（课标专用）天津市高考数学二轮复习 专题五 立体几何 5.3 立体几何中的向量方法

5.3

立体几何中的向量方法整理ppt-2-突破点一突破点二突破点三用空间向量证明空间中的平行与垂直【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.(1)求证:BC1⊥AB1;(2)求证:BC1∥平面CA1D.分析推理首先根据直三棱柱的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标.(1)问可直接验证两条直线的方向向量垂直来证明.(2)问的求解可从两个角度:一是证明直线BC1的方向向量与平面CA1D的基向量共面;二是证明直线BC1的方向向量与平面CA1D的法向量垂直.整理ppt-3-突破点一突破点二突破点三证明:如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).整理ppt-4-突破点一突破点二突破点三又BC1⊄平面CA1D,因此BC1∥平面CA1D.

整理ppt-5-突破点一突破点二突破点三证法二:设平面CA1D的法向量为n=(x,y,z),又BC1在平面CA1D外,∴BC1∥平面CA1D.整理ppt-6-突破点一突破点二突破点三规律方法用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面α内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,α与β不重合),则(1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0.(2)l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α⇔a·e1=0⇔存在(3)α∥β⇔e1∥e2⇔存在实数λ,使e2=λe1(e1≠0);α⊥β⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0.整理ppt-7-突破点一突破点二突破点三即时巩固1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,BC=3,AA1=4,AC⊥BC,点D在线段AB上.(1)证明:AC⊥B1C;(2)若D是AB的中点,证明:AC1∥平面B1CD;整理ppt-8-突破点一突破点二突破点三(1)证明:如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则B(3,0,0),A(0,4,0),A1(0,4,4),B1(3,0,4),C1(0,0,4),整理ppt-9-突破点一突破点二突破点三又AC1⊄平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.证法二

连接BC1,交B1C于点E,连接DE.因为直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点,所以侧面BB1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线.所以DE∥AC1.因为DE⊂平面B1CD,AC1⊄平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.整理ppt-10-突破点一突破点二突破点三(3)解:由(1)知AC⊥BC,设D(a,b,0)(a>0,b>0),整理ppt-11-突破点一突破点二突破点三设二面角B-CD-B1的大小为θ,整理ppt-12-突破点一突破点二突破点三利用空间向量求空间角【例2】(2019天津,理17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.整理ppt-13-突破点一突破点二突破点三分析推理首先根据已知几何体的结构特征,找出其中的垂直关系建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标.(1)因为AB⊥平面ADE,所以可直接检验直线BF的方向向量与平面ADE的法向量垂直即可;(2)求出平面BDE的法向量,利用直线CE的方向向量与平面BDE的法向量的夹角表示所求角,注意向量夹角与所求角之间的转化;(3)设CF的长度,求出点F的坐标,求出二面角两个面的法向量,利用这两个法向量的夹角转化已知的二面角建立关于所求的方程,解之即可.整理ppt-14-突破点一突破点二突破点三(1)证明:依题意,可以建立以A为原点,整理ppt-15-突破点一突破点二突破点三整理ppt-16-突破点一突破点二突破点三(3)解:设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,整理ppt-17-突破点一突破点二突破点三规律方法用向量求空间角的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为n,m.整理ppt-18-突破点一突破点二突破点三即时巩固2(2019全国Ⅰ,理18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.整理ppt-19-突破点一突破点二突破点三(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.整理ppt-20-突破点一突破点二突破点三(2)解:由已知可得DE⊥DA.整理ppt-21-突破点一突破点二突破点三整理ppt-22-突破点一突破点二突破点三即时巩固3如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1.(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.整理ppt-23-突破点一突破点二突破点三解法一

(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,整理ppt-24-突破点一突破点二突破点三(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.由AB1⊥平面A1B1C1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1,由C1D⊥A1B1,得C1D⊥平面ABB1,所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.整理ppt-25-突破点一突破点二突破点三解法二

(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.所以AB1⊥平面A1B1C1.整理ppt-26-突破点一突破点二突破点三(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.

整理ppt-27-突破点一突破点二突破点三用空间向量求空间中的距离【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值.(2)求点D到平面PAB的距离.整理ppt-28-突破点一突破点二突破点三分析推理首先根据已知条件转化侧面PDC与底面ABCD的垂直关系,建立空间直角坐标系.(1)问直接转化为两异面直线的方向向量的夹角求解;(2)首先求出平面PAB的法向量,取平面PAB内任意一点,利用对应直线的方向向量在平面法向量方向上的投影绝对值表示所求距离即可.整理ppt-29-突破点一突破点二突破点三解:如图,取DC的中点O,连接PO,∵△PDC为正三角形,∴PO⊥DC.又侧面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.整理ppt-30-突破点一突破点二突破点三(1)∵E为PC的中点,整理ppt-31-突破点一突破点二突破点三整理ppt-32-突破点一突破点二突破点三规律方法求空间中距离的方法:(1)直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离.(3)设直线n的方向向量为n,直线n与异面直线a,b都垂直,A是直线a上任一点,B是直线b上任一点,则异面直线a,b的距离整理ppt-33-突破点一突破点二突破点三即时巩固4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.(2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.②在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.整理ppt-34-突破点一突破点二突破点三(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.因为AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解:以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,如图.在平面ABCD内作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.在Rt△CDE中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,整理ppt-35-突破点一突破点二突破点三整理ppt-36-突破点一突破点二突破点三②假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t),由①②消去t,化简得m2-3m+4=0.③因为方程③没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.整理ppt-37-核心归纳预测演练整理ppt-38-核心归纳预测演练1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(

)C整理ppt-39-核心归纳预测演练解析:如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设BC=CA=CC1=1,可知整理ppt-40-核心归纳预测演练2.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(

)A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确C解析:∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,∴n1与n2不垂直,又n1,n2不共线,∴α与β相交但不垂直.整理ppt-41-核心归纳预测演练3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为

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45°或135°∴两平面所成二面角为45°或135°.整理ppt-42-核心归纳预测演练4.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=AA1=2BC,E为DD1的中点,F为A1D的中点,则直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为

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整理ppt-43