求一阶导数，则有……（1.4-5），1）、切向加速度——为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；2）、法向加速度——v·给出因速度方向（即切线方向单位矢量τ的方向）改变而具有的加速度。图1.4-1图1.4-1三、解题思路1、一般原则是：先仔细审题、了解题意、构思出题述的物理图像（形象思维）、明确已知条件和要求的结果；然后，根据已知条件选择合适的定理、定律和数学公式求解。解题时如涉及数字计算，要注意有效数字和单位，有效数字一般取三位，单位一般采用国际单位制的单位。2、解题是把物体抽象为质点，研究质点运动时，一般建立坐标系、画图帮助表达和思考。3、对圆周运动，要善于计算法向（向心）加速度外，还要会计算切向加速度。要注意切向加速度dv/dt是速率的变化率，即速度对时间的导数，而速率又是时间的函数。4、在速度变换的计算中，要十分明确各个速度是“谁对谁”的速度，要会用速度变换的“串联”法则（伽利略速度变换）：；（加速度变换为：）。5、注意矢量和标量的区别，并能用适合的文字标志来表示它们：黑体或箭头。6、解题要能正确表达思路，写出各步骤的根据，不能只写公式和数字。只有写出正确文字表达，才能说明自己真正理解了物理概念和定律。四、思考题解答1.1一斜抛物体的水平速度是，它的轨道最高点处的曲率圆的半径是多大？答：斜抛物体在运动过程中，只受重力作用，水平速度保持不变，切向加速度它的轨道最高点处的斜率是水平的，该处的曲率圆的半径沿垂直方向，法向加速度为重力加速度，即，∴。1.2、质点轨道方程与其运动学方程有何区别？答：质点运动学方程为，是时间的函数；而质点轨道方程是空间的位置函数，如圆的方程为：，与时间无关。1.3、自由落体从时刻开始下落，用公式计算，它下落的距离达到的时刻为。这-2秒，有什么物理意义？该时刻物体的位置和速度各如何？答：这-2秒是指物体下落前的2秒。从的时刻回溯，物体是自由落体的“逆过程”，即上抛运动，在的时刻到达最高点，即物体开始下落的位置。由此可见，该时刻（）物体的位置和速度与时刻都相同，但是，其运动方向相反，即质点向上运动。五、习题精解1.1、在表达式中位置矢量；位移矢量是。解：由瞬时速度的定义可知：位置矢量是；位移矢量是。1.2、一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为V，某一段时间内的平均速度为，平均速率为，它们之间的关系必定有（A）（B）（C）（D）[D]解：根据它们的定义，进行判断。1、定义式：某一时刻的速度：，速度的大小称为速率，其表达式为；而某一时间内的平均速度为：=。某一时间内的平均速率为：，即质点在单位时间内所通过的路程，并不给出运动的方向，不能把平均速度与平均速率等同起来！质点回到原点时，位移为零，平均速度为零，而路程不为零，所以，平均速率不为零。2、进行判断又∵弧长S=PQ大于弦长|Δ|=PQ，S>|Δ|；从图1.3-1中，PQ=|Δ|，PˊQ=Δr所以，|Δ|≠Δr很重要！比较可知：。在（A）中，速率，平均速度为不等于平均速率为，即，排除A；在（B）中，都是错误的，排除B；在（C）中，是错误的，排除C；又∵，∴选（D）。1.3、一个质点沿X轴作直线运动，其运动学方程为，则（1）质点在t=0时刻的速度V0=6m/s，加速度a0=；（2）加速度为0时，该质点的速度V=7.8m/s。解：（1），，当时，（2）1.4、试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（V0）（1）变速率曲线运动，（2）变速率直线运动。解释：因为分别表示切向加速度和法向加速度，切向加速度的作用是改变质点运动速度的大小，而法向加速度是改变其运动的方向；所以变速率曲线运动；变速率直线运动。1.5、一运动质点的速率V与路程S的关系为。（SI），则其切向加速度以S来表达的表达式为：S来表达的表达式为：。解：1.6、质点沿半径R=1m的圆周运动，其角位移θ可用下式表示：。（1）当t=2s时，60（m/s²）。（2）的大小恰为总加速度大小的一半时，θ=3.15（rad）。解：（1）（m/s²）（2），，，则有，∴。1．7一质点从静止出发沿半径R=1m的圆周运动，其角加速度随时间t的变化规律是则质点的角速度ω=。切向加速度=。解：，，1.8、一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成，则物体在A点的切向加速度，轨道的曲率半径ρ=。解：，。1.9、一质量为2kg的质点，在xy平面上运动，受到外力(SI)的作用，t=0时，它的初速度为(SI)，求t=1s时质点的速度及受到的法向力.解：∴∴2分当t=1s时，沿x轴1分故这时，1分(SI)1分1.10、辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时行驶的距离x（m）与行驶时间t（s）的函数关系式；A为，B为。（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是A；（2）出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是t=1.19s；（3）出发后，B车相对A车速度为零的时刻是t=0.67s。解：对（1），对（2），对（3）1.11、轮船在水上以相对于水的速度航行，水流速度为，一人相对于甲板以速度行走，如人相对于岸静止，则的关系式是：解:轮船、水流和人相对甲板的速度都是以地球为参考系，所以人相对地面的速度为零是它们速度的矢量和为零。1.12、某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t3+6(SI)，则该质点作（A）匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向．（B）匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向．（C）变加速直线运动，加速度沿x轴正方向．（D）变加速直线运动，加速度沿x轴负方向．［D］解：dx/dt＝3-15t²,a=d²X/dt²=-30t<0，故加速度沿x轴负方向，为D。1.13、一条河在某一段直线岸边同侧有A、B两个码头，相距1km．甲、乙两人需要从码头A到码头B，再立即由B返回．甲划船前去，船相对河水的速度为4km/h；而乙沿岸步行，步行速度也为4km/h．如河水流速为2km/h,方向从A到B，则(A)甲比乙晚10分钟回到A．(B)甲和乙同时回到A．(C)甲比乙早10分钟回到A．(D)甲比乙早2分钟回到A．解：根据速度、路程、时间和相对运动的定义和规律，代入已知条件，进行求解：∵对于甲：t1=S/（V1+v）+S/（V1-v）=1/6+1/2=2/3对于乙：t2=2S/v2=2/4=1/2；t1–t2=1/6s=10分钟。∴(A)甲比乙晚10分钟回到A．为正确答案。［A］1.14、以下五种运动形式中，保持不变的运动是（A）单摆的运动（B）匀速率圆周运动（C）行星的椭圆轨道运动（D）抛物运动（E）圆锥摆运动[D]提示：在（A）、（B）、（C）、（E）中均有变化，只有（D）中保持不变。1.15、下列说法那一条正确？加速度恒定不变时，物体运动方向也不变；平均速率等于平均速度的大小；不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成；运动物体速率不变，速度可以变化。[D]提示：对（A）在抛物运动中，不变，但变化，对（B），，，对（C）只有匀加速运动才有，对（D）匀速率圆周运动,运动物体速率不变，速度方向不断地变化,故选(D。1.16、一人自原点出发，25s内向东走30m，又在10s内向南走了10m，再在15s内向正西北走了18m，求在50s内（1）平均速度的大小和方向；（2）平均速率的大小。CBAOX（东）Y（北）解题思路：CBAOX（东）Y（北）（1），图1.3-3，。图1.3-31.17、质点作曲线运动，表示位置矢量，S表示路程，表示切向加速度，下列表达是式中，（1），（2），（3）（4）：（A）只（1）、（4）是对的；（B）只有（2）、（4）是对的；（C）只有（2）是对的；（D）只有（3）是对的。[D]提示：，，，，，。1.18、一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处,其速度大小为 (A)；(B)(C)；(D)[D]解：根据定义（或概念），速度大小为标量，可排除B；同时可以确定D为正确答案。但是，我们还是要掌握A和C表达式的物理意义：=，=，1.19、一质点沿直线运动,其运动学方程为x=6t－t2(SI)，则在t由0至4s的时间间隔内，质点的位移大小为_____8m______，在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为________10m_________．解：∵质点的位移Δ=4-0为矢量差，|Δ|=（6×4–4²）-0=8m；∵质点走过的路程为S=Vt，，t=3时，V=0，即第三秒后，质点反向运动，V4=-2m/s∴S4=V4t=2m，故路程为S=|Δ|+S4=8+2=10m。1.20、设质点的运动学方程为(式中R、皆为常量)则质点的=__-Rsint+Rcost_________．解：∵，（式中，i和j为方向矢量。1.21、一质点以速度作直线运动，沿质点运动直线作ox轴，并已知t=3s时，质点位于x=9m处，则该质点的运动学方程为：（A）x=2t（B）x=4t+（C）（D）[C]提示：，，∴1.22、在倾角为θ的斜坡上，沿与水平面成倾角为α的方向抛出一石块。设石块落地点离抛射点的距离为L，求石块的初速度V0？解题指导：这是一道在斜面上V0Y进行斜上抛的质点运动问题，研究α0石块运动，可知：经过时间t，石块L到达A处,如图1.13所示,已知α和L；求V0。Aθ解题思路——把斜上抛的运动分解为X和Y轴图1.13方向的运动，再运用数理逻辑推理（数学运算）得到正确的答案。（1）、建立坐标系OXY；（2）、X轴：X=V0cosαt=Lcosθ……（1）Y轴：Y=V0sinαt-½gt²=-Lsinθ……（2）（3）、数学运算，求V0：（2）/（1）：tagθ=V0sinα-½gt=-tagθV0cosα，2V0sinα+2V0cosαtagθ=gt∴……（3）[∴sinα+tagθcosα=]将（3）代入（1）式，V0cosα（2V0/gcosθ）sin（α+θ）=LgcosθV0²=gLcos²θ/2cosαsin（α+θ），这是正确答案。1.23、下列说法中，哪一个是正确的？(A)一质点在某时刻的瞬时速度是2m/s，说明它在此后1s内一定要经过2m的路程．(B)斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大。(C)物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零。(D)物体加速度越大，则速度越大．［C］解：(A)中，；(B)中，加速度不变；(D)中，。所以，(C)物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零。1.24、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为：a＝2＋6x2(SI)如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．解：设质点在x处的速度为v，，，。第二章牛顿运动定律要求掌握牛顿三定律及其适应条件，能应用微分方法求解一维变力作用下的简单的质点动力学问题；掌握分析质点受力的方法，能分析简单系统在平面内的运动的力学问题；了解4种基本自然力。二、内容提要1、牛顿力学基础知识系统图第一定律惯性参考系第二定律力的瞬时效应质力的时间积累效应力的空间积累效应力的转动累效应点d=dt=ddA=Fdr=dEKM=dL/dt=mEk=mV²/2L=r×P第三定律Fij=-Fji，ri×Fij+rj×Fji=0质F合外力dt=dP保守力的功M合外力=dL/dtF合外力=maC∮Fdr=0Ek=Ekc+Ek内L=∑Li点rc=∑miri/m势能Ekc=mV²c/2P=mVcEAB=-ΔEP刚体定轴系质心参考系中=EPA-EPBE=Ek+EPMdθPˊ=0=d（Iω²/2）A合外力+A非保守内力=ΔEM=Iβ=dL/dtF合外力=0动量守恒A合外力+A非保守内力=0M合外力矩=0机械能守恒角动量守恒普通的动量守恒普通的能量守恒普通的角动量守恒空间均匀性时间均匀性空间各向同性2、惯性——物体保持静止或匀速直线运动状态的这种特性，叫做惯性；3、惯性（参考）系 （1）、惯性系定义——在研究物体相对运动时，选取的参考系本身具有惯性，这样的系统称为惯性（参考）系；（2）、惯性系属性——凡是相对于某一已知的惯性系，作匀速直线运动的参考系也都是惯性参考系。4、牛顿运动定律：第一定律——惯性和力的概念，惯性系的定义；任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用的力迫使它改变这种状态为止，称为牛顿运动第一定律。牛顿第二定律：运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿的直线的方向上。数学表达方式：……（2.3-1）、牛顿第三定律：当两个质点相互作用时，作用在一个质点上的力，与作用在另一个质点上的力大小相等，方向相反，且在同一直线上（它是力的概念和动量守恒定律的推论）——12=-21……（2.3-2）常见的几种力重力；压力和张力；弹簧的弹力f=-kx；静磨擦力f≤µN；惯性力：在非惯性系中引入的和参考系本身的加速运动相联系的力。在平动加速参考系中，；在平动加速参考系中，惯性离心力：=-mω²。6、四种基本自然力的特征力的种类相互作用的物体力的强度力程万有引力一切质点无限远弱力大多数粒子小于电磁力电荷无限远强力核子、介子等三、解题思路1、应用牛顿三定律分析问题的方法和步骤，一般可总结为“三字经”：认物体认清题目内容后，要选一个物体（抽象为质点）做为分析的对象。如果问题涉及几个物体，则要依此选一个物体逐个进行分析，对每个物体要标出其质量；看运动对认定的物体要分析出体目給出的（或演示）的运动状况，包括其运动的轨迹、速度和加速度。同时涉及几个问题时，要逐个进行分析它们运动的状态，并还有找出它们速度和加速度的关系。要注明速度和加速度是相对什么参考系而言，一般都是对惯性系（如：地面、地心或把太阳都看成是惯性参考系）说的；查受力要找出被认定的物体所受的力，并用箭头标出其受的力，箭头的尾部画在物体的作用点上。物体对其他物体的反作用力与该物体的加速度无关，一般受到的力就是那几种常见的力。为做到清楚无误地分析物体的受力，要画出清晰的示力图和物体运动的轨迹，以及其速度和加速度的方向。特别要注意参考系，如果要用非惯性系解题，要事先明确所选的有加速度的参考物，然后在每一个分析对象上还要加上一个惯性力的作用；列方程把上面分析出的物体的质量、加速度和它受的力（矢量和）用牛顿第二定律联系起来列出方程式，涉及几个物体时还要应用牛顿第三定律把它们受的力联系起来。最简单化原理在解物理问题时，体现在矢量分量法：常列牛顿第二定律的分量式，在应用直角坐标时，要在式力图中画出坐标轴的方向。画图是形象思维和抽象思维的有效结合，是训练我们的思维能力和表达能力的一个重要方法。四、习题精解1.1、在粗糙的水平桌面上放着质量为M的物体A，在A上放有一表面粗糙的小物体B，其质量为m．试分别画出：当用水平恒力推A使它作加速运动时，B和A的受力图。解：mgmg2.2、如图所示，几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上，若命一物体（视为质点）从斜面上端由静止到下端的时间最短，则斜面的倾角应选（A）（B）（C）（D）解：对质点在光滑斜面上的运动进行Fmg受力和运动分析，欲求从斜面上端由静止θFmg到下端的时间最短，则斜面的倾角的选取应该对运动方程进行研究。其所受的下猾力是重力在斜面方向的分力：设倾角为θ，光滑斜面的底边的长度为，质点的质量为m，则下滑力为F，……（1）2、运动分析……（2）……（3）3、数理逻辑推理联立（1）、（2）和（3）式，求t与θ的关系：（3）代入（2）中，……（4）（1）代入（4）中，……（5），m4、从（5）式中可知：只有当时，下滑的时间最短，选（B）。m2.3、质量为m的小球，放在光滑的木板与光滑N的墙壁之间，并保持平衡。设木板与墙之间的NT夹角为，当增大时，小球对木板的压力将：T增加；（B）减少；（C）不变mg（D）先是增大，后又减少，分界角为a=mg减少。[B]NmgT提示：如右图所示，矢量三角型中NmgT当，，。2.4、画出物体A、B的受力图：在水平圆桌面上与桌面一起做匀速转动的物体A；和物体C叠放在一起自由下落的物体B．解：如图所示。在（1）中，A做匀速转动，向心力为f；在（2）中，B和C一起自由下落，B和C之间的作用力为零。AB2.5、物体A和B用弹簧连在一起，吊在支架上AB保持静止，如图所示。设A和B的质量分别为，，弹簧与吊线质量忽略不计，当吊线烧断瞬间，物体A和B的加速度分别为：=；=0。解：当吊线烧断瞬间，A受到自身的重力和B的重力作用应用牛顿第二定律，可求得：。当吊线烧断瞬间，B受到自身的重力和A对它的拉力，其方向向上，大小等于B的重力，所以合作用力为零，所以其加速度为零。2.6、如图，滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计，物体A的质量m1大于物体B的质量m2．在A、B运动过程中弹簧秤S的读数是(A)(B)(C)(D)［D］解题思路：1、从受力分析开始，研究物体的运动过程，在滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计的情况下，绳中张力大小相等，即，两物体的加速度的大小也相等，方向相反。2、弹簧秤S的读数是2T，应用牛顿运动定律求T：选向上的方向为正对M2：……（1）即……（1）′对M1：……（2）……（2）′3、数理逻辑推理，联立（1）′和（2）′，解得：（1）′/（2）′，，故（D）为正确答案。2.7、一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为R，汽车轮胎与路面间的摩擦系数为，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率(A)不得小于．(B)不得大于．(C)必须等于．(D)还应由汽车的质量M决定．[B]解题思路：分析质点运动过程，应用物理学原理，解匀速圆周运动速度问题。1、题意分析汽车在转弯处行驶可认为是做匀速圆周运动，若汽车轮胎与路面间的摩擦力的大小等于汽车的向心力时，汽车不致于发生侧向打滑。所以，该问题转化为求向心力；2、应用物理学原理：……（1）……（2）……（3）3、数理逻辑推理，联立上述方程解题：……（4）4、结论：汽车在该处的行驶速率不得大于，故（B）为正确答案。2.8、一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为N．则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其作的功为：(A)，(B)，(D)．[A]解题思路(D)．[A]解题思路：分析质点运动过程，应用功能原理解题时，只考虑物题所处的始末状态。做图如右图所示。题意分析质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点（距最低点B的距离为R）其势能为，到达最低点B时，RmgRmgOABYFnN其动能为：。由静止从A点下滑到B点，机械能的改变转化为摩擦力的功。2、应用物理学原理：……（1）……（2）3、数理逻辑推理，联立上述方程解题：……（3）4、结论：摩擦力对其作的功为：A=，(A)为正确答案。2.9、如图示．一质量为m的小球．由高Ｈ处沿光滑轨道由静止开始滑入环形轨道．若H足够高，则小球在环最低点时环对它的作用力与小球在环最高点时环对它的作用力之差，恰为小球重量的(A)2倍．(B)4倍．(C)6倍．(D)8倍．[B]解题思路：分析质点运动过程，应用功能原理解题。1、研究能量：在高Ｈ处势能为：；在环最低点时动能为：。在环的最高点时，；因为光滑轨道，无能量损失机械能守恒：……（1），……（2）2、研究小球对环的作用力：在环最低点时：，……（3）在环最高点时：，……（4）3、数理逻辑推理：…（5）4、结论：从（5）式可知：它们之差是小球质量的4倍，（B）为正确答案。2.10、光滑水平面上放有一质量为M的三棱柱体A，其上放一质量为M的物体B，如图所示，A与B接触亦为光滑，设它们由静止开始滑动，求物体B尚未离开斜面时物体A、B间的相互作用力。解：设为A对地，为B对A，。ABB对地：ABNNNNA对地：mgmg由（3）得代入（1）式得，由（2）得，由（5）=（6）得，若m=M，。2.11、一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为R，汽车轮胎与路面间的摩擦系数为μ，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率：（A）不得小于（B）不得大于（C）必须等于（D）应由汽车质量决定。[B]提示：，∴。2.12、质量分别为m和M的滑块A和B，叠放在光滑的水平面上，如图，A，B间的静摩擦系数为，滑动摩擦系数为，系统原先处于静止状态，今将水平力F作用于B上，要使A，B间不发生相对滑动，应有：FB（A）FBA（B）A（C），（D）[C]A提示：，，AFB∴FBmgmg2.13、倾角为30°的一个斜面体放置在水平桌面上．一个质量为2kg的物体沿斜面下滑，下滑的加速度为3.0m/s2．若此时斜面体静止在桌面上不动，则斜面体与桌面间的静摩擦力f＝__5.2N__。解题思路：分析物体对斜面体产生作用力F，当此作用力的大小等于桌面间的静摩擦，方向与其相反时，斜面体才能保持静止在桌面上不动。由右图可知：mORO由牛顿第二定律：mORO2.14、一小珠可以在半径为R的竖直圆环上作无摩擦滑动．今使圆环以角速度绕圆环竖直直径转动．要使小珠离开环的底部而停在环上某一点，则角速度最小应大于；。解题思路：分析圆环以角速度绕圆环竖直直径转动时，小珠亦以角速度绕圆环竖直直径做匀速圆周运动，其速度为：……（1），向心力……（2）∴，当时，，则角速度最小应大于。2.15、图中所示的装置中，略去轴上摩擦以及滑轮和绳的质量，且假设绳不可伸长，则质量为m1的物体的加速度a1=____．解题思路：受力分析：设m1受力为F，绳中的张力为T，则F=T；∵对m1：……（1），又∵绳不可伸长，∴……（2）3、对m2：…（3）联立各式解得：。2.16、一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上装有一个小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固定在飞轮转轴上，另一端与滑块联接．当飞轮以角速度ω旋转时，弹簧的长度为原长的f倍，已知ω＝ω0时，f＝f0，求ω与f的函数关系．解：设弹簧原长为l，劲度系数为k，由于是弹性力提供了质点作圆周运动的向心力，故有mr2＝k(r–l)其中r为滑块作圆周运动的半径，m为滑块的质量．由题设，有r＝fl有，又由已知条件，有整理后得ω与f的函数关系为：。2.17、一悬线长l=1m，上端固定在O点，下端挂一小球，如图所示．当小球在最低位置A时，给以水平方向的初速度，当悬线与OA成120°角时小球脱离圆周，求的大小．如果要小球不脱离圆周，则v0至少为多大？解：(1)小球运动过程中只有重力作功，故小球与地球系统机械能守恒，可列方程：……①2分……②2分小球在B点脱离圆周的条件为TB=0，由②式得：……③2分解①、③式得：m/s1分(2)设C点为圆周最高点，可列方程：……④1分……⑤小球能越过C点的条件是≥0，代入⑤式有：≥gl……⑥2.18、如图所示，小球沿固定的光滑的1/4圆弧从A点由静止开始下滑，圆弧半径为R，则小球在A点处的切向加速度Aat=_________g_____________，小球在B点处的法向加速度an=__________2g____________。解：∵将质量为m的物体A抽象为质点P，作受力分析图，在A点，mg=mat，g=at小球在B点处的法向加速度：man=m∵机械能守恒：；∴an=2g。2.19、在以加速度a向上运动的电梯内，挂着一根劲度系数为k、质量不计的弹簧．弹簧下面挂着一质量为M的物体，物体相对于电梯的速度为零．当电梯的加速度突然变为零后，电梯内的观测者看到物体的最大速度为(A)．(B)．(C)．(D)．解：选电梯为非惯性参考系Sˊ，物体相对于电梯的速度为零，即是Vˊ=0，aˊ=0-ma（非惯性力）+mg（弹簧下面挂着一质量为M的物体）=0，a=g，弹簧所受合力为零，弹簧自然伸长；当电梯的加速度突然变为零后（a=0，V电≠0），电梯为惯性参考系S，弹簧受重力和电梯的作用，弹簧被拉伸X；mg=kx……（1）机械能守恒：……（2）联立（1）、a=g和（2）式，解得：V=［A］2.20、站在电梯内的一个人，看到用细线连结的质量不同的两个物体跨过电梯内的一个无摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态．由此，他断定电梯作加速运动，其加速度为(A)大小为g，方向向上．(B)大小为g，方向向下．(C)大小为，方向向上．(D)大小为，方向向下．［B］解：选电梯为非惯性参考系Sˊ，物体相对于电梯的速度为零，Vˊ=0，则有ma+mg=maˊ=0，a=-g；所以(B)大小为g，方向向下，为正确答案。2.21、一人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进，如图.木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h＝1.5m，不计箱高，问绳长l解：设绳子与水平方向的夹角为θ，则．木箱受力如图所示，匀速前进时,拉力为F,有Fcosθ－f＝02分Fsinθ＋N－Mg＝0f＝μN得2分令∴，2分且，∴l＝h/sinθ＝2.92m时，最省力．2分2.22、如图，滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计，物体A的质量m1大于物体B的质量m2．在A、B运动过程中弹簧秤S的读数是(A)(B)(C)(D)［D］解：弹簧秤F=T1+T2=2T……（1）[T1=T2=T]对m1：T1-m1g=m1a1对m2：T2–m2g=-m2a2……（3）[a1=a联立（1）、（2）和（3）得（D）。2.23、有两个弹簧，质量忽略不计，原长都是10cm，第一个弹簧上端固定，下挂一个质量为m的物体后，长11cm，而第二个弹簧上端固定，下挂一质量为m的物体后，长13cm，现将两弹簧串联，上端固定，下面仍挂一质量为m的物体，则两弹簧的总长为___24cm_________．解：∵F=-KX，K1X1=mgX1，K2X2=mg，∴K1=mg，K2=mg/X2=mg/3；两弹簧串联，上端固定，下面仍挂一质量为m的物体，两弹簧的总长为：原长是20cm，加上挂一质量为m的物体后，两弹簧的伸长量ΔS，∵ΔSK=mg1/K=1/K1+1/K2，∴ΔS=mg/k=mg（1/K1+1/K2）=mg（1+3）/mg=4m故两弹簧的总长为24cm。2.24、设物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中，(A)它的加速度方向永远指向圆心．θ(B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加．mg(C)它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心(D)它受到的合外力大小不变．[B]解：物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中，它受到的轨道的作用力的大小随θ不断增加，θ=90º时最大为mg，方向不断变化。∴(B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加，为正确答案。2.25、公路的转弯处是一半径为200m的圆形弧线，其内外坡度是按车速60km/h设计的，此时轮胎不受路面左右方向的力．雪后公路上结冰，若汽车以40km/h的速度行驶，问车胎与路面间的摩擦系数至少多大，才能保证汽车在转弯时不至滑出公路？解：(1)先计算公路路面倾角.设计时轮胎不受路面左右方向的力，而法向力应在水平方向上．因而有 ∴(2)当有横向运动趋势时，轮胎与地面间有摩擦力，最大值为N′(N′为该时刻地面对车的支持力)∴θav0将代入得θav02.26、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a，他向车前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度a的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？解：设抛出时刻车的速度为，球的相对于车的速度为，与竖直方向成角．抛射过程中，在地面参照系中，车的位移：……①1分球的位移……②1分……③1分小孩接住球的条件1分即，两式相比得，∴1分2.27、一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上装有一个小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固定在飞轮转轴上，另一端与滑块联接．当飞轮以角速度ω旋转时，弹簧的长度为原长的f倍，已知ω＝ω0时，f＝f0，求ω与f的函数关系．解：设弹簧原长为l，劲度系数为k，由于是弹性力提供了质点作圆周运动的向心力，故有mr2＝k(r–l)2分其中r为滑块作圆周运动的半径，m为滑块的质量．由题设，有r＝fl1分因而有又由已知条件，有1分整理后得ω与f的函数关系为：2.28、A、B、C为质量都是M的三个物体，B、C放在光滑水平桌面上，两者间连有一段长为0.4m的细绳，原先松放着．B、C靠在一起，B的另一侧用一跨过桌边定滑轮的细绳与A相连（如图）．滑轮和绳子的质量及轮轴上的摩擦不计，绳子不可伸长．问：(1)A、B起动后，经多长时间C也开始运动？(2)C开始运动时速度的大小是多少?(取g＝10m/s2)解：(1)设A，B间绳中张力为T，分别对A、B列动力学方程MAg–T=MAaT=MBa解得：a=Mg/(MA+MB)由MA=MB=Ma＝g设B、C之间绳长为l，在时间t内B物体作匀加速运动，有l＝at2＝gt2/4，t==0.4sB和C之间绳子刚拉紧时，A和B所达到的速度为v＝at＝gt＝×10×0.4＝2.0m/s。令B、C间拉紧后，C开始运动时A、B、C三者的速度大小均变为V，由量定理(设三者速度变化过程中TAB为AB间绳中平均张力，TBC为BC间绳中平均张力,τ为过程时间)MAVMAv=–TAB·τ(∵MAg<<TAB)，MBV–MBv=TAB·τ–TBC·τ，MCV–0=TBC·τ，得(MA+MB+MC)V=(MA+MB)v，V=m/s2.29、如图所示，质量M=2.0kg的笼子，用轻弹簧悬挂起来，静止在平衡位置，弹簧伸长x0=0.10m，今有m=2.0kg的油灰由距离笼底高h=0.30m处自由落到笼底上，求笼子向下移动的最大距离．解：2分，油灰与笼底碰前的速度碰撞后油灰与笼共同运动的速度为V，应用动量守恒定律：①油灰与笼一起向下运动，机械能守恒，下移最大距离x，则②联立解得：m2.30、如图所示，质点作曲线运动，质点的加速度是恒矢量().试问质点是否能作匀变速率运动?简述理由．答：不作匀变速率运动．因为质点若作匀变速率运动，其切向加速度大小必为常数，即，现在虽然,但加速度与轨道各处的切线间夹角不同，这使得加速度在各处切线方向的投影并不相等，即，故该质点不作匀变速率运动.2.31、绳子通过两个定滑轮，右端挂质量为m的小球，左端挂有两个质量m1=的小球.将右边小球约束,使之不动.使左边两小球绕竖直轴对称匀速地旋转,如图所示.则去掉约束时,右边小球将向上运动,向下运动或保持不动?说明理由.答：右边小球不动．理由：右边小球受约束不动时，在左边对任一小球有，式中T1为斜悬绳中张力，这时左边绳竖直段中张力为故当去掉右边小球的外界约束时，右边小球所受合力仍为零，且原来静止，故不会运动。第三章动量守恒和角动量守恒要求掌握质点的动量定理、动量守恒定律，通过质点在平面内的运动情况理解角动量、动量矩和角动量守恒定律；2、掌握运用守恒定律分析问题的方法；能分析简单系统在平面内的运动的力学问题。3、通过质点在平面内的运动情况，理解角动量（动量矩）和角动量守恒定律，并能用它们分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。掌握运用守恒定律分析问体的思想和方法，能分析简单系统在平面内的运动的力学问题。二、内容提要1、力：单位时间内，另一质点传给它的动量，就是作用在该质点上的力的度量，数学表达式为：（牛顿运动第二定律）2、冲量：，称为在该时间间隔内作用在该质点上的冲量。3、动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量，即，，其中；4、动量守恒定律：系统所受合外力时，其动量的增量为：5、对于惯性中某一定点，力F的力矩：，6、质点的角动量：；7、质点的角动量定理：作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。积分形式：，微分形式：8、角动量守恒定律：如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。则，=常量三、解题思路1、利用动量定理分析问题的方法和步骤，仍然是解题“三字经”：认物体认清题目内容后，要选一个物体（抽象为质点）作为分析的对象。如果问题涉及几个物体，则要依此选一个物体逐个进行分析，对每个物体要标出其质量；看运动对认定的物体要分析出体目給出的（或演示）的运动状况，包括其运动的轨迹、速度和加速度。同时涉及几个问题时，要逐个进行分析它们运动的状态，并还有找出它们速度和加速度的关系。要注明速度和加速度是相对什么参考系而言，一般都是对惯性系（如：地面、地心或把太阳都看成是惯性参考系）说的；查受力要找出被认定的物体所受的力，并用箭头标出其受的力，箭头的尾部画在物体的作用点上。物体对其他物体的反作用力与该物体的加速度无关，一般受到的力就是那几种常见的力。为做到清楚无误地分析物体的受力，要画出清晰的示力图和物体运动的轨迹，以及其速度和加速度的方向。特别要注意参考系，如果要用非惯性系解题，要事先明确所选的有加速度的参考物，然后在每一个分析对象上还要加上一个惯性力的作用；不过有时直接用矢量表示式，根据矢量图的几乎关系求解更为方便和直观。2、应用动量守恒定律解题时，也用解题“三字经”，不过这里要注意：首先要认定相互作用的几个物体作为分析的对象，对它们的运动要分清初始和终了的两个状态。在分析力时，要特别分析系统所受的合外力（即系统内各物体所受系统外物体的外力的矢量和）是否为零？只有当合外力为零时，才能有总动量守恒的结果（有时外力可以忽略，也可以用动量守恒公式）。很多的情况是系统所受的合外力在某一方向上为零，则总动量沿这一方向的分量也守恒。3、应用角动量定理时，首先要明确力矩和角动量的定义的矢量积的数学意义。例如，力矩并不简单地是力和位矢的代数和，角动量也不简单地是质量、位矢和速率的乘积。要明确它们都是乯两个矢量定义的一个新的矢量；4、应用角动量守恒定律于质点的运动时，首先要明确计算力矩和角动量时所采用的定点的位置。对于力矩，不但当F=0或r=0（即力的作用线通过定点）时，该力的力矩为零，而且力和质点的位矢平行和反平行时，该力的力矩也为零。对质点的角动量也应该注意：质点的速度和位矢平行和反平行时，质点对定点的角动量也为零。只有当质点的速度与位矢的方向垂直时，质点的角动量的大小才等于位矢和速度大小的乘积；5、在用角动量守恒求解问题时，要注意参考系的确定，应以定轴所在的参考系为准。四、思考题解答花样滑冰运动员想高速旋转时，她先把一条腿和两臂伸开，并用脚蹬冰使自己转起来，然后她再收拢腿和臂，她的转速就明显地加快了，这利用可什么原理？答：花样滑冰运动员的一条腿和两臂伸开时，对与起竖直中心轴线的转动惯量J1显然大于收拢腿和臂时的转动惯量J2。忽略她收拢腿和臂时用脚蹬冰过程中的磨擦力矩，其他外力矩为零，因而她对中心轴线的的角动量守恒。设和分别为收拢腿和臂前后的角速度，那么：，由于，所以她的转速就明显地加快了。五、习题精解3.1、一质量为1kg的物体，置于水平地面上，物体与地面之间的静摩擦系数＝0.20，滑动摩擦系数＝0.16，现对物体施一水平拉力F＝t+0.96(SI)，则2秒末物体的速度大小v＝__0.89m/s 题意分析：在01s内,F<mg=1.96,未拉动物体.当拉力大于(克服)最大静摩擦力后,物体开始运动,力对时间积累的效果称为：合外力对物体在dt时间内的冲量。解题思路：从题意分析中得出解题思路：由力对时间的积累，即力对时间的积分，求出冲量，再求速度。解题：在1s2s内,由mv–0=I，可得 v=I/m=0.89m3.2、假设作用在一质量为10kg的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50N，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动．则物体最后的速率v＝____5m·s1___________解题思路：∵力在4秒内均匀地从零增加，可设，已知：，又∵，∴。3.3、在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）总动量守恒总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向的动量不守恒。总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒。总动量在任何方向的分量均不守恒。[C]解：取炮车和炮弹为一系统，发炮过程中，所受外力为重力和地面支持力，均是垂直方向，在水平方向不受外力作用，所以总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒，总动量不守恒。3.4、设作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3（SI），如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小I=18N.S。提示：。3.5、一质量为m的物体，以初速成从地面抛出，抛射角，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中物体动量增量的大小为。物体动量增量的方向为竖直向下。提示：3.6、质量为M=1.5kg的物体，用一根长为ι=1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短，求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）取m+M为一个系统，因作m用时间极短，作用力极大，所以在水mM平方向动量守恒，M即∴，∴（2），与反向。3.7、物体在恒力F作用下作直线运动，在时间t1内速度由0增加到v，在时间t2内速度由v增加到2v，设F在t1内作的功是W1，冲量是I1，在t2内作的功是W2，冲量是I2．那么：(A)W1=W2，I2>I1．(B)W1=W2，I2<I1．(C)W1<W2，I2=I1．(D)W1>W2，I2=I1．[C]解题思路：分析物体在恒力F作用下作直线运动，冲量是I1，，1、∵动量定理：，，∴；2、∵功能原理：，，∴；3、结论：(C)W1<W2，I2=I1．为正确答案。3.8、两个质量相等、速率也相等的粘土球相向碰撞后粘在一起而停止运动.在此过程中，由这两个粘土球组成的系统，(A)动量守恒，动能也守恒．(B)动量守恒，动能不守恒．(C)动量不守恒，动能守恒．[B](D)动量不守恒，动能也不守恒．解题思路：分析物体会发生形变的粘土球。在此过程中，由这两个粘土球组成的系统所受外力为零，即动量守恒；但是，碰撞时发生了形变，损失了部分能量。所以，动量守恒，动能不守恒，（B）为正确答案。3.9、一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法是正确的？（A）质点的动量改变时，质点的动能一定改变。（B）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变。（C）外力的冲量是零。外力的功一定为零。（D）外力的功为零，外力的冲量一定为零。[C]解题思路：根据它们的定义、概念，具体问题具体研究，进行判断。（A）质点的动量改变时，若只是其方向的改变，而大小不变，质点的动能一定不改变，比如质点做匀速率圆周运动就是这种情况。排除（A）；（B）质点的动能不变时，质点的动量不一定不变，比如质点做匀速率圆周运动就是这种情况。排除（B）；∵冲量，是力对时间的积累，外力为零时，冲量才能为零，所以功一定为零；而外力的功为零（正功等于负功），只要外力作用，外力的冲量就一定不为零。排除（D），选（C）。3.10、K质量分别为和的两个小球，连接在劲度系数为k的轻弹簧两端，并置于光滑的水平支点上，如图，今以等值反向的水平力，分别同时作用于两个小球上，若把两小球和弹簧看作一个系统，则系统在运动过程中。KF动量守恒，机械能守恒；F动量守恒，机械能不守恒；动量不守恒，机械能守恒；动量不守恒，机械能也不守恒；[B]提示：对系统，在水平方向上，，动量守恒；∴对系统，重力势能不变，∴，机械能不守恒。3.11、一个物体可否具有动量而无机械能？可以（填可，否）说明：一个物体可以具有动量而无机械能，比如说：当子弹射入沙箱，在前进的过程中，受沙子的摩擦而发热，具有动量；发热的过程中将机械转化为热能，所以其机械能为零，动量不为零。3.12、假设作用在一质量为10kg的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50N，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动．则物体最后的速率v＝____5m·s1___________解题思路：∵力在4秒内均匀地从零增加，可设，已知：，又∵，∴。3.13、一质量为M的质点沿x轴正向运动，假设该质点通过坐标为x的位置时速度的大小为kx(k为正值常量)，则此时作用于该质点上的力F=_____，该质点从x=x0点出发运动到x=x1处所经历的时间t=________．解题思路：已知，则；∵动量定理：…（1）1、求F：，与（1）式对比即；2、求t：∵动量定理……（2）对（2）式两边同时积分：，为正确答案。3.14、一块木料质量为45kg，以8km/h的恒速向下游漂动，一只10kg的天鹅以8km/h的速率向上游飞动，它企图降落在这块木料上面．但在立足尚未稳时，它就又以相对于木料为2km/h的速率离开木料，向上游飞去．忽略水的摩擦，木料的末速度为：____6.7解题思路：分析天鹅和木料动量的变化（设向下游的方向为正方向），1、初态时，木料的动量为：……（1），天鹅的动量为：-80；2、天鹅停留在木料上时的动量守恒：360-80=……（2）3、天鹅飞离木料时的动量守恒：……（3）4、联立上述各方程，解得：3.15、一个人站在平板车上掷铅球，人和车总质量为M，铅球的质量为m，平板车可沿水平、光滑的直轨道移动．设铅直平面为xy平面，x轴与轨道平行，y轴正方向竖直向上．已知未掷球时，人、车、球皆静止．球出手时沿斜上方，它相对于车的初速度在xy平面内，其大小为v0，方向与x轴正向的夹角为，人在掷球过程中对车无滑动，则球被抛出之后，车对地的速度：__，球对地的速度________．参考解：选人、车、铅球为系统，水平方向动量守恒，方向球对地的速度，。∴.3.16、如图，有一小球从高为H处自由下落，在下落到h处碰到一个45°的光滑固定斜面与其作完全弹性碰撞．试计算斜面位置的高度H′为多少时能使小球弹得最远？解：根据机械能守恒定律或牛顿定律，小球与斜面碰撞时的速度为因为是完全弹性碰撞，小球弹射的速度大小为v2的方向沿水平方向，故小球与斜面碰撞后作平抛运动，弹出的水平距离为S=v2t，式中∴根据极值条件得到h=H/2，即，且故是使小球弹得最远的高度．3.17、质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0．这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）．解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒：2分即，船走过的路程为2分狗离岸的距离为1分3.18、如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h＝0.5m处，煤粉自料斗口自由落在A上．设料斗口连续卸煤的流量为qm＝40kg/s，A以v＝2.0m/s的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度设煤粉与A相互作用的t时间内，落于传送带上的煤粉质为：设A对煤粉的平均作用力为，由动量定理写分量式：将代入得，∴N，与x轴正向夹角为=arctg(fx/fy)=57.4°，煤粉对A的作用力f′=f=149N，方向与图中相反．3.19（0703）、如图所示，砂子从h＝0.8m高处下落到以3m／s的速率水平向右运动的传送带上．取重力加速度g＝10m／s2．传送带给予刚落到传送带上的砂子的作用力的方向为与水平夹角53°向下．(B)与水平夹角53°向上．与水平夹角37°向上．(D)与水平夹角37°向下．［B］解：设沙子落到传送带时的速度为，随传送带一起运动的速度为，则取直角坐标系，x轴水平向右，y轴向上．设质量为m的砂子在t时间内平均受力为,则3分由上式即可得到砂子所受平均力的方向,设力与x轴的夹角为则1(4/3)=53°,力方向斜向上2分3.20、有一门质量为M(含炮弹)的大炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑．当滑下l距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹．欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止滑动，炮弹的初速v（对地）应是多少？(设斜面倾角为)．解：设炮车自斜面顶端滑至l处时其速率为v0．由机械能守恒定律，有：……①2分以炮车、炮弹为系统，在l处发射炮弹的过程中，忽略重力，系统沿斜面方向动量守恒：……②2分由①、②式可以解出：3.21、质量为m=5.6g的子弹A，以v0=501m/s的速率水平地射入一静止在水平面上的质量为M=2kg的木块B内，A射入B后，B向前移动了S=50cm后而停止，求：(1)B与水平面间的摩擦系数．(2)木块对子弹所作的功W1．(3)子弹对木块所作的功W2．(4)W1与W2的大小是否相等？为什么？解：(1)设A射入B内，A与B一起运动的初速率为，则由动量守恒……①=1.4m/s2分根据动能定理：……②1分……③1分①、②、③联立解出=0.1961分(2)J2分，(3)J1分(4)W1、W2大小不等，这是因为虽然木块与子弹之间的相互作用力等值反向，但两者的位移大小不等．2分3.22、两个大小与质量相同的小球，一个是弹性球，另一个是非弹性球．它们从同一高度自由落下与地面碰撞后，为什么弹性球跳得较高？地面对它们的冲量是否相同？解答：(1)弹性球与地面碰撞损耗的动能比非弹性球与地面碰撞时损失得小，因而弹性球反跳速度大于非弹性球反跳速度，即＞，故弹性球跳得较高．