北航 时间序列与谱估计(2017-L6)0

时间序列与谱估计

第七章自回归谱估计：方法第七章自回归谱估计：方法自相关法协方差法修正协方差法伯格法递推极大似然估计器模型阶次的选择噪声AR过程的谱估计计算机仿真举例概述AR过程的特性，参数及谱估计的统计特性AR过程的特性与预测滤波器的关系三种等价表示参数及谱估计隐含相关函数延拓最大熵延拓最大谱平坦度（白化预测误差）概述AR过程的特性，参数及谱估计的统计特性参数及谱估计AR谱估计的界极大似然估计参数及反射系数的统计特性谱估计的统计特性概述实用谱估计算法自相关法协方差法修正协方差法伯格法递推MLE法这些方法是近似MLE，长数据，性能相似；短数据，存在一些显著差别概述对于短数据，这些算法仍有较好性能，计算量适中除递推MLE外，均应用预测误差功率最小的方法，是基于极大似然的观点递推MLE试图通过递推极大化似然函数来获得较好的MLE近似值，但此处递推仅适合于实数据。自相关法MLE(§6.5.1)

极大化条件PDF预测误差功率极小，即极小化下式自相关法观测数据预测误差功率自相关法自相关法关于a[k]微分，得矩阵形式为自相关法自相关法其中(7.4)式是有偏估计，自相关矩阵是Hermitian,Toeplitz，且是正定的；与基于有偏ACF估计的Yule-Walker方程等价，可由Levinson算法求解，最小相位特性保证极点在单位圆内。自相关法自相关法白噪声方差估计为自相关法自相关法白噪声方差估计也可由Levsinson算法，得自相关法与其它将要讨论的算法比较，谱估计的分辨率差，对于短记录数据，通常不使用自相关法。如果对于(7.4)式采用无偏ACF估计，得到的自相关矩阵不能保证正定性，矩阵可能奇异或接近奇异，谱估计产生较大方差。协方差法协方差法预测误差功率求预测误差功率不需数据补零，得参数方程协方差法协方差法其中白噪声估计为系数矩阵是Hermitian和半正定，不能保证极点在单位圆内。例如，当p=1,N=2时，a[1]的估计为，它的幅度可大于或等于1。修正协方差法前向预测后向预测修正协方差法修正协方差法：使前后向预测误差平均值达极小方法平均预测误差功率：其中修正协方差法修正协方差法关于参数微分，得修正协方差法令参数方程为修正协方差法白噪声方差估计为最后，有修正协方差法不能保证建立一个稳定的全极点滤波器。伯格法基本思想先估计反射系数，采用递推，使各阶前后向预测误差极小利用Levinson算法递推得到AR参数估计如果已求，则AR参数估计为伯格法对于k=2,3,…,pAR参数的估计为白噪声估计为对上述各步求反射系数关于前后向预测误差最小解。伯格法伯格方法设前k-1个反射系数已求，根据(7.25)式，下式的前后向平均预测误差仅为第k个反射系数kk的函数:其中伯格法伯格方法定义前后向预测误差伯格法伯格方法定义前后向预测误差功率为伯格法伯格方法将(7.30)代入(7.31),(7.32)中，得其中伯格法伯格方法因此，有伯格法伯格方法关于微分，得伯格法伯格算法初值伯格法对于k=1,2,…,p有伯格法

最后，估计的AR参数为：伯格法伯格法中第k个反射系数kk估计的分母DEN(k)可递推地计算模型阶次的选择对于AR(p)过程，预测误差满足：预测误差可估计AR(p)模型的阶，由于数据的有限，由预测误差估计AR模型的阶会有较大误差。模型阶次的选择如果模型阶数的估计低于实际模型阶数，则谱估计将损失有用谱信息；如果模型阶数的估计高于实际模型阶数，则谱估计的方差增大。模型阶次的选择阿凯克最终预测误差(FPE)准则:极小化FPE(k)

阿凯克信息准则(AIC)：极小化AIC(k)

短数据，使用AIC；长数据，两种方法将得到相同的模型阶次估计。模型阶次的选择对于长数据，两者性能相近：阿凯克信息准则(AIC)推导模型阶次的选择自回归传递函数准则(CAT):极小化CAT(k)CAT选择AR模型阶次，使得由该模型估计出的预测误差滤波器最接近于最佳无限长滤波器。（CAT是对基于任意数据组的AR谱估计导出的，并不是仅对纯AR过程）

噪声AR过程的谱估计观测数据：

x[n]是AR过程，数据y[n]的功率谱为：噪声AR过程的谱估计常用谱估计方法ARMA模型估计，可看成ARMA(p,p)模型；数据预滤波，减小观测噪声；补偿AR参数由于噪声引起的偏差：使用高阶AR模型计算机仿真举例实AR(4)过程，参数如下表：计算机仿真举例极点分布如下图计算机仿真举例对于所有仿真，记录数据长度为N=256个实数据点，所用的模型阶为真实模型阶