材料力学第七章弯曲变形课件

第7章弯曲变形※

工程问题中的弯曲变形※

挠曲线的近似微分方程※

用积分法求弯曲变形※

用叠加法求弯曲变形※

简单静不定梁※

提高弯曲刚度的措施§7-1概述

在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。一、工程实践中的弯曲变形问题

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。FF

但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。

例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。二、弯曲变形的基本概念FxlxABl描述截面上任一点的位移:1、形心轴的线位移

——挠度v2、截面绕形心轴的角位移

——转角ABF二、弯曲变形的基本概念xlxlF

变弯的形心轴——

挠曲线F

挠度随坐标变化的方程——挠曲线方程F

忽略剪切变形

+

梁的转角一般很小——正负号确定——确定坐标系:v向上为正,逆时针为正.方程简化小变形时：xvxv§7-3用积分法求弯曲变形F

C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。边界条件：梁截面的已知位移条件

连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件连续:光滑:ACDMFB$

挠曲线在B、C点连续且光滑例2：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。llxxy解：由边界条件：得：lxxy梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：xyABPlx梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：xy例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max

和vmax

。ABPCxxy解：AC段:ABPCx由对称条件：由边界条件：得：得：画挠曲线的大致形状ADBC+_Q+MF

根据弯矩图定凹凸性，F

弯矩图过零点处为拐点，F

支座限定支座处的位移。凹凸凹直线大致形状§7-4用叠加法求弯曲变形一、用叠加法计算梁的变形当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。

在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。MP例5：用叠加法求vC、A、

B。PM例6：若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩

M等于多少？PMABaCaMABCPABC解：例8：已知E

为常数，I2=2I1，求WC，C。FABCFABC刚化AB段：ABCF仅考虑BC段变形：刚化BC段：F仅考虑AB段变形：FABCABCFFFABCEFABCEFABCEFABC对称性在变形分析中的应用F/2CFB例9：已知E

为常数，I2=2I1，求WC，B。例10：利用对称性求下面梁中点挠度与转角

反对称,挠度为0(弯矩为0,拐点)对称,转角为0qACBBACq/2ACq/2反对称,挠度为0(弯矩为0,拐点)ACq/2Cq/2二、梁的刚度计算刚度条件：[v]、[]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。CL9TU40例11：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v]=l／500，E=200GPa，[]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。PzI20a解：由刚度条件:因此满足强度要求§7-5用变形比较法解静不定梁静不定度与多余约束多余约束

凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力

与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度

＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3=2度静不定6-3

=

3度静不定相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁，相当系统的选择不是唯一的。相当系统1相当系统2相当系统qABAFBqABABMA总结：分析方法与分析步骤1、判断静不定度（确定多余约束数）；2、解除多余约束，建立相当系统；3、列出多余约束处的变形协调条件(位移边界条件)；4、结合平衡方程，求多余支反力。解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件F

静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。方法：步骤：AB静定基:相当系统：AB静定基与相当系统的选取：qABFBqABABMA例12：求图示梁的支反力。qABFBqAB解：解除多余约束，建立相当系统。2.建立变形协调条件3.联立求解qAB解2：解除多余约束，建立相当系统。2.建立变形协调条件3.联立求解ABMA例13：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求：(1)二梁接触处的压力；(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；(3)加固前后B点挠度的比值。aaABCDPABCDPFD解：(1)变形协调条件解：(2)加固前后AB梁的最大弯矩ABPPABFD解：(3)加固前后B点挠度ABPPABFDABAB存在装配误差的静不定问题分析例:直径为d

的圆截面梁,支座B

下沉，max=?AB解：§7-6提高弯曲刚度的措施依据对比强度问题或让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面与梁的合理强度设计相似点

与的比较合理安排约束与加载方式（分散载荷等）合理安排约束与加载方式lqqFq=F/l（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）.

辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强

小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微与梁的合理强度设计的不同点(2)强度与材料和相关