第六章离散时间系统结构

。

zz。

。

r

r

r2rzz

r

网络1Yz2rcosz1Yzr2z2YzX

网络 HzYz X 12rcosz1r2z 1zrej和2有：

zrejWzXzrsinz1Yzrcosz1W1

Xzrz1sinYW1z

1rz11Yzrz1sinWzrz1cosY1将W1z代入得Yz

Xzrz1sinYz1rz1

Yz12rz1cosr2z2rz1sinX

Y

H2

Xz12rcosz1r2z

rz1ejrz1ej2zrej和zrej12图P6.2代表一个线性常系数差分方程的信号流图，求输出yn关于输入xn的差分程解:由最上边的传输路径可直接得ynAP6.3-1A)，其冲激响应h[n1)nh[n] 1H(ejP6.3-2H(ej1AA而形A1A1的冲激响应为h1[n。P6.3-P6.3-解（a）

1h[n](1)n1

P6.3-H(H(z)(1) 1 H1H(ej1由z变换式H1(z)可以看出，只需要将A网络中的延迟因子变成(z)－1＝z－1 乘以－1即可。如下图：h[nej0nu[n]的系统。即h[n]的实部和虚部分别为h[ncosn)u[n]和 所要求复冲激响应的实现差分方程，然后把它分为实部和虚部，画出实现H(z)

h[n]zn

ei0nzn 1ej0n ny[nei0y[nx[n]y[nyr[njyi[nx[nxr[njxi[n]yr[n]cos0yr[n1]sin yi[n]sin0yr[n1]cos0 x[n]xr[n]。

12z1zHz1

3z14

1z8 12z1z

3z11 又

2z1 z11

z z

。 z

。

。

z z1。 。218。z1 8

。y

。。。

。。

。 z。4

。。

z

z

。 z

z

z

。。。 。。。。

。 z。

。14。z4

。。。 。 z

。 。 z。 6.6.P6.6的流图是不可计算的；也就是说，用该流图所表示的差分方程不能计算出w1nxnbw6nw2nw1nw3nw2nw4nw3w5naw3nw4n1ynw2n由上可得ynbyn1对上式两边进行z变换得HzYz X 1bzb采用直接型来实现Hz可得。

z

11zH(z) (11z11z2)(11z1 11zH(z) (11z11z2)(11z1 zzz--zzz--zzzz6 v0

xn v1

y x 5

v2n

24y v3n v0

yy[n]1y[n1]

a1214 abcrabcrrrra

1

1 W[n- abcrabcrW[n-rrrY[n- 原流图点变量的选aa1412rrrrcba

转置后的流图及相应的节点变

y[n]ay[nx[n]y[n]ay[nx[n]W(z)X(z)1W(z)z12Y(zW(z1W(zz14H(z)YX

11 112Y(z)X(z)1z1X(z)1z1Y(z)4YHX

11 112Y(z)aX(zbz1X(zcz2X(z)，H(z)

。abz1转置后同样有：Y(z)aX(zbz1X(zcz2X(z)，H(z)

abz1W(z)X(z)rsinz1Y(z)rcosz1W(z)Y(zrsinz1W(zrcosz1Y(z)H(z12rcosz1r2z2。W(z)X(z)rcosz1W(z)rsinz1Y(z)Y(zzrsinW(zrcosY(zH(z12rcosz1r2z2

。 。。z

。 。。z 。12。

。z。

。z4。

sin4

cos43

sin。4。

。

z4z4。。

。

。4z z。 。。

Hz

1z21

13z4Hz

11z13z sin3z

Hz

441

43z4

z

21zHz 11z13z 21z

Hz 11z13z 11

Hz 11z13z 6.10.P6.10求系统函数YzXP6.10系统具有相同输入输出关系，但具有最少可能延迟单元个数的解a)该系统可看成先由两个系统并联,再与另一系统串联而得.11zH1z1

3z18

7z82Hz12z1z2HzH1zH2112z1z2 13z8然后再与H3z串联Hz 1z 12 由Hz可得输入输出满足的差分方程为y 9 。 9

z 88 z188

7

。 。z。787。z。86.11一线性时不变系统用图P6.11来实现

zzz31zz12LTIv xv v

v vnv Y

H(z) X

zz31z226.12

H(z)

(12z1

7z2)(1z18

1z2)(1

z1z2 HzH(z)

7

(1z1

(1z112z1

z8

1z1

z2

1 z1z20.20.4z10.2z7

12z1z1

12z1z。112z1

z8

1z1

z2

1 z1z26.12

22- -1--W(z)0.2X(z)0.4z1X(z)0.2z2X(z)2z1W(z)7z2W(z)1

w[n0.2x[n0.4x[n10.2x[n22w[n17w[n2 W(z)W(z)z1W(z)1z2W(z) W(z)W(z2z1W(zz2W(z 3(z)

12z1z；1z11z2w[nw[n2w[n1w[n2w[n11w[n2]

W(z)W(z)2z1W(z)z2W(z) Y(z)W(z1z1Y(zz2Y(z4YW

12z1z。1 1

z1z2对应得差分方程为y[nw[n2w[n1w[n21y[n1y[n 6.13下列简单的FORTRAN程序实现了一个二阶离散时间滤波器。输入序列存放在长度为DIMENSIONDIMENSIONX(L),Y(L)DO1N=1,L1CONTINUEYNXNXN10.75YN10.125YN所以YN0.75YN10.125YN2XNXN

H

1z10.75z10.125z。

。

zz。

解

Hz12z14z23z3z4z

3300

nnnnnnn为其Hz12z14z23z3z所以hn同上M13

h

M2Mh0h[n]

0n1a8zH(z)

1az

zaFIRIIR系统级联所组成（a1h[n]

0n1a1aa77（b）证明：H(z)(az－1)n

，z)

FIRIIR系统级联所组成，那么相应的信号流图如zza7次加法、77个延迟单元。9个延迟单元，22次乘法。FIR1(1cos[(2/15)(nn

0nh[n]

对n0=0n0＝7H

z15)1证明：若n0＝7，系统的频率响应可以表示H(ei)

1ej7 n0＝7n0＝0求一个类似的表达式。这个n0＝0时的幅度相应。画出系统作为系统函数为(1z15FIRIIR系统并联后得到两图如6.16-aH(z)

h[n]z1(

n0

15 114

n

j2(e1515n0 1

1

j 1z ee eeh[n]H(ejH(z)zei特别地，当n07H(ej)H

zn05511

)1 j j1(1ej15 e 2j

j j1(1ej15 e 2j

1

j7

j j7sin(15

n07 H

)15

6-16c。同样，当n00时：H(ej)H

zn0(1ej15)1 j j1(1ej15 e 2j

1

j j 2

2 1111 ej7

je

。

11 H(ei)

1515（d）将系统函数化为(1z15FIRIIR

2cos2

z1cos

n1)( 15

15

H

)1z1

- 15-6-

N

~Hz1

N Hk01

，z

ej2Nkk0,1,N1该系统函数Hz可用系统函数为1zNFIR系统的级联与一阶IIR系统的证明如上所定义Hz是一个N1阶的z1多项式。为此就需要证明除z0外没有任何极点，也没有高于N1z1项。关于该系统冲激响应的 1~ HkN

j2NknununN k 应。

Hej2Nm

m N这就是说，证明常数

~就是系统频率响应在等间隔频率

NHHHm0,1,N1FIRIIRz~ H 1

1NHN

1z1

1z

NkN

Hejej

N16和Hejk k

N1~解 Hz1

N Hk01

z令Hz

N

zH

z，其中Hz1zN，为FIR1HN1H1H2z1k

1zkzHH1NzHN~z1Hz1zNz平面单位圆上有N1j21z

zie

i0,1,,N1H i

ej2Nk

k0,1,,N1ik

zi1z

N11zzi

N 1zz1

z的N11

z

1

z

~~N~NHz1zNN~N

kk01zzkkNk

Nk

1zzzzi11~HNk

zHzz0N1z11（c）Hz1z1

Hz

N

H1H1Hzk

kk

1hnhn(11~zn)ununNN

H Nk1( Hkej2Nkn)ununNN

~

H

N H1

z当mk

k 1z zzm1zk~

1zNH

limHm

1

z用洛 法则

~

N

HNHH

HzlimH

~zm~

~zmzNm

所以Hzm

~HH

H（e）当hn为实数N为偶数时,1z

0k0时

2N22N

zN

ej2Nk

ej2k

z

k1,2,,Nk又hn为实数，所以 k

kkkNkkk1H1H1H1Hz1zN1z 1H1NH1z 1N16Hejk

k3,4,,14HzzH 2Hej828zcos8z 2Hej42cos4zzP6.18M1M倍，按照这个模型，M大的话，滤波器的大部分输出样本将被假设该滤波器是一个FIR系统，其冲激响应hn0，n<0n>10。画出对应该滤P6.18yn时所要求的总计算量降低了几分之几？Hz

,z11z 2P6.18中整个系统的直接型实现的流图。用该系统做线性滤波器，每输出样本的MM17zHz ,z111z 2I直接IIIII解:(a)系统首先进行的是xn

hkxnkkhn当n0和n10时为xnhnhkxnkk之后再以M倍减采样.z1z1z1z1z1

。M y。(b)MM这样使卷积次数减小了M倍，所以使用该方法使总计算量降低了1M

MM(c)

Hz

,z11z 2 1n所以hn u2P6.196.7FIR系统的直接型和格型实现流图。希望证明这两种流图zzzP6.19AzP6.19（a）P6.19中两种系统的冲激响应。i a(i)i a(i)a(i1)k

（注：上标（N）表示第N aa(N

a(1)

275747，a(2)

1aa3

(1)＝k(1k (2)＝a(2)－k 3

(2)＝k－k 3 ＝ 使然

求P6.20-2H11(z)Y1(zX1(zK的取P6.20-2H21(z)Y2(z)/X1(zH21(z)， -

-

图P6.20- 图P6.20-y[nx[n1Ky[nKx[n1K2x[n1 Y(z)X(z)

（6.20b- Y(z)KX(z)(1K2)

（6.20b- 将输出y1[n]和输入x2[n]连起来，意味着Y1(z)X21，得：

（6.20b-H(z)Y(z)/X(z)

（6.20b-

1

1和2，得：z1KH21(z)Y2(zX1(z)1Kz1。ejej1Ke11Ke

j)

e

1 1并求H1z的极点的模和相角

Xzr1r1P6.21-1P6.21-2系统函数H2zY21r

Xz，与H1z是什么关系1

11

1

（a） zYzrz1Yz1r2z2YzG1rXzr1rz1X1

Y H1z

1

X 1

令1rz11r2z20得rr 5r2

z2 r5r2当5r240r5r25

1r 5r24rr 5r24r 5r24argz1argz225当5r240，即r 时25z1z2

44r211r445rargz12argztan2r2YzG1rz21rz1 2H2

H1X 1

210（这就类似于由电流源驱动的电气传输线。输出是右端的音图f在到达某一界面时也是以一种系数继续向前传，A1的声道内某一入射2fA1rf2

rfrA2A220000样本/秒采样。解:3.4厘米,34000厘米/秒,所以经过每节声管所需的时t为:t

104秒20千赫,TT 20103

0.5104秒进的波与反向行进的波在交界面上相加.当波从横截面为AkAn的声管时,kn为 AnAnA Ak

A A2

A2A A3

A3A A4

A4A

z21a2

z21a34z2。。

z

1

z21

z21

z y2

x2aaby2cdx2eey2fx2ArBa,bc和d的值Ar求网络C的e和f的值B或者网络CAABC有什么可能的长处？y1[n](1r)x1[n]y[n](1－r)x[n]－rx y1[n](1a)x1[n]y[n](1dc)x[n]abx adbcCy1[n](1e)x1[n]y[n](1ef)x[n]efx ef fBC比网络AA有较]

{(e[n]m)(e[nm]m)}2 并假设噪声序列幅度值在量化阶2B内均匀分布。舍入和截尾的一阶概率密度分别如P6.24（a）P6.24（b）所示。meE(e)0 2E(e2)m2E(e2)m22dx0。mE(e) 02 e 0

2网网121解：1

y2nx2nh2n

h2k2x2nk2k2

1

2 Ey1ny2mEh1k1x1nk1h2k2x2mk2k1 k2 h1k1h2k2Ex1nk1x2mk2k1k2 h1k1h2k2Ex1nk1Ex2mk2k1k2 Eh1k1x1nk1Eh2k2x2mk2Ey1nEy2

k2 H

z10.5410.54z求系数b,cd,以使得图P6.26的流图是Hz的一种实现P6.26网络的实际实现时,b,cd可能用舍入将真正的值量化到最靠近的十分之一的值(例如,0.540.51.85181.9).所得系统仍为一画出一种网络的流图,该流图要求两个延迟单元,但仅要求一次乘以常数(1)的乘法)(c的实现与(a)的实现比较,其主要缺点是要求两个延迟单元.然而,对于告诫系统有必要实现全通系统的级联.N个全通节的级联,有可能利用由(c)确定的全z1az1bHz 1az11bz1 用量化系数ab,(e)中的网络还是一个全通系统吗H'z

YZXZ

1bz'

z1HzH

10.54zdcdbbcdH'z得系数舍入后得：b=0.5,c=-1.9,d=- '0.95z1H 10.5z

'

j

0.95ej10.5eH'

j

e 0.950.950.5e10.5e

z

--z

yn0.5yn1xnxn

Hz

z10.510.5z-az-azba,b量化为az1 Hz

a.

b11

1 a 1b P6.27中的网络全部由相同的系统函数。假设在全部计算中都采用定点（B+1）

za

zazza图P6.27中有两个网络具有相同的由于运算舍入而产生的总输出噪声功率。BB（a）e0z e2e0

za

e0

e2zz （a对于（a）H(z)b0＋b1

（z 22h[n]＋2 B＝2[B

2j

H(z)H(z1)z1dz

b2＋b2＋2abbB( 0 1a2zz B B23

6.28(略

Hz

。10.5z。P6.29中的系统用有限精度运算实现，并在相加之前乘积已舍入到（B+1）P6.29xmax，使得系统中任何地方都不出现溢解：Hz

10.5z

10.5z

0.2z10.5z hn0.20.5nun0.20.5n1unhn

n0.5n1

nn0.2

n

hn0.2

0.20.5n0.5n10.2

0.20.2

1

xmax

h对（a）HzH1zH2z

z1z1

H2z

10.5zhn

n 要使y1n1，0.2x1max

1

h10.5

系统（a）的输入最大值为2.5

H2z

10.5z1hn1

n1

0.2

h1系统（b）的输入最大值为2.5

z1z1

H2z

10.5zhn

n1x1max

1

12e3n2e0

z

z

e3n

me0

z

22

,

e3n2e0z

对(a)H

z

10.5z

hn0.5n22222

h2n22

f

e0122B422对(b)

z hn0.5n 10.5z 232

h2n32

0.52n3

f

e0122B422对

H2z

10.5z

2hn0.20.5n2 222h2n220.2f

4

22对(a)和

2e010.52 x 1 x

xmaxx2dx

3xx3

3 222h2n20.220.20.5n0.5n1

0.2533

3

52522B12(a)的输出信噪比为 2f

522B22b（）的输出信噪比为 b2f

522B5522B 11 对（c）2max 32 22

h2n

0.16 0.0220.0222B12（c）的输出信噪比为 2f

0.2522B16.30P6.30系统.X

j0,T

,A/D16位的转换器,成使得最大信号电平为一.P6.3016P6.30中整个系统的线性噪声模型,A/D转换器量化效应和流图中的运算量化效应.16位舍入运算总噪声功率2表示每个噪声源的功率.yn1,输入信号能够有多大?你的答案是否意味着A/D全部16位现在假设图P6.30的A/D12位输出样本,A/D转换器还是组装成使得功率.16位舍入运算的总噪声功率2表示.xxcHef

z

10.5z

0.50.5Hef

n12

unHef

1z10.5z

2 10.5zhef

n2n3

n

un Hef

z

10.5zhef

n

1nn若要绝对确保yn1,且已 因子

h h1

0.5nn1hn n1 3 x

h

2m

212

13

1max1此时A/D16位字都用上了 f f f(c

19 xxcA/D12位,0.50.53位,15位,无量化误差e2n6.31

10.25zH(z)10.25zP6.31中的每个网络，画出用（B+1）位实现运算，乘积在相加以前P6.31中的每个网络，圈出溢出必须避免的关键节点。假设用补码运xmaxx[n]xmax，则有y[n]1。nn]n]zznn]zzn]nn]zzn]zzzn]n]z10.25z

图6.31

H(z)10.25z2对于每一个网络，(B+1)nn]n]zz0n]1n]n]zn]zzn]

1n]

2n]zzze0

由于是(B+1)22－2

，均值 0 22h[n]＋ ＝2(18－7 ＝62 H(z)＝H1(z)H2H1(zH2z 2

1]zz zzz＝31 对于

2221＋2＝5 e H(z)＝34

＋14

222

＝3x[n]xmax,y[n]11maxH(ej1maxH(ejkk1hkBxC

451212对于网络6.32(略6.33

23ynayn1其中Q·代表原码截尾（关于原码表示见习题nyˆnyˆn1这种类型零输入极限环的可能性。证明，如果该解：对原码截尾：当输入xn0时，差分方程为yˆnQayˆn1，在形成极限环TT

0 1aa 0

1a0，即a则2B

T 1a0，即aTa1a1，就不可能存在极限环。TT

0 1aaTT

0 1aa 2B

T 1a0，即aT则2B

T 1a0，即aT6.35P6.35-1x[n]

nn5位寄存器的原码表示。这就是说，全部数都是带符号的小树，表示成其中b0,b1,b2,b3和b401b21b22b23b24 若b00，小数是正的，若b01，小数是负的。序列值用某一系数相乘的结果在相加前4位最高有效位。zz计算该量化系统对（a）所给输入的响应，并画出对应于0n5，量化和未n，比较这两个响应如何？x[n]

n （b

n

x[n]H(z)

nn1

41 4 y[n]h[n]x[n]12k

1

＋12＋

4n 1

y[n]3

4y[n]28令

y[]＝3

P6.35-2H(z而输入序列的Z变换为：X(z)

4 Y(z)X(z)H(z) y[n]

n11 11

4

24y[n]y[0]

2y[1]

8y[2]

y[3]

y[4]

y[5]

6.36(略函数在习题3.34中已证明它表示补码（图P6.37-2略去量化换句函数f·ayn1byn2xnab值的范围；也就是说，假设和的幅度是小于1，使得系统表现为线性。性条件下在（a-b）平面上画出对应于假设xn0，ab在什么条件下保证不产生溢出，也即yn1？在（a-b）n,xn0，yny00ab要求时，y0值是多少在稳定限制和0y01之下，ab0现在考虑周期为2的零输入极限环的可能性，也即对所有nyn1ny，对满足线性稳定约束条件的ab0y01的什么值是可能的？0112fazbyn解：没有溢出时fvv，此时ynayn1byn2两边作z变换得：Yzaz1Yzbz2YzXHzYz X 1az1bz1系统稳定的条件是Hz的极点1,2都在单位圆内，即1

1z2azbz1

z

z2

z1b1a1

，b

2 122