人教版九年级数学下册第26章反比例函数

第二十六章反比例函数26.1反比例函数26.1.1反比例函数学习目标1.了解反比例函数的相关概念,会确定自变量的取值范围3.能够根据实际问题写出反比例函数的解析式.2.会求反比例函数的解析式(重点、难点)当路程s=100m时，时间t(s)与速度v(m/s)的关系是：问题1

2016年里约奥运会上，“闪电”博尔特延续传奇，再度夺得百米金牌.那么他所用的时间t和速度v之间有着怎样的数量关系呢？观察与思考vt=100或观察与思考问题2小明想要在家门前草原上围一个面积约为15m2的矩形羊圈，那么羊圈的长y（单位：m）和宽x（单位：m）之间有着什么样的关系呢？当面积S=15m2

时，长y(m)与宽x(m)的关系是：

xy=15或反比例函数的概念问题1：对于前面的两个问题，变量间具有函数关系吗？问题2：它们的解析式有什么共同特点？都具有______的形式，其中＿＿＿是常数．分式分子概念归纳形如（k≠0)也是反比例函数；而类似（k≠0)不是反比例函数.注意形如y=

（k为常数，k≠0）的函数，称为反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。下列函数是不是反比例函数？若是，请指出k的值.是，k=3不是，它是正比例函数不是不是是，归纳总结例1:若函数

是反比例函数，求k的值，并写出该反比例函数的解析式.解：由题意得4-k2=0，且k-2≠0

，解得k=-2.因此该反比例函数的解析式为

.

1.已知函数

是反比例函数，则k必须满足

.2.当m

时，

是反比例函数.k≠2且k≠-1=±1做一做因为x作为分母，不能等于零，因此自变量x的取值范围是所有非零实数.

但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数自变量的取值范围.例如，在前面得到的

中，v的取值范围是v＞0．思考反比例函数

(k≠0)的自变量x的取值范围是什么呢？确定反比例函数的解析式例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值．解：（1）设，因为当x=2时，y=6，所以有，解得k=12，因此（2）当x=4时，=3.

总结（1）求反比例函数的解析式常用待定系数法，先设其解析式为（k≠0），然后求出k

的值；（2）当反比例函数的解析式确定以后，已知x（或y）的值，将其代入解析式中即可求得相应的y（或x）的值.

解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以.所以，它是反比例函数.例3.如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y.写出变量y与x之间的关系式，并指出它是什么函数.ABCD建立简单的反比例函数模型例4.

人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h时，视野为80度，如果视野f（度）是车速v（km/h）的反比例函数，求f关于v的函数解析式，并计算当车速为100km/h时视野的度数.解：设（k≠0）.由v=50，f=80，得k=4000，所以.当v=100km/h时，f=40度.反比例函数模型在物理学中应用最为广泛，一定条件下，公式中的两个变量可能构成反比例关系，进而可以构建反比例函数的数学模型.列出反比例函数解析式后，注意结合实际问题写出自变量的取值范围.方法归纳1.生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的有几个？

（

）

（1）x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg；（2）底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为10m3；（3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm；（4）在水龙头前放满一桶水,出水的速度为x，放满一桶水的时间y.A.1个

B.2个

C.3个

D.4个B当堂练习2.下列函数，y是x的反比例函数的是（）A26.1.2反比例函数的图象和性质反比例函数的图象又会是什么样子呢?你还记得作函数图象的一般步骤吗？给反比例函数“照相”

回顾与思考2用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表、描点、连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来).当容积为1000

m3时,时间t与每小时水流量v之间的关系是：

（t>0）问题某游泳池容积为1000m3，现在需要注满水，每小时水流量v(m3/h)与时间t(h)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个函数图象吗？观察与思考123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy观察这两个函数图象，它们有哪些共同特征.（1）每个函数图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？思考:1.反比例函数的图象和性质总结归纳2.反比例函数的图象和性质由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大图象性质图象性质C反比例函数y=

的图象大致是（)yA.xyoB.xoD.xyoC.xyo当堂练习例1.已知反比例函数

的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A(

)，B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定C典例精析

例2.点(2，y1)和(3，y2)在函数

上，则y1

y2（填“>”“<”或“=”）.<例3.已知反比例函数，y随x的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a-7=-1，且a-1<0．

解得a=-3.2.下列关于反比例函数的三个结论：

(1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.2）；

(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；

(3)它的图象在第二、四象限内.其中正确的是（填序号）．(1)(3)

１．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.3.在反比例函数(k>0)的图象上有两点A(x1,

y1)，B(x2,y2)且x1>x2>0，则y1-y2

0.＜反比例函数kk>0k<0图象性质图象位于第一、三象限图象位于第二、四象限在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大课堂小结第二十六章反比例函数26.2实际问题与反比例函数圆柱的烦恼----怎样减肥

有一个圆柱王国，住满了形形色色的圆柱，其中有一个底面积为10平方米，高为0.4米的圆柱A，膀大腰圆，威风八面，自己以粗壮为美，可近来却忧心忡忡，忽然变得自卑起来，探问何因？原来其他苗条的圆柱都在嘲笑它。说它太胖，爱美的圆柱A即想让自己的空间优势不变（体积不变），又想让自己变瘦，想变成10米高，它使出了浑身解数，也没实现自己的愿望，聪明的同学，你能帮圆柱A解除烦恼吗？A

某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为安全迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务。

当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（㎡）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将随着变化。如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么:

1.用含S的代数式表示P(Pa）.2.当木板面积为0.2㎡时，压强是多少？3.如果要求压强为6000Pa,木板面积要多少？压强=

市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3

的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系？

解：(1)根据圆柱体的体积公式,我们有S×d=变形得.

即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.例1把S=500代入

,得(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向下掘进多深？解:

如果把储存室的底面积定为500m2

，施工时应向地下掘进20m深.解得d=20市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3

的圆柱形煤气储存室.(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)？根据题意,把d=15代入,得解得S≈666.67

当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为666.67m2

才能满足需要.(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?解:

实际问题

（数学模型）

当S=500m2时求d

当d=15m时求S小结

拓展圆柱体的体积公式永远也不会变

码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系？

分析：根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据卸货速度＝货物总量÷卸货时间，得到v与t的函数关系式。例2

码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系？

解:（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有k=30×8=240，

所以v与t的函数关系式为.

码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.

(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在5日内卸载完毕,那么平均每天要卸多少吨货物？

结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，则平均每天卸载48吨.

码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在5日内卸载完毕,那么平均每天要卸多少吨货物?

解:（2）把t=5代入

，得.

给我一个支点，我可以撬动地球！

——阿基米德情景引入阻力臂阻力动力臂动力情景引入杠杆原理：【例3】小伟欲用雪撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m.(1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系?(2)当动力臂为1.5m时,撬动石头至少需要多大的力?(3)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半,则动力臂至少要加长多少?在我们使用撬棍时,为什么动力臂越长就越省力？你知道了吗？反比例函数在电学上，用电器的输出功率P（瓦）.两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下的关系：PR=U2思考：1.上述关系式可写成P＝＿＿＿＿＿2.上述关系式可写成R=___________例3：一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～220Ω.已知电压为220V,这个用电器的电路图如图.U(1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系?(2)用电器输出功率的范围多大?解:(1)根据电学知识,当U=220V时,有即输出功率P是电阻R的反比例函数.解：从①式可以看出,电阻越大则功率越小.把电阻的最大值R=220Ω代入①式,则得