初中数学浙教版八年级上册第2章特殊三角形2．2等腰三角形 全市一等奖

【等腰三角形归纳】

1、等腰三角形的一些重要性质：

①等腰三角形的两底角相等。

②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(“三合一”)。【典型例题】

①等腰三角形两腰上的中线相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，若BD，CE分别是AC，AB边上的中线，则有BD＝CE。

②等腰三角形两腰上的高相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是AC，AB边上的高，那么BD＝CE。

③等腰三角形两底角的平分线相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，那么BD＝CE。

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。

已知：如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC。

4、等腰三角形分类

等腰三角形

5、有关等腰三角形周长的计算

给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。

【例题讲解】

例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。

例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。

例3：如图，点D，E在AC上，∠ABD＝∠CBE，∠A＝∠C，求证：BD＝BE。

例4：求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形。

例5：已知：在ΔABC中，AB＝AC，O是ΔABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC。

例6：已知：如图，ΔABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，求证：DB＝DE。

【等边三角形归纳】1、等边三角形的定义：三条边都_______的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的三角形。2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都,并且每一个角都等于度；3、等边三角形的判定1：三个角都的三角形是等边三角形；等边三角形的判定2：有一角是度的三角形是等边三角形；4、教师点拨：（1）判定一个三角形是等边三角形的方法：=1\*GB3①定义法：证明三边相等=2\*GB3②判定定理1：证明三角相等=3\*GB3③判定定理2：一角等于60°且两边相等（2）等边三角形的判定较为复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法。若从一般三角形出发，则可以通过“三边相等”或“三角相等”来判定；CBA若从等腰三角形出发，则想办法获取“CBA【自学检测】（1）∵△ABC是等边三角形，∴==∠=∠=∠=度（2）∵==∴△ABC是等边三角形.()（3）∵∠=∠=∠∴△ABC是等边三角形()（4）∵∠A=60°，AB=AC∴△ABC是三角形()【典型例题】1、等边三角形是___________图形，它有_______条对称轴，它的对称轴是_________________.2、下列三角形中是等边三角形的是（）：=1\*GB3①有两个角等于60°的三角形；=2\*GB3②有一个角等于60°的等腰三角形；=3\*GB3③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；=4\*GB3④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.A.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③B.=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④C.=1\*GB3①=3\*GB3③D.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④3、在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．变式1：在等边△ABC中,过边AB上一点D作∠ADE=60°，交边AC于点E，△ADE是等边三角形吗？试说明理由．变式2：在等边△ABC中，过边AB上点D作DE∥BC，交边AC于点E呢？△ADE是等边三角形吗？试说明理由．3、探究：等边三角形三条中线相交于一点。请在图中画出图形，找出图中所有的全等三角形，并选择其中一组全等三角形进行证明。【学生练习题】1、如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°图中有哪些与BD相等的线段？FFECDBA2、已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．求证：DB=DE．EECDBA变式：已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．DF⊥BC,垂足为F.求证：F是BE的中点.FFECDBA3、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：当点P在△ABC内（图2）和点P在△ABC外（图3）这两种情况时，h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．4、如图，等边三角形ABC中，三条内角平分线AD、BE、CF相交于点O。（1）△AOB,△BOC,△AOC有何关系？并说明理由（2）求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数，将△ABC绕点O旋转，问要旋转多少度就能和原来的三角形重合（只要求说出一个旋转度数）？AABCDEFO5、如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．6、如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别在AB和AC上，且AD=CE，BE和CD相交于点P。（1）说明△AD≌△CEB（2）求：∠BPC的度数.7、已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．求证：（1）；（2）为等边三角形．【等腰三角形练习题】

1、填空。

①等腰三角形中，两腰上的中线，顶角的平分线底边。

②若等腰三角形的一个角是时，则这个角可以是顶角，也可以是底角。若有一个角是时，则这个角一定是顶角。

2、已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，AD的延长线交BC于点E，求证：BE＝EC。

3、已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点，求证：AF⊥CD。

4、已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，求证：ΔACE是等腰三角形。

5、已知：如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：AE＝EB。

6、已知：如图，在ΔABC中，AB＝AC，E，F分别是AB边和AC边延长线上的点，且BE＝CF，EF与BC交于点D，求证：DE＝DF。

7、已知：如图，ΔABC中，∠A＝2∠C，BD是∠B的平分线，求证：BC＝AB＋AD。

【等边三角形练习题】ABABCDE（1）等边三角形的三条边都，三个内角都，且每个内角都等于。（2）等边三角形有条对称轴。（3）等边三角形的、、互相重合。（4）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°，那么∠CBD=度。

2、如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明DB=DE的理由。AABCDE3、若a、b、c为△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，请说明△ABC是等边三角形。ABABCDE5、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF。请你说明△DEF是正三角形。AABCDEF拓展思考：已知：