第五章 -第二次课自动控制理论

5.1

频率特性5.2

对数坐标图5.3

极坐标图5.4用频率法辨识线性定常系统的数学模型5.5奈奎斯特稳定判据5.6相对稳定性分析5.7频域性能指标与时域性能指标之间的关系第五章频率响应法5.2

对数坐标图一、对数坐标图及其特点1.博德图（Bode图）的构成对数相频特性图

—j(w)，单位是°横坐标是对

取以10为底的对数（lg）进行分度的。Bode图由

2

幅图构成：

对数幅频特性图

—L()=20lg|G(j)|，单位是分贝，用dB表示纵坐标都是按照线性进行分度的。横坐标是角频率。

标注角频率的真值，以方便读数。每变化十倍，横坐标1gw就增加一个单位长度，记为decade或简写dec，称之为“十倍频”或“十倍频程”。

在绘制函数关系时，相当于lgw为自变量。

若横轴上有两点w1与w2，则该两点的距离不是w2-w1，而是lgw2-lgw1，如2与20、10与100之间的距离均为一个单位长度，即一个十倍频程。

横坐标对于w是不均匀的，但对1gw却是均匀的线性分度。由于0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。更详细的刻度如下图所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.0000.1110100/(rad·s-1)23

纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度，用L()=20lgM()表示。

对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（o），仍用

()表示。2.博德图（Bode图）的优点（2）幅频特性取分贝数［20lg|G|］后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。（1）横坐标按频率取对数分度，低频部分展宽，而高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。（4）对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。二、典型因子的博德图为了便于对频率特性作图，开环传递函数均以时间常数形式表示。开环频率特性G(jw)H(jw)一般由下列5种典型因子组成。1）比例因子K2）一阶因子4）二阶因子3）积分和微分因子5）滞后因子1.比例因子K

比例环节：

；幅频特性：；相频特性：幅值上有放大或衰减作用；

比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号()=0º，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。1）当

w

<<w1时，则有其中，w1=1/T。这表示L(w)的低频渐近线为0dB的一条水平线。2.一阶因子一阶因子的对数幅频和相频表达式分别是2）当

w

>>w1时，则有因此对数频率特性曲线是一条斜线,斜率为-20dB/dec,称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为1=1/T，1(也记为T)称为转折频率（转角频率），是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当时，误差为：当时，误差为：最大误差发生在处，为wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04渐近线,dB0000-6-14-20误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对幅频特性曲线进行修正就足够了。对数幅频和相频曲线如下图所示。一阶因子的对数幅频和相频表达式分别是3.积分、微分因子402000.010.111020100.010.11积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线。在=1这一点穿过0dB线。（1）积分因子1对数幅频特性是一条斜率+20dB/dec的斜线在=1这一点穿过0dB线。（2）微分因子

的对数幅频特性曲线（3）因子4.二阶因子对数幅频特性

T<<1(或<<1/T)时，L()20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线重合。（1）二阶振荡环节对数幅频特性图--低频段T>>1(或>>1/T)时，并考虑到（0≤≤1），有

L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lg-40lgTdBT=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率n。求=1/T时的实际值L()?对数幅频特性图--高频段说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线，称为高频渐近线。

0.4<<0.7，误差<3dB，可以允许不对渐近线进行修正；当<0.4，>0.7，误差很大，必须对渐近线进行修正。

震荡环节对数幅频特性的误差曲线谐振峰值与谐振频率

0.4时，渐近线需要加尖峰修正。随的减小，谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率n。谐振峰值Mr--

阻尼比

--单位阶跃响应的最大超调量--系统的相对稳定性就越差。当=0时，r≈n，

Mr

≈，振荡环节处于等幅振荡状态。

当

=0时，()=0°当

=1/T时，()=-90°当

→∞时，()→-180°

振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；阻尼比的取值对曲线形状的影响较大。对数相频特性

对数相频特性

对数幅频特性（2）二阶微分因子5.滞后因子e-tjw滞后因子的幅频和相频表达式为()是呈指数规律下降的曲线，随增加而滞后无限增加。三、开环系统的博德图

设开环传递函数

则其对应的对数幅频和相频特性分别为画开环系统的博德图的方法（1）间接法：做出G(jw)所含各因子的对数幅频和相频特性曲线，然后对它们分别进行代数相加即可。（2）顺序斜率叠加法：用工程上的方法，直接画出开环系统的博德图。将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式顺序斜率叠加法不必将各个典型环节的L(w)绘出，而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L(w)曲线,j(w)曲线描点或叠加求取。由除延迟环节之外的典型环节组成（1）L()的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线。

系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加。1:基本规律（2）低频渐近线（及其延长线）的确定。G(jω)的低频段表达式为()=-v90°低频渐近线表达式为

低频段的对数幅频特性与相频特性与积分环节的个数v及开环传递系数K有关。低频段为一条斜率为-20vdB/dec的斜线。低频渐近线（及其延长线）上在=1时，有

L(1)=20lgK。（3）转折频率及转折后斜率变化量的确定。在惯性环节斜率－20dB/dec；在一阶微分环节

G(s)=(1+s)

的转折频率

1/

处，

斜率＋20dB/dec；在振荡环节斜率－40dB/dec。

其他典型环节的影响是在各自的转折频率处使L()的斜率发生相应的变化。的转折频率

1/T

处，的转折频率

1/T

处，（4）最终斜率与最终相位滞后与n-m的关系。当→时，由于n＞m，高频段的近似表达式为高频段为一条斜率为

-20(n-m)dB/dec

的斜线。高频段的对数幅频特性与相频特性均与

(n-m)

有关。()=-(n-m)·90°

1.分析系统由哪些典型环节串联组成，将开环传递函数写成标准的时间常数表达式，写出开环频率特性的表达式，确定各典型环节的转折频率。2:绘制步骤3.确定低频渐近线(由积分环节个数v与K决定)，找到横坐标为w=1、纵坐标为20lgK的点，过该点作斜率为

-20vdB/dec的斜线。2.选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为最高转折频率的

10倍左右。确定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。4.由低频向高频延伸，每到一个转折频率，斜率根据具体环节作相应的改变：

5.如有必要，对渐近线进行修正，以得到精确的对数幅频特性。其方法与典型环节的修正方法相同。通常只需修正各转折频率处以及转折频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。过惯性环节的转折频率处斜率-20dB/dec；在比例微分环节的转折频率处斜率+20dB/dec；振荡环节转折频率处斜率-40dB/dec；最终斜率为-20(n-m)dB/dec。

6．对数相频特性图：

7.若系统串联有滞后环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。可求出()的表达式，在低频、中频、高频分别取点计算，逐点描绘。低频时有()=-v90，最终相位为()=-(n-m)90。

分别画出各典型环节的对数相频特性曲线，将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。例：已知一反馈控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统的博德图。解：系统的开环频率特性为它的对数幅频特性为转折频率：210（2）相频特性100.2210.1L(w)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制对数幅频特性曲线低频段：时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]0.5

例：30转折频率：0.5230四、最小相位系统与非最小相位系统根据开环传递函数的零点与极点的位置，一般分为以下两种系统：（1）如果系统传递函数在右半s平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统（由除延迟环节之外的典型环节组成）。（2）系统传递函数在右半s平面上有一个(或多个)零点或极点，称为非最小相位系统。

显然G1(s)属于最小相位系统。用一个简单例子来说明最小相位系统的慨念。2()=-arctan-arctanT

(0°，-180°)对数幅频特性相同相频特性1()=arctan-arctanT

(0°，0°),

-90°(n-m)

(1)具有相同幅频特性的一些系统，其中最小相位系统的相位角变化是最小的。(2)

最小相位系统的幅频特性和相频特性存在唯一的对应关系。对于最小相位系统可以通过实验的方法测量并绘制出开环对数幅频特性曲线L()，就可以唯一确定此系统，推出相应的()，写出其开环传递函数。而对于非最小相位系统，只有同时知道了幅频特性和相频特性才能写出它的传递函数。特点“最小相位”这一概念来源于网络理论。

它是指具有相同幅频特性的一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节。五、系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系对数幅频听的低频段由因式按照v的数值将实际控制系统分为三种类型。来表征。1：0型系统0型系统对数幅频特性低频渐近线为一条20lgKdB的水平线。

低频渐近线斜率为-20dB/dec。

开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的频率值。

低频渐近线（或延长线）在w=1处的相交坐标值为20lgK。2：I型系统

低频渐近线斜率为-40dB/dec。

开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的频率值的二次方。

低频渐近线（或延长线）在w=1处的相交坐标值为20lgK。3：II型系统5.1

频率特性5.2

对数坐标图5.3

极坐标图5.4用频率法辨识线性定常系统的数学模型5.5奈奎斯特稳定判据5.6相对稳定性分析5.7频域性能指标与时域性能指标之间的关系第五章频率响应法5.4

用频率法辨识线性定常系统的数学模型一、由实验作出被测系统对数幅频特性曲线的渐近线给被测系统输入不同频率的正弦信号。对于大时间常数的系统，频率范围为0.01～10Hz；对于小时间常数的系统，应选择频率较高的正弦信号。在足够多的频率点上，测得被测系统稳态输出信号与输入信号的幅值比和相位差。据此作出该系统的对数幅频特性和相频特性曲线。用斜率为0dB/dec、±20dB/dec、±40dB/dec等直线段对所测的对数幅频特性曲线作近似处理，求出渐近线。

注意:

由于测量的是被测系统稳态输出的幅值与相位，因而该系统必须是稳定的。●●二、由Bode图求取传递函数的一般规则

(1)由低频段的斜