概率统计和随机过程73统计量的分布课件

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§7.3统计量的分布

确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或3(甚至还可能是随机的),

故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.

由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.1设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义统计量2常用的统计量为样本均值为样本方差为样本标准差设是来自总体

的容量为

的样本,称统计量3(2)分布

(n为自由度)定义设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=2

时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.5一般地,其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为

n的6n=2n=3n=5n=10n=15

7(3)t

分布(Student分布)定义则T所服从的分布称为自由度为n

的T分布其密度函数为X,Y

相互独立,设9t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=2010t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°T分布的分位数t与双侧分位数t/2

有表可查(p366)11m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1013F分布的性质例如事实上,故但F(n,m)•1234560.10.20.30.40.50.61415例1证明证:(II)

两个正态总体设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本它们相互独立.令17则若则(3)18设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本

,它们相互独立.则19(4)21的概率不小于90%,则样本容量至少应为多少?例2设总体,为使样本均值大于70解

设样本容量为

,则故令得即所以取22例3从正态总体中，抽取了

n=20的样本(1)求(2)求23(2)故25例4

设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

与Y1,Y2,…,Y16

分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量所服从的分布解26例6设是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,

是样本均值,则服从自由度为n-1

的t分布的随机变量为:29故应选(B

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