人教版九年级上册数学期末综合复习解答题含答案

人教版九年级上册数学期末综合复习解答题含答案第21章三、解答题(19题16分，25题10分，其余每题8分，共66分)19．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2－9＝0； (2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0；(3)x2－eq\r(3)x－eq\f(9,4)＝0; (4)y2－2y＝5.20．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程eq\f(x＋2,x－1)＝4的解相同，求：(1)k的值；(2)方程x2＋kx－2＝0的另一个解．21．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？22．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．23．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)－x1x2＝16，求a的值．24．先阅读下面的材料，再解答问题．解方程：x4－5x2＋4＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到________的目的，体现了数学中的转化思想．(2)解方程：(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.25．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．(1)该小区每月可收取物管费90000元，该小区共有多少套80平方米的住宅？(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少eq\f(3,10)a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少eq\f(1,4)a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少eq\f(5,18)a%，求a的值．第22章三、解答题(19～22题每题8分，23题10分，其余每题12分，共66分)19．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象经过原点，当x＝1时，函数有最小值－1.(1)求这个二次函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出它的图象．(2)利用图象填空：这条抛物线的开口向________，顶点坐标为________，对称轴是直线________；当__________时，y≤0.20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，2)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，1.(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．21.已知抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c经过点(1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).(1)求该抛物线对应的函数解析式；(2)将抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线对应的函数解析式．22．已知△ABC中，BC边的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数解析式，并求出面积为48时BC的长．(2)当BC的长为多少时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？23．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/kg，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数解析式；(2)求这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．24．如图，抛物线的顶点为A(－3，－3)，此抛物线交x轴于O，B两点．(1)求此抛物线对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积；(3)若抛物线上另有一点P满足S△POB＝S△AOB，请求出点P的坐标．25．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水头意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷出的水柱的最大高度．第23章三、解答题(19～22题每题8分，23题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，在△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．(1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数；(2)求∠BAE的度数和AE的长．20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．21．平面直角坐标系第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，试求x＋2y的值．22．图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影．(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．(请将两个小题依次作答在图①、图②中，均只需画出符合条件的一种情形)23．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°得到的，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.(1)求证：△BDE≌△BCE；(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．24．已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．(1)如图①，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，试判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α.第24章三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．20.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于H.若OH＝2，AB＝12，BO＝13.求：(1)⊙O的半径；(2)AC的长．21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.(1)求证：∠BAD＝∠CBD；(2)若∠AEB＝125°，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长(结果保留π)．22．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为优弧AB上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.若AB＝AD，求∠EAC的大小．23．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4eq\r(3)，点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上的一动点(不与A，B重合)，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC.(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)当∠D＝30°时，求阴影部分的面积．24．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A(0，2)和点B(2eq\r(3)，0)．(1)求线段AB的长及∠ABO的大小．(2)在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，求∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(eq\r(6)，0)与点B(0，－eq\r(2))，点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．第25章三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜(指针指在分界线时重转)，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图法或列表法说明理由．

20.一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球、8个黑球、7个红球．(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是eq\f(1,3)，求从袋中取出黑球的个数．21．将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．(1)搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出1个盒子，求2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．22．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中摸出一个小球，记下数字为n.(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果．(2)若m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，则小明获胜；若m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？23．某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图(图①和图②)．(1)请你求出该班的总人数，并补全条形统计图(注：在所补小矩形上方标出人数)．(2)在该班团支部4人中，有1人选修排球、2人选修羽毛球、1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的2人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？24．某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9(单位：元)三种．从中随机拿出一个球，已知P(一次拿到8元球)＝eq\f(1,2).(1)求这4个球价格的众数．(2)若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由．②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法(如下表)求乙组两次都拿到8元球的概率．又拿先拿参考答案：第21章三、19.解：(1)原方程变形为(x－1)2＝eq\f(9,4)，开平方，得x－1＝±eq\f(3,2).∴x1＝eq\f(5,2)，x2＝－eq\f(1,2).(2)原方程变形为(x＋2)2－[2(x－3)]2＝0，因式分解得[(x＋2)＋2(x－3)]·[(x＋2)－2(x－3)]＝0，即(3x－4)(－x＋8)＝0，∴3x－4＝0或－x＋8＝0.∴x1＝eq\f(4,3)，x2＝8.(3)方程中a＝1，b＝－eq\r(3)，c＝－eq\f(9,4).∴Δ＝b2－4ac＝(－eq\r(3))2－4×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)))＝12.∴x＝eq\f(\r(3)±\r(12),2)，即x1＝eq\f(\r(3)＋2\r(3),2)＝eq\f(3,2)eq\r(3)，x2＝eq\f(\r(3)－2\r(3),2)＝－eq\f(1,2)eq\r(3).(4)配方，得y2－2y＋1＝5＋1，即y2－2y＋1＝6，则(y－1)2＝6.∴y－1＝±eq\r(6).∴y1＝1＋eq\r(6)，y2＝1－eq\r(6).20．解：(1)解eq\f(x＋2,x－1)＝4，得x＝2.经检验，x＝2是分式方程的解．∴x＝2是x2＋kx－2＝0的一个解．∴4＋2k－2＝0，解得k＝－1.(2)由(1)知方程为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.∴方程x2＋kx－2＝0的另一个解为x＝－1.21．(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0.∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．22．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1－x)2＝361，解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：4月份该公司的生产成本约为342.95万元．23．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)>0，解得a<3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)由根与系数的关系知x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2.∵xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，解得a1＝－1，a2＝6.∵a<3，∴a＝－1.24．解：(1)换元；降次(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，解得y1＝6，y2＝－2.由x2＋x＝6，解得x1＝－3，x2＝2；由x2＋x＝－2，得方程x2＋x＋2＝0，Δ＝b2－4ac＝1－4×2＝－7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1＝－3，x2＝2.25．解：(1)设该小区共有x套80平方米的住宅，则50平方米的住宅有2x套．由题意得2(50×2x＋80x)＝90000，解得x＝250.答：该小区共有250套80平方米的住宅．(2)参加活动一：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100元，有250×2×40%＝200(户)参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160元，有250×20%＝50(户)参加．参加活动二：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)a%))元，有200(1＋2a%)户参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)a%))元，有50(1＋6a%)户参加．由题意得100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)a%))·200(1＋2a%)＋160eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)a%))·50(1＋6a%)＝[200(1＋2a%)×100＋50(1＋6a%)×160]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,18)a%)).令t＝a%，化简得t(2t－1)＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝eq\f(1,2).∴a＝50.第22章三、19.解：(1)∵当x＝1时，函数有最小值－1，∴二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－1.∵二次函数的图象经过原点，∴(0－1)2·a－1＝0.∴a＝1.∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－1.函数图象如图所示．(2)上；(1，－1)；x＝1；0≤x≤220．解：(1)依题意可得抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．把点(－1，2)的坐标代入，得2＝a(－1＋3)×(－1－1)，∴a＝－eq\f(1,2).∴抛物线对应的函数解析式为y＝－eq\f(1,2)(x＋3)(x－1)，即y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).(2)∵y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2,∴抛物线的顶点坐标为(－1，2)．21．解：(1)把点(1，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))的坐标分别代入y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋b＋c＝0，,c＝\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝\f(3,2).))∴该抛物线对应的函数解析式为y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).(2)∵y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)．∴将抛物线y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法为先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．(平移方法不唯一)平移后抛物线对应的函数解析式为y＝－eq\f(1,2)x2.22．解：(1)y＝eq\f(1,2)x(20－x)＝－eq\f(1,2)x2＋10x.当y＝48时，48＝－eq\f(1,2)x2＋10x，解得x1＝12，x2＝8.∴△ABC的面积为48时，BC的长为12或8.(2)将y＝－eq\f(1,2)x2＋10x配方变形为y＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，∴当BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积为50.23．解：(1)当6≤x≤10时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1000＝6k＋b，,200＝10k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－200，,b＝2200.))∴y＝－200x＋2200.当10＜x≤12时，y＝200.故y与x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－200x＋2200（6≤x≤10），,200（10＜x≤12）.))(2)由已知得W＝(x－6)y.当6≤x≤10时，W＝(x－6)(－200x＋2200)＝－200eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(17,2)))eq\s\up12(2)＋1250.∵－200＜0，即抛物线的开口向下，∴当x＝eq\f(17,2)时，W取得最大值1250.当10＜x≤12时，W＝(x－6)·200＝200x－1200.∵W随x的增大而增大，∴当x＝12时，W取得最大值，为200×12－1200＝1200＜1250.答：这一天销售西瓜获得的利润的最大值为1250元．24．解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋3)2－3.∵抛物线过点(0，0)，∴9a－3＝0.∴a＝eq\f(1,3).∴y＝eq\f(1,3)(x＋3)2－3，即y＝eq\f(1,3)x2＋2x.(2)根据对称性得B(－6，0)，∴S△AOB＝eq\f(6×3,2)＝9.(3)由题意得P点纵坐标为3，将y＝3代入解析式得eq\f(1,3)(x＋3)2－3＝3，∴x1＝－3＋3eq\r(2)，x2＝－3－2eq\r(2).∴点P的坐标为(－3＋3eq\r(2)，3)或(－3－3eq\r(2)，3)．25．解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式为y＝a(x－3)2＋5(a≠0)．将点(8，0)的坐标代入y＝a(x－3)2＋5，得25a＋5＝0，解得a＝－eq\f(1,5).∴水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式为y＝－eq\f(1,5)(x－3)2＋5(0＜x＜8)．(2)当y＝1.8时，有－eq\f(1,5)(x－3)2＋5＝1.8，解得x1＝－1(舍去)，x2＝7.∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．(3)当x＝0时，y＝－eq\f(1,5)(0－3)2＋5＝eq\f(16,5).设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式为y＝－eq\f(1,5)x2＋bx＋eq\f(16,5).∵该抛物线过点(16，0)，∴0＝－eq\f(1,5)×162＋16b＋eq\f(16,5)，解得b＝3.∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式为y＝－eq\f(1,5)x2＋3x＋eq\f(16,5)＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(15,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(289,20).∴扩建改造后喷出的水柱的最大高度为eq\f(289,20)米．第23章三、19.解：(1)旋转中心是点A.∵∠CAB＝180°－∠B－∠ACB＝150°，∴旋转角是150°.(2)∠BAE＝360°－150°×2＝60°.由旋转的性质得△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE.又∵点C是AD的中点，∴AC＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×4＝2.∴AE＝2.20．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△AB2C2即为所求．点B2的坐标为(4，－2)，点C2的坐标为(1，－3)．21．解：根据题意，得(x2＋2x)＋(x＋2)＝0，y＝－3.解得x1＝－1，x2＝－2.∵点P在第二象限，∴x2＋2x＜0.∴x＝－1.∴x＋2y＝－7.22．解：(1)如图①所示．(答案不唯一)(2)如图②所示．(答案不唯一)23．(1)证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°得到的，∴DB＝CB，∠ABE＝∠DBC＝60°.∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.∴∠CBE＝30°.∴∠DBE＝30°.∴∠DBE＝∠CBE.在△BDE和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DB＝CB，,∠DBE＝∠CBE，,BE＝BE，))∴△BDE≌△BCE(SAS)．(2)解：四边形ABED为菱形．理由：由(1)得△BDE≌△BCE，∴EC＝ED.∵△BAD是由△BEC旋转得到的，∴△BAD≌△BEC.∴BA＝BE，AD＝EC＝ED.又∵BE＝CE，∴BA＝BE＝AD＝ED.∴四边形ABED为菱形．24．解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.理由：由题意可知，CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，∴Rt△ACE≌Rt△BCD(SAS)．∴AE＝DB.如图①，延长DB交AE于点M.∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°.∴在△AMD中，∠AMD＝180°－90°＝90°.∴AE⊥DB.(2)DE＝AF，DE⊥AF.理由：如图②，设ED与AF相交于点N，由题意易知BE＝AD.∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF.又∵DB＝DF，∴△EBD≌△ADF(SAS)．∴∠E＝∠FAD，DE＝AF.∵∠E＝45°，∴∠FAD＝45°.又∵∠EDC＝45°，∴∠AND＝90°.∴DE⊥AF.25．解：(1)∠ABD＝30°－eq\f(1,2)α.(2)△ABE为等边三角形．证明如下：连接AD，CD.∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC＝BD，∠DBC＝60°.∴△BCD是等边三角形．∴BD＝CD.又∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－eq\f(1,2)α.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,BD＝CD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)α.∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30°－\f(1,2)α))－150°＝eq\f(1,2)α.∴∠BAD＝∠BEC.在△ABD和△EBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAD＝∠BEC，,∠ABD＝∠EBC，,BD＝BC，))∴△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB＝BE.又∵∠ABE＝60°，∴△ABE为等边三角形．(3)由(2)可知△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°.∵∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC.∴∠CBE＝∠BEC.∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝eq\f(180°－150°,2)＝15°.而由(2)知∠EBC＝30°－eq\f(1,2)α，∴30°－eq\f(1,2)α＝15°.∴α＝30°.第24章三、19.解：(1)如图所示．(2)BC与⊙P相切．证明如下：如图，过P点作PD⊥BC，垂足为D.∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.∵PA为⊙P的半径，∴PD为⊙P的半径．∴BC与⊙P相切．20．解：(1)连接OA.∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB.在Rt△AOB中，AO＝eq\r(OB2－AB2)＝eq\r(132－122)＝5,∴⊙O的半径为5.(2)∵OH⊥AC，∴在Rt△AOH中，AH＝eq\r(AO2－OH2)＝eq\r(52－22)＝eq\r(21).∴AC＝2AH＝2eq\r(21).21．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.(2)解：连接OD.∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∴∠CAE＝35°.∴∠DAB＝35°.则eq\o(BD,\s\up16(︵))所对圆心角∠DOB＝70°.∴eq\o(BD,\s\up16(︵))的长为eq\f(70π×3,180)＝eq\f(7,6)π.22．解：(1)连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°.∴∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB＝50°.(2)连接CE.∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°.∴∠BAE＝∠BCE＝40°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°.∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝20°.23．(1)证明：连接OC，BC，OE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°，∵在Rt△BCD中，点E是BD的中点，∴CE＝BE.又∵OB＝OC，OE＝OE，∴△OBE≌△OCE.∴∠OBE＝∠OCE.∵BD是⊙O的切线，∴∠OBE＝∠OCE＝90°.∴EC是⊙O的切线．(2)解：∵∠D＝30°，∠OBD＝90°，∴∠A＝60°.∴∠BOC＝120°.∴∠BOE＝60°.∴∠OEB＝30°.∵AB＝4eq\r(3)，∴OB＝2eq\r(3).∴OE＝4eq\r(3).∴BE＝6.∴S阴影＝2×eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)－eq\f(120×π×（2\r(3)）2,360)＝12eq\r(3)－4π.24．解：(1)∵A(0，2)，B(2eq\r(3)，0)，∴OA＝2，OB＝2eq\r(3).在Rt△AOB中，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(22＋（2\r(3)）2)＝4.如图，连接OC.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径，C为AB的中点．∴AC＝OC＝eq\f(1,2)AB＝2＝OA.∴△AOC是等边三角形．∴∠BAO＝60°.∴∠ABO＝30°.(2)存在．如图，作OB的垂直平分线MN，交⊙C于点M，N，交OB于点D，连接OM，BM，ON，BN.易得MN必过点C，即MN是⊙C的直径．∵MN垂直平分OB，∴△OBM，△OBN都是等腰三角形．∴M，N点均符合P点的要求．∵MN是⊙C的直径，∴∠MON＝90°.∵∠BMO＝∠BAO＝60°，∴△OBM是等边三角形．∴∠BOM＝60°.∴∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－60°＝30°.故存在符合条件的P点，∠BOP的度数为60°或30°.25．(1)解：∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙O的直径．∵A(eq\r(6)，0)，B(0，－eq\r(2))，∴OA＝eq\r(6)，OB＝eq\r(2).∴AB＝eq\r(6＋2)＝2eq\r(2).∴⊙M的半径为eq\r(2).(2)证明：∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CBO.∴BD平分∠ABO.(3)解：∵AB为⊙M的直径，∴过点A作直线l⊥AB，直线l与BD的延长线的交点即是所求的点E，此时直线AE必为⊙M的切线(如图)．易求得OC＝eq\