混沌与随机数课件

混沌与随机数《信息隐藏实验教程》教学幻灯片四一个最基本的混沌模型（虫口模型）虫口模型又称为Logistic映射：在某一范围内单一种类的昆虫繁殖时，其第n年的数量与第n+1年的数量可以表示为：xn+1=xn(a-bxn)其中a表示增长率，-bxn表示考虑到争夺食物等因素引起的虫口饱和。一个最基本的混沌模型（虫口模型）为了数学上处理的方便，我们再设a=b=μ,因此考虑下列关系式：xn+1=μxn(1-xn)我们下面进一步分析Logistic方程所描述的虫口问题的一些特征

一个最基本的混沌模型（虫口模型）可以看出，当n的值大于29时，x的值不再改变，即使改变x0的值，只要μ=2.5,迭代方程最终会收敛到0.6，不同的只是达到收敛值的迭代路径。即不论初值为什么，迭代方程最终都会被吸引到一个固定值，这个固定值被称为吸引子。一个最基本的混沌模型（虫口模型）我们再取μ=3.3，x0=0.5，可得：……………..x32=0.479427020x33=0.823603283x34=0.479427020x35=0.823603283…………….一个最基本的混沌模型（虫口模型）可见，当μ取3.3时，有两个吸引子，这种收敛轨迹被称为周期2轨迹。

一个最基本的混沌模型（虫口模型）③μ大于等于3小于等于4时系统的动力学形态十分复杂，系统由倍周期通向混沌。前面的μ=3.3就是这样。④μ大于4时系统的动力学形态更复杂。一个最基本的混沌模型（虫口模型）下图给出了不同的μ值下虫口模型的时间序列

特征量Lyapunov指数Lyapunov维数kolmogorov熵Lyapunov指数指数分离我们用下图表示

●x0--------ε---------●x0+εn次迭代●Fⁿ(x0)--------εenλ---------●Fⁿ(x0+ε)故λ>0可作为系统混沌行为的一个判据。对Logistic映射，考虑参数3.4≤μ≤4，若μ<μ∞=3.5699…,λ<0,对应周期运动；若μ>μ∞=3.5699…,λ>0,对应混沌运动。Lyapunov维数我们设Lyapunov指数按从大到小的顺序排列为：λ1≥λ2≥λ3≥…….，则混沌吸引子的Lyapunov维数定义为：其中,，k是保证Sk>0的最大k值。kolmogorov熵考虑一个n维动力系统，将它的相空间分割成一个个边长为ε的n维立方体盒子，对于状态空间的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道x（t），取时间间隔为一个很小的量τ，令P(i0,i1,….id)表示起始时刻系统轨道在第i0个格子中，t=τ在第i1个格子中，…，t=dτ在第id个格子中的联合概率，则Kolmogonov熵定义为：常见运动形态的特征量表我们再给出几种常见的运动形态的特征量，如下表：

吸引子

维数

Lyapunov指数

K熵

稳定定态

点0<0

0周期运动

闭曲线

10

0混

沌

奇怪非整数只有λ1＞0

0<K<∞

混沌的直观描述设V是一个紧度量空间，连续映射f：V→V如果满足下列三个条件：①对初值敏感依赖。存在б>0,对于任意的ε>0和x属于V，在x的ε邻域内存在y和自然数n，使得d(fⁿ(x),fⁿ(y))>б。②拓扑传递性。对于V上的任意一对开集X,Y,存在k>0,使fⁿ(X)∩Y≠Φ。③f的周期点集在V中稠密。则称f是在Devaney意义下V上的混沌映射或混沌运动。

Logistic方程作为模型的混沌序列发生器

选择Logistic方程作为模型只要给定合适的μ（大于3.5699）值，就能使产生的序列满足混沌特性。我们选择很接近的两个初值0.3256和0.3257，而μ取3.9，生成50×50的矩阵，如下图：

Logistic方程作为模型的混沌序列发生器混合光学双稳模型产生的混沌序列

我们还可以选取混合光学双稳模型作为混沌序列的生成模型：两个参数A、xB，分别取4和2.5，赋给它不同的初值x0将得到不同的混沌序列

混沌时间序列的判别方法

功率谱方法

Lyapunov指数法

功率谱方法Lyapunov指数法在Lyapunov指数λ＜0的方向，相体积收缩，运动稳定，且对初始条件不