期中前三章复习-重积分课第十章

2023/2/71第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分2023/2/72三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质

第十章2023/2/73解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”

2023/2/741)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体2023/2/754)“取极限”令2023/2/762.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密

“大化小,常代变,近似和,求极限”

解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.2023/2/772)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量2023/2/78两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:

平面薄片的质量:2023/2/79二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,2023/2/710引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,

因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划

记作2023/2/711二重积分存在定理：二重积分的几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．因此，二重积分是在这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和．2023/2/712三、二重积分的性质(k

为常数)为D的面积,则

2023/2/713特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有2023/2/7147.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此2023/2/715例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上

2023/2/716例2.判断积分的正负号.解:

分积分域为则原式=舍去此项2023/2/717例3.估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96I2D2023/2/718

设函数D位于x轴上方的部分为D1,

当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.即域D中点的y坐标对称,（关于变量y为偶）当区域关于y=x对称时,则2023/2/719在第一象限部分,为上半圆，则有注：2023/2/720四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的2023/2/721同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算2023/2/722例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为2023/2/723内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法2023/2/724第二节二重积分的计算法（1）在直角坐标系下计算小结2023/2/725如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］2023/2/726应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得2023/2/727如果积分区域为：［Y－型］2023/2/728

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.2023/2/729解积分区域如图2023/2/730解2023/2/731解2023/2/732解2023/2/733二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］2023/2/734第二节二重积分的计算法（2）在极坐标系下计算小结2023/2/735一、利用极坐标系计算二重积分2023/2/736二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图(极点在区域以外)2023/2/737二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图(极点在区域边界上)2023/2/738极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图（极点在区域内部）2023/2/739解2023/2/740解2023/2/741解2023/2/7422023/2/7432023/2/744解2023/2/745解2023/2/746解2023/2/7472023/2/748二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意正确使用对称性）二、小结2023/2/749第三节三重积分2023/2/750一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为机动目录上页下页返回2023/2/751定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,

积和式”极限记作机动目录上页下页返回结束2023/2/752二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束2023/2/753方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为记作机动目录上页下页返回结束2023/2/754投影法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束2023/2/755方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为记作机动目录上页下页返回结束2023/2/756小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”具体计算时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择.机动目录上页下页返回结束2023/2/757解2023/2/7582023/2/759解如图，2023/2/7602023/2/7612023/2/7622023/2/763例5.

计算三重积分解:

用“先二后一”机动目录上页下页返回结束2023/2/764解如图,:xzD

122£+zx,

将W投影到zox平面得

先对y积分，再求xzD上二重积分,2023/2/765òòò----=112221zxDdydxdzxyxz原式2023/2/7662.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动目录上页下页返回结束2023/2/767如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量减少.机动目录上页下页返回结束2023/2/768解知交线为2023/2/7692023/2/770解所围成的立体如图，2023/2/771所围成立体的投影区域如图，2023/2/7722023/2/773其中为由例9.计算三重积分所围解:

在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束2023/2/774例10.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束2023/2/775

例11.计算其中解:利用对称性机动目录上页下页返回结束2023/2/776利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．2023/2/777解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,2023/2/778解2023/2/7792023/2/7802023/2/781内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系变量减少.围成;机动目录上页下页返回结束2023/2/782一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束第四节重积分的应用2023/2/783任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xoy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面机动目录上页下页返回结束2023/2/784二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则机动目录上页下页返回结束2023/2/785故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束2023/2/786若光滑曲面方程为则有机动目录上页下页返回结束2023/2/787例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积A.机动目录上页下页返回结束2023/2/788三、质心平面质点系的质心坐标2023/2/789平面薄片的质心坐标2023/2/790空间立体的质心坐标2023/2/791四、转动惯量平面薄片的转动惯量2023/2/792空间立体的转动惯量2023/2/793习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用机动目录上页下页返回结束

第十章重积分的计算及应用2023/2/794一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:

面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——

累次积分法机动目录上页下页返回结束2023/2/795二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号机动目录上页下页返回结束2023/2/796三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心证明某些结论等2.其它方面机动目录上页下页返回结束2023/2/7971计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:

利用极坐标原式机动目录上页下页返回结束2023/2/7982.计算积分其中D由所围成

.解:如图所示连续,所以机动目录上页下页返回结束2023/2/7993.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.机动目录上页下页返回结束2023/2/7100(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得机动目录上页下页返回结束2023/2/71014.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形