高中数学必修1练习题集

第一章、集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示例1.用符号和填空。⑵设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+______B；⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，________A，______A；⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。⑵1，，，，这些数组成的集合有五个元素；⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。例4.用列举法和描述法表示方程组的解集。典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x{1，0，x}，求实数x的值。题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.题型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。例9.已知集合A={a+2，(a+1)，a+3a+3}，若1A，求实数a的值。例10.集合M的元素为自然数，且满足：如果xM，则8-xM，试回答下列问题：⑴写出只有一个元素的集合M；⑵写出元素个数为2的所有集合M；⑶满足题设条件的集合M共有多少个？创新、拓展、实践1、实际应用题例11.一个笔记本的价格是2元，一本教辅书的价格是5元，小明拿9元钱到商店，如果他可以把钱花光，也可以只买一种商品，请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来，并用集合表示。2、信息迁移题例12.已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A、B间的运算A＊B={x∣xA且xB}，则集合A＊B等于（）A.{1，2，3}B.{2，4}C.{1，3}D.{2}3、开放探究题例13.非空集合G关于运算满足：⑴对任意a、bG，都有abG；⑵存在eG，使得对一切aG，都有ae=ea=a，则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合与运算：G={非负整数}，为整数的加法。G={偶数}，为整数的乘法。G={二次三项式}，为多项式的加法。其中G关于运算为“融洽集”的是__________。（写出所有“融洽集”的序号）例14.已知集合A={0，1，2，3，a}，当xA时，若x-1A，则称x为A的一个“孤立”元素，现已知A中有一个“孤立”元素，是写出符合题意的a值_______(若有多个a值，则只写出其中的一个即可)。例15.数集A满足条件；若aA，则A（a≠1）。⑴若2A，试求出A中其他所有元素；⑵自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；⑶从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”。高考中出现的题例1.（2008·江西高考）定义集合运算：A＊B={z∣z=xy，xA，yB}。设A={1，2}，B={0，2}，则集合A＊B的所有元素之和为（）A.0B.2C.3D.6例2.（2007·北京模拟）已知集合A={a，a，…，a}(k≥2)，其中aZ(i=1，2，…，k)，由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）∣aA，bA，a+bA}；T={(a，b)∣aA，bA，a-bA}，其中（a，b）是有序数对。若对于任意的aA，总有-aAA，则称集合A具有性质P。试检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T。1.1.2集合间的基本关系例1用Venn图表示下列集合之间的关系：A={x∣x是平行四边形}，B={x∣x是菱形}，C={x∣x是矩形}，D={x∣x是正方形}。例2设集合A={1，3，a}，B={1，a-a+1}，且AB，求a的值已知集合A={x，xy，x-y}，集合B={0，，y}，若A=B，求实数x，y的值。写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集。例5判断下列关系是否正确：（1）0{0}；（2）{0}；（3）{0}；（4）题型一判断集合间的关系问题例1下列各式中，正确的个数是（）(1){0}{0，1，2}；（2）{0，1，2}{2，1，0}；（3）{0，1，2}；（4）{0}；（5）{0，1}={（0，1）}；（6）0={0}。A.1B.2C.3D.4题型二确定集合的个数问题例2已知{1，2}M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有__________个。题型三利用集合间的关系求字母参数问题已知集合A={x︱1＜ax＜2}，B={x∣＜1},求满足AB的实数a的范围。设集合A={x∣x+4x=0，xR}，B={x∣x+2(a+1)x+a-1=0，xR}，若BA，求实数a的值。一、数形结合思想：1.用Venn图解题设集合A={x︱x是菱形}，B={x︱x是平行四边形}，C={x︱x是正方形}，指出A、B、C之间的关系。（2.用数轴解题）已知A={x︱x＜-1或x＞5}，B={xR︱a＜x＜a+4}，若AB，求实数a的取值范围。二、分类讨论思想已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac}，若A=B，求c的值。创新、拓展、实践1.数学与生活写出集合{农夫，狼，羊}的所有子集，由此设计一个方案：农夫把狼、羊、菜从河的一岸送到另一岸，农夫每次乘船只能运送一样东西，并且农夫不在场的情况下，狼和羊不能在一起，羊和菜不能在一起。2.开放探究题已知集合A={x∣=4}，集合B={1，2，b}.是否存在实数a，使得对于任意实数b都有AB？若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由。若AB成立，求出对应的实数对（a，b）高考要点阐释例1（山东模拟）设a、bR，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b–a=()(请写出解题过程)A.1B.-1C.2D.-2例2(湖北模拟）已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m}，若BA，则实数m=___________.例3（2008·福建高考）设P是一个数集，且至少含有两个数，若任意a、bP，都有a+b、ab、P（除数b≠0），则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域；数集F={a+b∣a、bQ}也是数域。有下列命题：①整数集是数域；②若有理数QM，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。其中正确的命题的序号是__________.（把你认为正确的命题的序号都填上）<名师专家专辑1·空集>1.空集的概念及性质例1在（1）{0}；（2）{}；（3）{x∣3m＜x＜m}；（4）{x∣a+2＜x＜a}；（5）{x∣x+1=0，xR}中表示空集的是__________.2.空集性质的应用例2已知集合A={x∣x＞0，xR}，B={x∣x-x+p=0}，且BA，求实数p的范围。例3已知A={x∣x-3x+2=0}，B={x∣ax-2=0}，且BA，求实数a组成的集合C.1.1.3集合的基本运算例1设集合A={x︱-1＜x＜2}，集合B={x︱1＜x≤3}，求AB.例2A={x︱-1＜x≤4}，B={x︱2＜x≤5}，求AB.例3若A、B、C为三个集合，AB=BC，则一定有（）A.ACB.CAC.A≠CD.A=例4不等式组的解为A，U=R，试求A及CA，并把它们分别表示在数轴上。题型一基本概念例1设集合A={（x，y）∣ax+by+c=0}，B={（x，y）∣ax+by+c=0}，则方程组的解集是__________；方程(ax+by+c)（ax+by+c）=0的解集是__________.题型二集合的并集运算例2若集合A={1，3，x}，B={1，x}，AB={1，3，x}，则满足条件的实数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个题型三集合的交集运算例3若集合A={x∣x-ax+a-19=0}，B={x∣x-5x+6=0}，C={x∣x+2x-8=0}，求a的值使得(AB)与AC=同时成立。例4集合A={1，2，3，4}，BA，且1(AB)，但4(AB)，则满足上述条件的集合B的个数是（）A.1B.2C.4D.8题型四集合的补集运算例5设全集U={1，2，x-2}，A={1，x}，求CA设全集U为R，A={x︱x-x–2=0}，B={x︱=y+1，yA}，求CB 题型五集合运算性质的简单应用例7已知集合A={x︱x+ax+12b=0}和B={x︱x-ax+b=0}，满足（CA）B=2，A(CB)={4}，U=R，求实数a、b的值。例8已知A={x︱x-px–2=0}，B={x︱x+qx+r=0}，且AB={-2，1，5}，AB={-2}，求实数p、q、r的值。数学思想方法一、数形结合思想例9（用数轴解题）已知全集U={x︱x≤4}，集合A={x︱-2＜x＜3}，集合B={x︱-3＜x≤3}，求CA，AB，C(AB)，(CA)B例10（用Venn图解题）设全集U和集合A、B、P满足A=CB，B=CP，则A与P的关系是（）A.A=CPB.A=PC.APD.AP二、分类讨论思想例11设集合A={，3，5}，集合B={2a+1，a+2a，a+2a-1}，当AB={2，3}时，求AB三、“正难则反”策略与“补集”思想例12已知方程x+ax+1=0，x+2x-a=0，x+2ax+2=0，若三个方程至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。四、方程思想例13设集合A={x︱x+4x=0，xR}，B={x︱x+2(a+1)x+a-1=0，xR}，若BA，求实数a的值。创新、拓展、实践例14（实际应用题）在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？例15（开放探究题）定义集合A和B的运算为A﹡B={x︱xA且xB}，试写出含有几何运算符号“﹡”、“”、“”，并对任意集合A和B都成立的一个式子________________________________________________________________________________________例16我们知道，如果集合AU，那么U的子集A的补集为CA={x︱xU，且xA}，类似地，对于集合A、B，我们把集合{x︱xA，且xB}叫做A与B的差集，记作A-B，例如A={1，2，3，5，8}，B={4，5，6，7，8}，则A-B={1，2，3，}，B–A={4，6，7}。据此，回答以下问题：⑴补集与差集有什么异同点？⑵若U是高一⑴班全体同学的集合，A是高一⑴班全体女同学组成的集合，求U–A及CA.⑶在图1-1-24所示的各图中，用阴影表示集合A–B⑷如果A–B=，那么A与B之间具有怎样的关系。高考要点阐释例1（2008·陕西高考）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x︱x-3x+2=0}，B={x︱x=2a，aA}，则集合C(AB)中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4例2（2008·上海高考）若集合A={x︱x≤2}，B={x︱x≥a}，满足AB={2}，则实数a=_________________________________.例3（2008·北京高考）已知集合A={x︱-2≤x≤3}，B={x︱x＜-1或x＞4}，则集合AB等于（）A.{x︱x≤3或x＞4}B.{x︱-1＜x≤3}C.{x︱3≤x＜4}D.{x︱-2≤x＜-1}1.2函数及其表示例1判断下列对应是否为函数⑴x，x≠0，xR；⑵xy，这里y=x，xN，yR2.1指数函数例1求下列各式的值⑴=⑵=⑶=⑷=例2⑴把下列各式中的a写成分数指数幂的形式（a＞0）；①a=256②a=28③a=5④a=3(m，nN)⑵计算：①9②16例3化简÷例4化简（式中字母都是正数）⑴（xy）⑵(2x+3y)(2x-3y)⑶4x·3x(-y)·y例化简下列各式⑴-⑵÷（1–2）×典型例题题型一、根式的性质求值（a＞0）.例2计算：⑴⑵题型二、分数指数幂及运算性质1.计算问题：例3计算：2.化简问题：例4化简下列各式：⑴⑵（x）（x）3.带附加条件的求值问题例5已知a+a=3，求下列各式的值：⑴a+a⑵a+a⑶数学思想方法一、化归与转化思想例6化简：（a＞0，b＞0）.二、整体代换思想例7⑴已知2（常数），求8的值。⑵已知x+y=12,xy=9，且x＜y，求的值。创新、拓展、实践1.数学与科技例8已知某两星球间的距离d×10千米，某两分子间的距离d×10米，请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍？2.创新应用题例9已知a、b是方程x-6x+4=0的两根，且a＞b＞0，求的值。3.开放探究题例10已知a＞0，对于0≤r≤8，rN，式子()()能化为关于a的整数指数幂的可能情形有几种？高考要点阐释(写出解题的过程)例1（2008·重庆文高考）若x＞0，则（2x+3）（2x-3）-4x·（x-x）=_____________________________.例2（上海高考）若x、x为方程2=（）的两个实数解，则x+x=_____.例3（北京高考改编）函数f（x）=a(a＞0，且a≠1)对于任意的实数x、y都有（）A.f（x·y）=f（x）·f（y）B.f（xy）=f（x）+f（y）C.f（x+y）=f（x）·f（y）D.f（x+y）=f（x）+f（y）名师专家点穴一、巧用公式引入负指数幂及分数指数幂后，初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征；如：（aa）=a2+a；a–b=(a+b)(a-b)；a+b=(a+b)·（a-ab+b）例1化简下列各式⑴（x+x+1）(x-x)二、整体带入例2已知x+x=3求的值。例3计算（1+）（1+）…（1+）（1+）（1+）.三、根式、小数化为指数幂例4计算（0.0081）-[3×()]·[81+(3)].2.1.2指数函数及其性质例1指出下列函数哪些是指数函数⑴y=4；⑵y=x；⑶y=-4；⑷y=(-4)；⑸y=；⑹y=4x；⑺y=x；⑻y=(2a-1)(a＞，且a≠1)例2比较下列各题中两个值的大小。⑴；⑵；⑶例3求下列函数的定义域和值域：⑴y=；⑵y=2⑶y=()教材问题探究1.函数图像的变换例1画出下列函数的图像，并说明他们是由函数f(x)=2的图像经过怎样的变换得到的。⑴y=2；⑵y=2；⑶y=2；⑷y=；⑸y=-2；⑹y=-2例2设f(x)=，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是（）A.3＜3B.3＞3C.3+3＞2D.3+3＜2探究学习例3选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图像.观察图像,你能发现他们有哪些共同特征?典型例题精析题型一指数函数的定义例1函数y=(a+3a+3)a是指数函数，则a的值为___________________________题型二指数函数的图像和性质1.过定点问题例2函数y=2+3恒过定点________________.2.指数函数的单调性例3讨论函数f(x)=()的单调性，并求其值域。例4已知函数f(x)=（＞1）⑴求该函数的值域；⑵证明f(x)是R上的增函数3.指数函数的图像例5若函数y=a+b–1（a＞0，且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有（）A.a＞1，且b＜1B.0＜a＜1，且b＜0C.0＜a＜1，且b＞0D.a＞1，且b＜1变试训练1：当≠0时，函数y=+b和y=b的图象只可能是下列中的（）题型三指数函数图像和性质的综合应用1.比较大小例6右图是指数函数：①y=a，②y=b，③y=c，④y=d的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（）A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c2.解不等式例7⑴解不等式≤2.⑵已知＞，则x的取值范围是________________。⑶设函数f(x)=若f(x)＞1，则x的取值范围是（）变试训练2：设y=a，y=a，其中a＞0，a≠1，确定x为何值时，有：⑴y=y；⑵y＞y.3.定义域和值域例8求下列函数的定义域与值域⑴y=2；⑵y=.已知-1≤x≤2，求函数f(x)=3+2·39的值域4.指数方程例10解方程：3-3=80例11若方程有正数解，则实数的取值范围是（）A．（，1）B.(，2)C.（-3，-2）D.（-3，0）5.单调性问题例12已知a＞0且a≠1，讨论f(x)=a的单调性例13设＞0，f(x)=在R上满足f(-x)=f(x)。⑴求的值⑵证明：f(x)在（0，+）上是增函数6.奇偶性问题例14已知函数f(x)=，⑴求f(x)的定义域⑵讨论f(x)的奇偶性⑶证明f(x)＞0题型四指数函数的实际应用截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少？（精确到亿）数学思想方法一、数形结合思想1.比较大小例16比较3和42.求参数的取值范围例17关于x的方程有负根，求的取值范围。3.研究函数的单调性例18求函数y=的单调区间二、分类讨论思想例19根据下列条件确定实数x的取值范围：＜(a＞0且a≠1)三、函数与方程思想例20已知x,yR，且3+5＞3+5，求证x+y＞0.创新、拓展、实践1.数学与科技例21家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q，其中Q是臭氧的初始量，t为时间。⑴随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？⑵多少年以后将会有一半的臭氧消失？例22某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足右图所示的曲线。⑴写出服药后y与t之间