保险精算 利息理论

1、利息理论吴睿

认识利息掌握计息方法学习目标实际利率和实际贴现率名义利率和名义贴现率利息强度利息I(interest)借贷关系中借款人（borrower)为取得资金使用权而支付给贷款人的（lender）报酬(不必为货币，不一定同类)资本经过一定时间的投资活动后产生的价值增值

利息可以理解为租金的一种形式本质在偿还借款时大于本金的那部分金额。

It=A（t）—P计算

P：本金，初始资本

A(t)：积累值，经过t时间后的总资本利息理论借款人borrower黄世仁贷款人lender喜儿本金+利息《白毛女》杨白劳

-借贷关系实例123本金Pprincipal初始资本利息率interestrate时间（单位：度量期）

利息理论影响利息大小的三要素

■第t期的利息（It）：012…..t-1t第1期第2期第t期It=At-At-1■从初始时刻到第t时刻的利息：

At-P=I1+I2+···+It

积累值（终值）AVACCUMULATEDVALUE：一笔业务本金为P，在投资期内没有追加或抽回一定数额的资金，到投资期结束（t时刻），投资者收到的总金额。一般用At或A（t）表示。A（t）总量函数积累值积累函数与总量函数积累函数性质本金为1单位，且在任何时刻没有追加或抽回资本，在时刻t时的积累值a(t)a(0)=?a(t)的单调性常数单增单减积累函数与总量函数总量函数性质本金为k单位，在时刻t时的积累值A(t)A(0)=?

A(t)=k*a(t)A(t)的单调性常数单增单减习题：1.已知：A(t)=2t++5，求:

（1）对应的a(t)

解：（1）a(t)=A(t)/kk=A(0)=5a(t)=A(t)/k=1+0.4t+已知A(t)，求a(t)？A(t)=k*a(t)

a（0）=1实际利率某个度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金之间的比率

计算利息的不同期限单位划分:年利率(annualinterest):以年为单位计算利息时的利率，通常%表示。月利率(monthlyinterest):以月为单位计算利息时的利率，通常‰表示。日利率(dailyinterest):以日为单位计算利息时的利率，通常以‰0表示。

1.1实际利率和实际贴现率[例1．1．1]某人到银行存入1000元，第一年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？解：A（0）=1000，A（1）=1020，A（2）=1050

1.1实际利率和实际贴现率习题：1.已知：A(t)=2t++5，求:（1）I3,

（2）i4

解：

（1）I3=A(3)-A(2)=2+

（2）i4=I4/A(3)=0.1781.1实际利率和实际贴现率2.若A(3)=100，in=0.01n，求：I5=?解：I5/A(4)=i5=0.05I5=0.05A(4)

[A(4)-A(3)]/A(3)=i4=0.04，A(3)=100A(4)=104

因此，I5=0.05A(4)=5.2

计息方法单利利息（I）=本金×利率×期限=P×i×t积累值A(t)=P+P×i×t=P（1+i×t）单纯按初始本金P计算出来的利息进行计息a(t)=1+it单利情况下的实际利率?1.1实际利率和实际贴现率单利计息的特征:

1.利息恒定

It=A(t)-A(t-1)=k[a(t)-a(t-1)]

=k[1+it-1-i(t-1)]=ki

1.1实际利率和实际贴现率2.实际利率递减

dit/dt<0it关于t单调递减,也就是说,常数的单利意味着递减的实际利率.计息方法复利计算公式本利和

A(t)=P+P×

i+P(1+i)×i+P(1+i)(1+i)×

i+……初始本金P计算出来的利息额再加入本金，一并计算利息的方法（实务）1.1实际利率和实际贴现率复利计息的特征:

1.各期利息不同

It=A(t)-A(t-1)=k[(1+i)t-(1+i)t-1]=ki(1+i)t-1

1.1实际利率和实际贴现率

2.实际利率恒定

复利与单利的区别

(1)若利率水平为一常数,那么单利条件下的实际利率是时间的递减函数;.而复利条件下的实际利率与时间无关,仍然等于常数的复利的利率.

1t(0,1)(1.1+i)复利单利■单利与复利的比较

从积累函数看

1、单个度量期（t=1）:

1+it=(1+i)t

结果相同

2、较长时期（t>1）:(1+i)t>1+it复利产生更大积累值

3、较短时期（t<1）:(1+i)t<1+it单利产生更大积累值例题：

1.1某银行以单利计息，年息为6%，某人存入5000元，求5年后的积累值是多少？

A(5)=5000a(5)=5000(1+6%·5)=6500(元)

1.2如果该银行以复利计息，其他条件不变，求5年后的积累值。

A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)5=6691.13(元)1.1实际利率和实际贴现率例题

(1)期限超过了一个度量期，t=1和t>1时单利、复利下积累值的比较。

(2)单利、复利条件下，It的变化趋势。

(3)单利、复利条件下，it的变化趋势。tAtItit(%)单利复利单利复利单利复利初始1001000000110510555552110110.2555.254.7653115115.7655.514.5554120121.5555.794.3555125127.6356.084.1753.如果3000元在5年半内积累到5000元，求：单利利率、复利利率。

解：单利利率：3000（1+5.5i）=5000i=0.121

复利利率：3000（1+i）5.5=5000i=0.0973折现因子&折现函数

1、期初投资一个单位，期末得到1+i单位；如果期末要得到1个单位，期初应该投资多少单位？2、期初投资一个单位，到t时积累a(t)个单位；如果在t时要得到1个单位，期初应该投资多少单位？A(t)=v*a(t)=1V(t)=1/a(t)折现函数

A(1)=v*a(1)=v(1+i)=1V=1/(1+i)折现因子1.1实际利率和实际贴现率现值和贴现率现值:把一单位元在t年前的值或未来t年一单位元在现在的值称为t年现值.贴现额:如果应在未来某个时期支付的金额提前到现在支付,需要扣除一定的数额,这个扣除额称为贴现额现值和贴现率在单利下，现值和贴现率贴现率：度量利息的又一重要工具单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比

d表示一年的贴现率:dn表示第n年贴现率:■实际贴现率与实际利率的关系

考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款1元，则实际上本金为（1-d）元，而利息（贴现）金额为d元。实际利率为：

i=d/(1-d)d=i/(1+i),即d=ivd=(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-vv=1-d，方程两端均可以看作是期末付1的现值。d=i(1-d)，即i-d=id现值和贴现率1.1实际利率和实际贴现率例题：1.1.4某人到银行存入1000元，第一年末存折上余额为1050元，第二年余额为1100元，求：第一、二年的实际利率和实际贴现率。实际利率：i1=[A(1)-A(0)]/A(0)=(1050-1000)/1000=5%i2=[A(2)-A(1)]/A(1)=(1100-1050)/1050=4.762%1.1实际利率和实际贴现率实际贴现率：

d1=[A(1)-A(0)]/A(1)=(1050-1000)/1050=4.762%

d2=[A(2)-A(1)]/A(2)=(1100-1050)/1100=4.545%1.1实际利率和实际贴现率习题:1.300元投资复利计息经过3年增长至400元，求：分别在第2年末、第4年末、第6年末各付款500元的现值之和。

解：复利条件下：a(t)=(1+i)tA(3)=ka(3)=300(1+i)3=400i=0.10064

现值：500[a-1(2)+a-1(4)+a-1(6)]=1034.71.1实际利率和实际贴现率2.对于8%的复利和单利，分别求：d4=？

解：复利条件：d4=[a(4)-a(3)]/a(4)=i/(1+i)=0.074

单利条件：d4=[a(4)-a(3)]/a(4)

=（1+4i-1-3i)/(1+4i)=0.061.1实际利率和实际贴现率■“等价”的概念实际利率和实际贴现率都是度量利息的方法。任何一笔业务都可以同时用这两种方法来度量。

如果对于给定的投资金额，在同样长的时间内，利率与实际贴现率（或其他任何利息的度量方式）能够产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”的。■实际贴现率与实际利率的关系

考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款1元，则实际上本金为（1-d）元，而利息（贴现）金额为d元。实际利率为：

i=d/(1-d)d=i/(1+i),即d=ivd=(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-vv=1-d，方程两端均可以看作是期末付1的现值。d=i(1-d)，即i-d=id实际利率和名义利率实际利率--------利息在每个度量期支付一次。此时称一个度量期内的利率为实际利率。一般用i表示。

名义利率--------一个度量期内利息支付不止一次（或在多个度量期内利息才支付一次）。此时称一个度量期内的利率为名义利率。一般用i(m)表示。

名义利率单个度量期内利息只支付一次，其相应的一个度量期的利率称为“实际”的实际利率在一个度量期中，利息支付多次（大于1）或者在多个度量期利息仅支付一次（年）其相应的一个度量期的利率称为“名义”的。

i(m)与等价的实际利率之间的关系：1+i=(1+i(m)/m)m可得：

①i=(1+i(m)/m)m-1

②i(m)=m[(1+i)1/m-1]符号i(m)记每一度量期支付m次利息的名义利率每1/m个度量期支付利息一次，在每1/m个度量期上的实际利率为i(m)/m。每个度量期的实际利率为i1.2名义利率和名义贴现率名义利率i(m)是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实际利率为i(m)/m。也就是说，每一度量期i(m)的名义利率等价于每1/m度量期i(m)/m的实际利率（复利计息）。如若一年为一个度量期,i(4)=8%的名义利率指的是每季度的实际利率为2%,即每年记息4次的年名义利率为8%

1.2名义利率和名义贴现率■与名义利率等价的实际利率：

由等价的定义，可以得到i(m)与等价的实际利率之间的关系：

1+i=(1+i(m)/m)m可得：

①

i=(1+i(m)/m)m-1

②i(m)=m[(1+i)1/m-1]例：1.2.1（1）i(4)=8%，求年实际利率。（2）i=10%，求i(5)。

解：

（1）1+i=[1+(i(4)/4)]4

i=[1+(i(4)/4)]4-1=8.24%

（2）i(m)=m[(1+i)1/m-1]=5[(1.1)1/5-1]=9.6%作业习题1.31.2名义利率和名义贴现率名义贴现率

与名义利率的含义相同，用d(m)表示每一度量期支付m次利息的名义贴现率。如果名义贴现率为d(m)，那么有：

1-d=(1-d(m)/m)m

可得:①

d=1-(1-d(m)/m)m

②d(m)=m[1-(1-d)1/m]

1.2名义利率和名义贴现率名义利率与名义贴现率的关系等价

01/m2/mm-1/mm/m………1元(1+i)=(1+i(m)/m)m元1元生息贴现

(1-d(m)/m)-m元

(1+i(m)/m)m=(1+i)=1/(1-d)=(1-d(m)/m)-m名义利率和名义贴现率的关系：当m=p时：

1.2名义利率和名义贴现率例：1.2.2假设年实际利率等于12%，分别求每年、每半年、每季度、每月、每周和每天计息一次时的名义利率和名义贴现率。解：（1）名义利率1+i=(1+i(m)/m)mi(m)=m[(1+i)1/m-1]i=12%m=1,i(m)=12%;m=2,i(m)=11.66%;m=4,……

1.2名义利率和名义贴现率名义贴现率第一种方法：

1+i=(1-d(m)/m)-m

d(m)=m[1-(1+i)-1/m]

第二种方法：

d=i/1+i1-d=(1-d(m)/m)m

d(m)=m[1-(1-d)1/m]1.2名义利率和名义贴现率例1.2.3求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及计息4次的年名义贴现率。例1.2.4已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。1.2名义利率和名义贴现率解:(1)1+i=(1+i(m)/m)mi(m)=m[(1+i)1/m-1]i=8%,m=2,i(m)=7.85%

(1-d(m)/m)-m=1+i

d(m)=m[1-(1+i)-1/m]i=8%,m=4,d(m)=7.623%1.2名义利率和名义贴现率(2)(1-d(m)/m)-m=1+ii=(1-d(m)/m)-m-1m=12,d(m)=8%,i=8.36%例1.2.5求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资3年的积累值。解：A(3)=10000a(3)=10000(1+0.06/4)12

=10000(1.015)12=11956.2例1.2.6以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其现值。解：PV=50000a-1(6)=50000(1-d)6

=50000