信号与系统ch5-连续时间系统的复频域分析51-南航

连续时间系统的复频域分析第五章1引言傅里叶变换-信号系统分析优势避免微分方程求解和卷积计算，简化了系统响应求解过程物理意义明确。如：信号频谱、谐波、频响、带宽等缺陷要求函数绝对可积要求系统是稳定系统运算复杂。必须计算广义积分，计算比较困难只能求系统的零状态响应第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析2信号与系统引言拉普拉斯变换-信号系统分析优势可以求系统的全响应计算过程简化变卷积运算为乘法运算变方程的微积分运算为乘除运算对信号的适应性比傅里叶变换强，不用引入奇异函数第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析3信号与系统引言频域分析法需进行正反两次变换，且付氏变换的运用要受绝对可积条件的限制，所以求连续系统的响应时更多地采用复频域分析法(拉氏变换法)频域分析法地位重要复频域分析法是频域分析法的推广；信号的频谱具有明确的物理意义；当系统内部结构无法确知时，在复频域中无法得到反映系统功能的系统函数，但在频域中可通过实验测得。第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析4信号与系统主要内容拉普拉斯变换与反变换12线性系统的模拟(方框图)3线性系统的拉斯变换分析法4信号流图与梅森公式第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析5信号与系统拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换的观点定义的，我们将从信号分析的角度出发，由傅里叶变换推广到拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当︱t︱→∞

时f(t)不衰减造成的若人为乘上一个衰减因子e-σt，则就可能符合绝对可积条件，因而其傅里叶变换存在。拉普拉斯变换1第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析6信号与系统拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析7信号与系统拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换一对拉普拉斯变换对f(t)称为原函数F(s)称为象函数第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析8信号与系统拉普拉斯变换2、拉普拉斯变换的物理意义FT:将信号分解为无穷多个分量,每个分量的幅度为LT:将信号分解为无穷多个分量,每个分量的幅度为拉普拉斯变换的s与傅里叶变换的jω相对应第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析9信号与系统拉普拉斯变换2、拉普拉斯变换的物理意义s为复频率拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法在傅里叶变换中一对合成一个实信号，代表的是一个正弦分量；在拉普拉斯变换中的一对也应合成一个实信号，它代表的是一个什么分量呢？第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析10信号与系统拉普拉斯变换含义在复平面中的分布情况密切相关根据各种不同的分布情况来研究其含义第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析11信号与系统拉普拉斯变换含义原点直流分量实轴非振荡信号虚轴与傅里叶变换一样代表一个等幅的正弦分量s离实轴越远振荡频率越高第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析12信号与系统拉普拉斯变换含义右半平面合成一个指数增幅的正弦振荡信号s离实轴越远振荡频率越高s离虚轴越远增幅越快左半平面合成一个指数衰减的正弦振荡信号s离实轴越远振荡频率越高s离虚轴越远增幅越快s在左半平面est

为衰减型s在右半平面est

为增长型第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析13信号与系统拉普拉斯变换2、拉普拉斯变换的物理意义拉普拉斯变换：将f(t)沿σ-j∞→σ+j∞分解为无穷多个est分量拉普拉斯反变换：沿σ-j∞→σ+j∞积分路径，将无穷多个est分量迭加得f(t)傅里叶变换：沿路径-j∞→+j∞虚轴的分解与迭加(拉普拉斯变换特例)第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析14信号与系统拉普拉斯变换的收敛域当f(t)乘上一个因子e-σt后，f(t)e-σt有可能收敛，到底是否收敛还取决于σ的取值，这就是拉普拉斯变换的收敛域问题1第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析15信号与系统拉普拉斯变换的收敛域1、定义能使f(t)e-σt

满足绝对可积条件的σ的取值范围称拉普拉斯变换的收敛域在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在，在收敛域外则不存在F(s)的所有极点必须在收敛域外第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析16信号与系统拉普拉斯变换的收敛域2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法在s平面上以σ=

σ0

为界将s平面分为两个区域。

σ=

σ0

称收敛轴（边界）σ0

为收坐标，σ>σ0

为收敛域（不包含边界）第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析17信号与系统拉普拉斯变换的收敛域3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域持续时间有限的单个脉冲信号能量有限，不管σ取何值

总是满足，收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在单位阶跃信号收敛域为不包含虚轴的右半平面单边指数信号第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析18信号与系统拉普拉斯变换的收敛域3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域单边指数信号第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析19信号与系统拉普拉斯变换的收敛域3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域单边斜变信号第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析20信号与系统拉普拉斯变换的收敛域3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域结论在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为整个复平面。有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛域总是在某一收敛轴的右边。在收敛域中不包含极点。凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴；反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析21信号与系统常用函数的拉普拉斯变换

1s=为极点收敛域为>第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析22信号与系统常用函数的拉普拉斯变换

(t)1/s第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析23信号与系统常用函数的拉普拉斯变换

单边正弦函数sinω0t(t)衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用同样的方法求出第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析24信号与系统常用函数的拉普拉斯变换2、t的正幂函数tn(t)(n为正整数)第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析25信号与系统常用函数的拉普拉斯变换3、单位冲激函数(t)

常用函数拉普拉斯变换见p215第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析26信号与系统常用函数的拉普拉斯变换符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变换和拉普拉斯变换可以相互转化第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析27信号与系统常用函数的拉普拉斯变换对不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析28信号与系统拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换性质是针对单边拉普拉斯变换拉普拉斯变换性质可简化运算注意傅里叶变换和拉普拉斯变换性质的相似之处和不同之处线性、尺度变换时间与复频域平移时域微分与积分复频域微分与积分对参变量的微分与积分初值定理、终值定理、卷积定理1第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析29信号与系统拉普拉斯变换的性质1、线性

2、尺度变换

第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析30信号与系统拉普拉斯变换的性质3、时间平移

例1：f(t)如图求F(s)第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析31信号与系统拉普拉斯变换的性质3、时间平移例2：求有始周期函数f(t)的F(s),若其第一个周期的函数记为f1(t),且第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析32信号与系统拉普拉斯变换的性质3、时间平移结论对于周期为T的有始周期函数，求其拉普拉斯变换只要求其第一个周期的变换，然后再乘以函数的分母含有上述因子，则要考虑其原函数是有始周期信号。求原函数时,只求一周内信号的反变换,然后再以T为周期延拓。第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析33信号与系统拉普拉斯变换的性质3、时间平移例3：求f(t)已知由图我们可以写出f(t)更简洁的形式第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析34信号与系统拉普拉斯变换的性质3、时间平移例4求下列信号的L变换注意信号的有始问题_t0信号常是由某些基本函数经适当的时间平移后叠加构成（p228_例题5-6）第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析35信号与系统拉普拉斯变换的性质3、时间平移例5:求f(t)的L变换求的L变换第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析36信号与系统拉普拉斯变换的性质3、时间平移例6求下列波形所示信号的L变换第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析37信号与系统拉普拉斯变换的性质4、复频域平移

例7第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析38信号与系统拉普拉斯变换的性质5、时域微分

推广到n阶导数第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析39信号与系统拉普拉斯变换的性质6、时域积分

可推广到多重积分的情况第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析40信号与系统拉普拉斯变换的性质7、复频域微分与积分第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析41信号与系统拉普拉斯变换的性质8、对参变量的微分与积分第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析42信号与系统拉普拉斯变换的性质8、对参变量的微分与积分第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析43信号与系统拉普拉斯变换的性质9、初值定理若函数f(t)存在导数f(t)，且f(t)↔F(s)，f(t)存在拉普拉斯变换第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析44信号与系统拉普拉斯变换的性质9、初值定理如果f(t)在t=0处有冲激及其导数存在，则F(s)

为假分式，可分解为s的多项式与真分式之和第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析45信号与系统拉普拉斯变换的性质10、终值定理若函数f(t)及其导数f(t)存在拉普拉斯变换，F(s)

的极点都位于s平面的左半平面或在原点处有一个单极点。第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析46信号与系统拉普拉斯变换的性质例题

第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析47信号与系统拉普拉斯变换的性质例题

第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析48信号与系统拉普拉斯变换的性质例题例11已知求f(t)的初值和终值第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析49信号与系统拉普拉斯变换的性质11、卷积定理

例12第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析50信号与系统拉普拉斯变换的性质总结第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析51信号与系统拉普拉斯变换的性质总结第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析52信号与系统拉普拉斯变换的性质练习第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析53信号与系统拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换时与傅里叶反变换一样，我们主要也是依靠常用变换对，再结合性质和典型例子，通过将F(s)化成我们认识的变换对，然后直接写出原函数方法部分分式展开法围线积分法1第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析54信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析55信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析56信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法则应将F(s)化为多项式和真分式之和，而多项式的反变换为冲激函数及其导数，真分式则可用部分分式展开法求反变换第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析57信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析58信号与系统拉普拉斯反变换

1、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根则在部分分式展开时应把它们作为整体来处理第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析59信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析60信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析61信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析62信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析63信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析64信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(4)若F(s)

有一个p阶极点s1,n-p个单极点sp+1，...sn第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析65信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(4)若F(s)

有一个p阶极点s1,n-p个单极点sp+1，...sn第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析66信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(4)若F(s)

有一个p阶极点s1,n-p个单极点sp+1，...sn第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析67信号与系统拉普拉斯反变换1、部分分式展开法(4)若F(s)

有一个p阶极点s1,n-p个单极点sp+1，...sn第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析68信号与系统拉普拉斯反变换2、围线积分法复变函数中的围线积分复变函数g(s)沿s平面中不经过极点的闭合路径c的积分(积分方向为反时针方向)可由g(s)在围线内极点上的留数来确定。对照拉普拉斯反变换公式：第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析69信号与系统拉普拉斯反变换2、围线积分法对照拉普拉斯反变换公式：一个复变函数积分问题被积函数F(s)est,积分路径-j→+j不是围线.补充一个半径为无穷大的半圆使它成为一个闭合路径，同时可以保证被积函数的所有极点在围线内。第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析70信号与系统拉普拉斯反变换2、围线积分法复变函数的积分问题转化成求被积函数极点上留数的问题。第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析71信号与系统拉普拉斯反变换2、围线积分法复变函数中的约当引理已经解决了这个问题，但要满足两个条件:1、当∣s∣=R→∞时，∣F(s)∣→02、因子est中指数st的实部t应满足t<0t，0为某一常数。必须有1、F(s)为真分式2、t<0t

有两种情况（1）t>0

则σ<σ0

应取左半圆弧（2）t<0

则σ>σ0

应取右半圆弧单边拉普拉斯变换t总是大于0第五章连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的复频域分析72信号与系统拉普拉斯反变换2、围线积分法总结拉普拉斯变换中的被积函数为