非线性系统线性化

非线性系统的线性化1、传统近似线性化2、精确线性化3、现代近似线性化第四章第一页，共一百一十二页。CompanyLogo条件苛刻，计算复杂基本思想：一阶近似适用于工作点范围不大情况基本思想：通过坐标变换把强非线性系统变换成弱非线性系统或通过状态反馈以保持线性系统的部分特点。传统近似线性化精确线性化非线性系统线性化方法现代近似线性化第二页，共一百一十二页。近似线性化传统近似线性化最小二乘法泰勒展开傅里叶级数展开误差最小忽略高阶项忽略高次谐波雅可比矩阵忽略高阶项传统近似线性化方法第三页，共一百一十二页。非线性系统反馈线性化_主要内容4.0绪论4.1基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法4.2单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性定常系统设计—闭环极点配置一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法4.3反馈线性化与标准型输入—状态线性化输入—输出线性化线性系统的内动态子系统零动态子系统4.4数学知识微分同胚与状态变换弗罗贝尼斯定理4.5非线性系统反馈线性化单输入单输出系统的输入—状态线性化单输入单输出系统的输入—输出线性化多输入—多输出系统的反馈线性化4.6近似线性化方法第四页，共一百一十二页。非线性系统反馈线性化绪论非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的。目前反馈线性化的方法主要有两种：1）精确线性化方法(exactlinearizationmethod)，如微分几何方法，隐函数方法和逆系统方法等；2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含模型参考方法（implicitmodelreferenceapproach），而后者为实际模型参考方法（realmodelrefernceapproach）。精确线性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并在许多领域得到成功的应用。相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由于其可应用的范围较窄，理论上又难以深入，被研究得要少得多。第五页，共一百一十二页。在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统反馈线性化的直接方法。运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同样也得到大量的应用。非线性系统反馈线性化绪论第六页，共一百一十二页。按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线性化的直接方法：（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模型参考系统。（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设计提供了一条新的思路。非线性系统反馈线性化绪论第七页，共一百一十二页。其中，

为状态向量，

为控制向量，为向量函数。其中

为状态向量，

为控制向量，,

为常数矩阵，并且的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设计可以实现系统状态

对的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性化。基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法按上述方法，基本设计过程如下：考虑一般的非线性系统（1.1）设希望的线性系统动态特性为（1.2）令状态偏差为，则有

由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：（1.3）第八页，共一百一十二页。其中

，且。则有的导数为：（1.5）其中

，为标量函数。基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法取状态偏差的二次型函数（1.4）因为当状态偏差的欧几里德范数时，，平衡状态

是在大范围内渐近稳定的。从而有时，

。由上面的分析可直接给出如下定理：定理1.1给定非线性时变系统（1.1）及模型参考系统（1.2）。设稳定，是模型参考自由系统（对应于）在原点平衡状态的李雅普诺夫函数。那么，若存在控制

使由于的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵

，使为一负定矩阵。若能选取控制向量（

为可能用到的

的各阶导数），使

，则

为李雅普诺夫函数。第九页，共一百一十二页。若能选择

使

在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。若选取的

使，则称非线性系统（1.1）被精确线性化。我们可给出定理1.1更一般的情况如下：基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法（1.6）则偏差系统（1.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。证明：因为是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有

负定。定理1.2考虑状态偏差系统（1.3）。设其对应的自由动态系统在平衡状态大范围一致渐近稳定，是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数。如果控制策略使（1.7）则被控的状态偏差系统（1.3）是大范围一致渐近稳定。第十页，共一百一十二页。基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法将作为偏差控制系统（1.3）的可能的李亚普诺夫函数，有由于上式右端第一项负定，显然若式（1.7）成立，则负定。式（1.3）的被控状态偏差系统大范围一致渐近稳定。非线性系统的反馈线性化，确切地说还可以分为输入--状态线性化和输入--输出线性化。对调节问题（稳定性问题）采用输入--状态线性化通常即可满足要求对系统的调节要求；但对跟踪问题通常必须采用输入--输出线性化设计才能满足对系统的性能要求。第十一页，共一百一十二页。单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计设系统由下述微分方程表示（2.1）其中为输入，为输出。取输出及其前n-1阶导数为状态变量，方程（2.1）可表示为如下的状态空间表达形式：（2.1a）简记为（2.1b）第十二页，共一百一十二页。单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计其中为状态向量，表示控制及其前m阶导数。设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示：

（2.2）其中为希望输出，为模型的输入，，为常数。同样取及其前n-1阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为：（2.2a）其中为模型的状态向量；，，为常数。第十三页，共一百一十二页。单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计根据动平衡状态理论，我们可以将作为被控系统的动平衡状态，通过设计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态对动平衡状态在大范围内渐近稳定。从而实现对，亦即对的渐近逼近，使被控系统具有所希望的动态特性。实现上述目标的一个直接方法便是利用李雅普诺夫第二方法。为此，以为动平衡状态，定义误差向量（2.3）由式（2.1a）及式（2.2a）可得（2.4）取状态偏差的二次型函数（2.5）其中

，且。则有的导数为：（2.6）第十四页，共一百一十二页。单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计其中：（2.7）（2.8）为标量函数。由于系统（2.1a）和系统（2.2a）均为可控型，的确定可以进一步简化。由式（2.8）我们有：（2.9）其中：（2.10）（2.11）第十五页，共一百一十二页。单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计，为标量，以后的计算中，只需根据式（2.10）和（2.11）便可确定控制规律。

因为当状态偏差的欧几里德范数时，，平衡状态

是在大范围内渐近稳定的，即为控制系统的大范围渐近稳定的动平衡状态。从而有时，

。由上面的分析可直接给出如下定理：

定理2.1

给定非线性时变系统（2.1）及模型参考系统（2.2）。设稳定，为模型参考自由系统（）在原点平衡状态的李亚普诺夫函数。那么，若存在控制使则偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。若能选择

使

在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。在这一方法中，若令，即可实现系统的精确线性化。若非线性系统是仿射非线性的，则其结果同微分几何方法。第十六页，共一百一十二页。仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计考虑仿射非线性系统（2.12）选取及其前n-1阶导数为状态变量，可将其转换为式（2.1）形式的状态空间表达式，且其中（2.13）（2.14）由定理2.1，令，可实现仿射非线性系统的精确线性化。由式（2.14）得精确线性化得控制策略为（2.15）1.精确线性化2.鲁棒线性化设计第十七页，共一百一十二页。仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计（1）设仿射非线性系统具有不确定性

（2.16）其中，则控制策略

（2.17）将使系统鲁棒线性化。证明：将代入整理后有

由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。（2）设仿射非线性系统具有不确定性

（2.18）第十八页，共一百一十二页。仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计其中，。不失一般性，设则控制策略（2.19）将使系统鲁棒线性化。证明：将代入整理后有由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。第十九页，共一百一十二页。线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计考虑变系数线性系统

（2.20）对照式（2.1b）有（2.21）根据式（2.9）-（2.11），在保证非正（即非正）的前提下，至少有如下几种选择方式。1.精确抵消法选择使，即。这时可取（2.22）第二十页，共一百一十二页。线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计此时李雅普诺夫函数，，其中，。系统的动态方程直接由式（2.2）所示。2.非精确抵消法由式（2.9）-（2.11），我们有

（2.23）设不变号，取（2.24）由于要使为李亚普诺夫函数，只需非正，这就为本方法中的选择带来了极大的便利，最简单直接的方法就是取绝对值加符号函数方法。第二十一页，共一百一十二页。线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计代入式（2.23），并考虑到对任意函数有，我们有可见按式（2.24）确定的保证了为李雅普诺夫函数。3.鲁棒控制系统的实现第二十二页，共一百一十二页。线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计在上述非精确抵消方法中，如果可预先确定系统各参数取值的绝对值的最大值，则下述按参数绝对值最大值选取的控制律，不仅能保证为李雅普诺夫函数，同时还将使系统对区间内变化的参数具有鲁棒性。在式（2.24）中，除外，取各参数绝对值的最大值，有

（2.25）

其中，。显然，如果我们选择，。则将使系统的鲁棒性进一步增加，同时还可使的收敛速度加快。第二十三页，共一百一十二页。线性定常系统设计—闭环极点配置考虑线性定常系统

（2.26）对照式（2.1b）有（2.27）设系统的希望动态特性如式（2.2）所示。则由式（2.11）有

（2.28）其中（2.29）第二十四页，共一百一十二页。线性定常系统设计—闭环极点配置令，即。则有，为李亚普诺夫函数，其中，。当，将有。这时由式（3.29）可解出（2.30）其中，。这一结果同状态反馈极点配置方法的结果是一致的。相当于利用线性状态反馈将原系统的极点配置到了希望系统的极点位置。其具体实现形式为：

第二十五页，共一百一十二页。一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法考虑非线性系统

（2.31）将上式作为代数方程来看，如果从中可解出的显式表示

（2.33）则式（2.33）即为系统（2.31）的逆系统。选取及其前n-1阶导数为状态变量，用表示及其前m阶导数，则上式可记为

（2.32）在方程（2.33）中，记，则得到系统（2.33）的n阶积分逆系统，由下式表示：（2.34）第二十六页，共一百一十二页。一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法将

代入可得：（2.35）令，可得精确线性化控制策略为

（2.33）第二十七页，共一百一十二页。反馈线性化与标准型最简单形式的反馈线性化是将非线性系统中的非线性抵消掉，使闭环动态特性变成线性形式。例3.1控制水箱液面高度考虑将水箱中液面的高度h，控制在指定的高度，控制输入是进入水箱的液体流量u，初始高度为。其中是水箱的横截面积，a是出水管的横截面积。如果初始高度与期望高度相差悬殊，h的控制就是一个非线性调节问题。动态方程式（3.1）可重写为:水箱的动态模型为（3.1）第二十八页，共一百一十二页。反馈线性化与标准型若选为（3.2）式中

为待求的“等效输入”，则得到线性的动态方程选取为（3.3）其中为液面高度误差，a为一严格正常数，则得到闭环动态方程为：（3.4）这说明当时，。根据式（3.2）和式（3.3），实际的输入流量由下列非线性控制律确定：（3.5）式（3.5）中，右端第一项用来提供输出流量，第二项则是用来根据期望的线性动态特性式（3.4）去改变液面高度。第二十九页，共一百一十二页。反馈线性化与标准型类似地，如果期望高度是一个已知的时变函数，则等效输入

可选为：

从而仍得到时的结果。反馈线性化的想法，即抵消非线性并施加一个期望的线性动态特性，可以直接应用于一类由所谓伴随型或能控标准形所描述的非线性系统。

所谓一个系统是伴随型的，是指其动态方程可以表示为（3.6）其中u是标量控制输入，x是所关注的标量输出，而是状态矢量，与是状态的非线性函数。这种形式的特点是尽管方程中出现x的各阶导数，但是不出现输入u的导数。若用状态空间表示，式（3.6）可写为：第三十页，共一百一十二页。可以表示为这种能控标准形的系统，若使用控制输入（假定不为零）（3.7）就能抵消掉非线性特性而获得一个简单的输入—输出关系（多重积分形式）因此控制可选为其中选择使得多项式的所有根均严格位于左半平面从而导致指数稳定的动态特性反馈线性化与标准型第三十一页，共一百一十二页。即。对于跟踪期望轨迹的任务，控制律可选为：（3.8）其中为跟踪误差，该控制律导致指数收敛跟踪。若标量x换成矢量，标量b换成可逆方阵，亦可获得类似的结果。在式（3.6）中曾假定动态方程对于控制输入是线性的（但对状态是非线性的），然而这一方法不能推广到把u换成一个可逆函数的情形。例如，通过阀门控制流量的系统，其动态特性可能是依赖于而不是直接依赖于u，这里u是阀门开启的直径。这时只要定义，即可以容易地根据上述步骤首先设计出，然后利用来计算输入u。这种方法实际上避免了在控制计算中出现非线性。当非线性动态方程不是能控标准形时，可以首先利用代数变换将方程化为能控标准形，然后再使用上述的反馈线性化设计，或者借助于原动态系统的部分线性化，而不要求总体的线性化。

反馈线性化与标准型第三十二页，共一百一十二页。考虑单输入非线性系统中控制输入的设计问题。输入-状态线性化方法通过两步来解决这个问题。首先找出一个状态变换与一个输入变换使非线性系统动态方程化成一个等效的线性定常系统动态方程，并表示成熟知的形式。其次，再利用标准的线性控制方法（例如极点配置）来设计。以一个简单的二阶系统为例来说明这个方法。考虑系统（3.9）虽然线性控制设计也能使这个系统在平衡点（0,0）附近的一个小范围内稳定，然而采用什么控制器能使它在更大的范围内稳定却不是一目了然的。尤其是方程中的非线性更增加了控制上的困难，因为它不能直接用控制输入来抵消。输入—状态线性化第三十三页，共一百一十二页。如果考虑一组新的状态变量（3.10）则新的状态方程为（3.11）可以看到，新的状态方程平衡点依然为（0,0）。同时可以看出，下列控制律

（3.12）可用来抵消上式中的非线性。其中

是待设计的等效输入，于是可得到线性的输入—状态关系为（3.13）输入—状态线性化第三十四页，共一百一十二页。因此，通过状态变换式（3.10）和输入变换式（3.12），就将用原来的输入去稳定原来的非线性动态系统式（3.9）这样一个问题转变成了用新的输入去稳定新的动态系统式（3.13）的问题。由于新的动态系统是线性和能控的，采用熟知的线性状态反馈控制律并适当选择反馈增益，就能对极点任意地进行配置。例如可以选择（3.14）而得到稳定的闭环动态系统它的两个极点都在-2处。输入—状态线性化第三十五页，共一百一十二页。用原来的状态和表示，与此控制律相应的原控制输入为

（3.15）原来的状态由给出为（3.16）由于和

两者均收敛于零，故原来的状态亦收敛于零。输入—状态线性化采用上述控制后的闭环系统如右图所示。这个控制系统中存在两个环：内环实现输入-状态关系的线性化，外环实现闭环动态特性的稳定性。第三十六页，共一百一十二页。关于上述控制律，有以下几点进一步的说明：1.虽然在状态空间中一个相当大的区域内上面的结论均成立，但它不是全局性的。控制律在时没有定义。显然，当初始状态位于这些奇点处时，控制器不能使系统达到平衡点。2.输入—状态线性化是通过状态变换与输入变换相结合而实现的，而在两种变换中都用到了状态反馈。因此它是通过反馈来进行线性化，简称为反馈线性化。这一点与基于线性控制的小范围雅可比线性化有着本质的区别。3.为了实现这个控制律，需要用到新的状态变量（,）。若它们在物理上没有意义，或不能直接测量，则必须测量原来的状态并用式（3.10）来计算新的状态变量。

输入—状态线性化第三十七页，共一百一十二页。4.一般说来，控制器设计和的计算都须用到系统模型。如果模型存在不确定性，即参数有不确定性，则从式（3.10）和式（3.12）可见，这种不确定性对于计算新状态变量和计算控制输入都会引起误差。5.利用这种方法也能考虑跟踪控制的问题，但是这时应将期望的运动用新的状态矢量来表示，还可能需要进行复杂的计算，将期望运动的特性指标由原来的物理上有意义的输出变量表示变换成现在的新的状态变量表示。6.上述设计的成功使人们对将输入—状态线性化的思想推广到一般的非线性系统感到兴趣。在考虑这种推广的时候，将产生以下两个问题：（1）哪些非线性系统能够变换成线性系统？（2）如果能够进行这种变换，如何找到这个变换？

输入—状态线性化第三十八页，共一百一十二页。考虑下列系统的跟踪控制问题（3.17）假定设计的目标是使输出跟踪期望的轨迹，同时保持所有状态有界，其中及其足够高阶的时间导数均假定已知且有界。使用这个模型的明显困难在于输出只是通过状态及非线性状态方程式（3.17）间接地与输入发生联系，所以不易看出应如何设计输入来控制输出的跟踪性能。假如能够找到系统输出与控制输入之间的一个直接而简单的关系，则跟踪控制设计的困难就会大大降低。事实上，由此想法构成了非线性系统控制设计中的所谓输入—输出线性化方法的基础。用一个例子来说明这一方法。输入—输出线性化第三十九页，共一百一十二页。考虑三阶系统

（3.18）为了得到输出与输入之间的直接关系，将输出微分由于仍然与

没有直接联系，对上式再微分一次，得到（3.19）其中是状态的函数，定义为（3.20）输入—输出线性化第四十页，共一百一十二页。式（3.19）代表与之间的一个显式关系。如果选择输入为下列形式（3.21）其中为待定的新输入，则式（3.19）中的非线性便被抵消了，从而得到一个输出与新输入之间的简单的二重积分关系利用线性控制方法很容易对这个二重积分关系设计跟踪控制器。例如，定义跟踪误码差为，选取新的输入为（3.22）其中，为正常数，则闭环系统的跟踪误差满足（3.23）它代表一个指数稳定的误差动态特性。因此，如果开始时，则，，即获得了理想跟踪；否则指数地收敛于零。输入—输出线性化第四十一页，共一百一十二页。这里需要注意两点：（1）除了奇异点处之外，控制律处处有定义。（2）为了实现这一控制律，要求全部状态都能测量，因为计算导数和输入变换式（3.21）均要求的数值。上面这种首先产生一个线性的输入—输出关系，然后再利用线性控制方法来构造控制器的设计策略称为输入-输出线性化方法，它适用于许多系统，如果需要将系统的输出微分次才能得到一个输出与输入之间的显式关系，则称该系统的相对度为。因此，上述例子中的系统相对度为2。这个术语同线性系统中所用的相对度的概念（极点超过零点的数目）是一致的。可以严格地证明，任何阶能控系统，对于任一输出，最多只需要微分次就一定能使控制输入在表达式中出现，亦即。如果对微分永远不出现控制输入，则这个系统就是不可控的。输入—输出线性化第四十二页，共一百一十二页。值得注意的是，式（3.23）仅说明了闭环动态系统的一部分，因为它只有二阶，而整个系统是三阶的。因此，系统中有一部分（由一个状态分量描述）经由输入—输出线性化变成了“不能观”的子系统。这一部分子系统称为内动态子系统。若此内动态子系统稳定（这里稳定的意思实际上是指在跟踪过程中状态维持有界，即在BIBO意义上的稳定性），跟踪控制设计的问题就真正地解决了。否则，上面的跟踪控制器事实上没有意义，因为内动态子系统的不稳定性可能会产生一些不希望出现的现象。因此，上面这种基于降阶模型式（3.19）的控制器设计，其适用性依内动态子系统的稳定性而定。最后还要指出，输入—输出线性化方法虽然是在研究输出跟踪问题时提出来的，但它同样可应用于稳定问题。此外，关于用输入—输出线性化来进行稳定设计，还有必要作两点说明。

输入—输出线性化第四十三页，共一百一十二页。首先在稳定问题中，不一定要选择具有明显的物理意义（在跟踪设计中，输出的选择是由具体任务确定的）。的任意函数均可为了设计的目的而用来作为人为的输出，从而产生一个以稳定设计为目的的线性输入—输出关系。其次，不同的输出函数选择将产生不同的内动态子系统。有可能一种输出选择产生一个稳定的内动态子系统（或者不存在内动态子系统），而另一种输出选择却产生不稳定的内动态子系统。因此，只要可能，就应该选择使相应的内动态子系统稳定的那种输出函数。特殊情况下，当系统的相对度等于其阶数时，即当输出必须微分次（为系统阶数）时，变量可作为系统的一组新状态变量，这时不会产生与该输入—输出线性化有关的内动态子系统。故在这种情况下，输入—输出线性化实际上变成了输入—状态线性化，从而对于所指定的输出很容易实际状态调节和输出跟踪。输入—输出线性化第四十四页，共一百一十二页。一般情况下，直接确定内动态子系统的稳定性是非常困难的，因为它一般是非线性、非自治的，而且与外表的动态子系统之间有耦合。虽然对某些系统而言，也许可以利用李雅普诺夫或类似李雅普诺夫的分析方法，然而寻找李雅普诺夫函数并非易事，因而限制了这种方法的普遍应用，所以很自然地想到需要寻找更为简单的方法来确定内动态子系统的稳定性。为此，从熟知的线性系统入手，来考察内动态子系统这个概念。例3.2两个线性系统的内动态子系统考虑下列简单的能控、能观线性系统（3.24）线性系统的内动态子系统第四十五页，共一百一十二页。要求

跟踪期望输出，将输出微分一次就得到第一个状态方程其中显含，故采用控制律（3.25）可产生跟踪误差方程（其中）及内动态子系统从这些方程可以看出，当趋近（同时趋近）时保持有界，从而也有界。因此式（3.25）是系统式（3.24）的一个满意的跟踪控制器。线性系统的内动态子系统第四十六页，共一百一十二页。再来看一个稍微不同的系统：（3.26）采用与前面一样的控制器可产生同样的跟踪误差动态系统，然而却产生不同的内动态子系统由上式可见，当时，以及相应地都趋向无穷大。因此，式（3.25）对系统式（3.26）便不是一个合适的跟踪器。为了搞清楚这两个系统之间的本质差别，可以来看看它们的传递函数。线性系统的内动态子系统第四十七页，共一百一十二页。系统式（3.24）的传递函数为而系统式（3.26）的传递函数为可以看到，这两个系统的极点相同而零点不同。具体地说，设计成功的系统式（3.24）具有一个左半平面的零点-1，而设计失败的系统式（3.26）却包含一个右半平面零点1。可以证明，上述结果（即如果对象的零点在左半平面，也就是说对象是最小相位的，则内动态子系统稳定）对于所有的线性系统都是正确的。

线性系统的内动态子系统第四十八页，共一百一十二页。既然在线性系统中内动态子系统的稳定性简单地由零点的位置确定，因此人们自然会有兴趣想知道这个关系能否推广到非线性系统。为此首先要将零点的概念推广到非线性系统，然后再确定内动态子系统的稳定性与这种推广了的零点概念之间的关系。将零点的概念推广到非线性系统并不是一个十分简单的问题。线性系统是在传递函数的基础上定义零点的，但传递函数不能推广到非线性系统。此外，零点是线性对象的一个内在特性，而对非线性系统来说，内动态子系统的稳定性可能与特定的输入有关。克服这一困难的一个途径是对非线性系统定义一个所谓的零动态子系统。零动态子系统定义为当系统的输出被输入强制为零时它的内动态子系统。零动态子系统第四十九页，共一百一十二页。对于线性系统，零动态子系统的渐近稳定性意味着内动态子系统的全局稳定性；然而，对于非线性系统却没有如此明显的关系。对于稳定问题，可以证明，零动态子系统的局部渐近稳定性足可保证内动态子系统的局部渐近稳定性，这个结论也可以推广到跟踪问题。然而，与线性系统的情形不同，对于非线性系统的内动态子系统不能得到关于全局稳定性的结论，甚至连大范围稳定性的结论也不能得到。换言之，即使零动态子系统是全局指数稳定的，也只能保证内动态子系统的局部稳定性。关于非线性系统的零动态子系统，可作如下两点说明。首先，零动态子系统的特性是一个非线性系统的内在特征，它与控制律及期望轨迹的选择无关。其次，考察零动态系统的稳定性比考察内动态子系统的稳定性要容易得多，因为零动态子系统仅涉及内部状态。零动态子系统第五十页，共一百一十二页。归结起来，基于输入—输出线性化的控制设计可循以下三步来进行：（1）微分输出直至出现输入；（2）选取来抵消非线性并保证跟踪收敛；（3）研究内动态子系统的稳定性。若与输入—输出线性化有关的相对度等于系统的阶数，则非线性系统可完全地线性化，因而这一过程确实能得到一个满意的控制器（假定模型是精确的）。若相对度小于系统的阶数，则非线性系统只是部分地线性化，由此得到控制器是否真能使用取决于内动态子系统的稳定性。对内动态子系统稳定性的研究可以通过转而研究零动态子系统的稳定性而局部地简化。若零动态子系统不稳定，则必须寻找新的控制策略，这时输入—输出线性化所提供的简化仅在于变换后的动态方程是部分线性化的。零动态子系统第五十一页，共一百一十二页。在描述这些数学工具的时候，将把矢量函数称为上的一个矢量场，矢量场的平滑性是指函数具有要求的任意阶连续偏导数，以下将只关心平滑的矢量场。给定一个状态的平滑的标量函数，的梯度记为它是以为元素的一个行矢量。类似地，给定一个矢量场，其雅可比矩阵记为，它是一个以为元素的的矩阵。

数学知识第五十二页，共一百一十二页。定义4.1令为一个平滑的标量函数，为上的一个平滑的矢量场，则对的李导数是一个定义为的标量函数。李导数其实就是沿矢量方向导数。多重李导数可以递归地定义为类似地，如果是另一个矢量场，则标量函数为考虑下列单输出动态系统，不难看出李导数与动态系统之间的联系

李导数和李括号第五十三页，共一百一十二页。输出的时间导数为类似地，如果

是一个备选的李雅普诺夫函数，则它的时间导数可以写为。现在再看矢量场的另一个重要数学算符——李括号。定义4.2令与为上的两个矢量场，与的李括号是第三个矢量场，定义为。李括号通常写为。多重李括号可以递归地定义为李导数和李括号第五十四页，共一百一十二页。引理4.1李括号具有下列性质（1）双线性：其中、、、、、都是平滑的矢量场，而和为常标量。（2）斜交换性（或反对称性）：

（3）雅可比（Jacobi）恒等式：其中是的平滑标量函数。李导数和李括号第五十五页，共一百一十二页。可以递归地应用雅可比恒等式来获得一些有用的专门性恒等式。使用它两次得到对于高阶的李括号亦可以获得类似的一些恒等式。李导数和李括号第五十六页，共一百一十二页。可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐标变换概念的推广，其定义如下：定义4.3定义在区域上的函数：如果它是平滑的，它的逆存在并且平滑，则称之为微分同胚。如果区域是整个空间，则称为全局的微分同胚。全局的微分同胚很少见，因此常常要寻找局部的微分同胚，即仅在一个给定点的邻域内定义的变换。

引理4.2令为在中的区域内定义的一个平滑函数，如果雅可比矩阵在内一点非奇异，则在的一个子区域内为一个局部的微分同胚。微分同胚可用来将一个非线性系统变换成另一个用新的状态表示的非线性系统，它类似于在线性系统分析中通常所做的那样。微分同胚与状态变换第五十七页，共一百一十二页。考虑下列方程所描述的动态系统：定义新的状态为求的微分得由此不难得到新的状态方程其中用到了，而函数，，的定义是显然的。微分同胚与状态变换第五十八页，共一百一十二页。例4.1一个非全局性微分同胚考虑非线性矢量函数（4.1）它对所有的和都有定义，其雅可比矩阵为它在x=(0,0)的秩为2，根据引理4.2函数式(4.1)在原点周围定义了一个局部的微分同胚。事实上，这个微分同胚成立的区域为因为在此区域内存在且关于平滑。然而，在此区域之外，因为不唯一，它不能定义一个微分同胚。微分同胚与状态变换第五十九页，共一百一十二页。考虑一阶偏微分方程组（4.2）

其中与，为的已知标量函数，是一个未知函数。很明显，两个矢量和唯一地定义了这个偏微分方程组，如果它的解存在，则称这组矢量场为完全可积的。现在的问题是要确定这些方程在什么条件下可解，这个问题并不是事先就能一眼看出的，弗罗贝尼斯定理提供了一个比较简单的条件。弗罗贝尼斯定理第六十页，共一百一十二页。方程式（4.2）有解的条件是当且仅当存在标量函数与使得即与的李括号可以表示成与的线性组合，这个条件称为矢量场的对合条件，几何上这个条件就是说矢量在由矢量与所确定的平面内。弗罗贝尼斯定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件时是完全可积的。由于对合条件比较容易验证，故可用它来确定式（4.2）的可解性。定义4.4上的一组线性无关的矢量场是完全可积的，当且仅当存在n-m个标量函数满足一组偏微分方程（4.3）其中，而梯度是线性无关的。弗罗贝尼斯定理第六十一页，共一百一十二页。定义4.5线性无关的矢量场集合是对合的，当且仅当存在标量函数使（4.4）对合的意思就是如果从矢量场集合中任取一对来组成李括号，得到的矢量场可以表为原先集合中的矢量场的线性组合。需要说明的是：1.恒矢量场总是对合的。2.由单独一个矢量f组成的集合总是对合的。3.由定义4.5，检验矢量场集合是否对合等于就是检验下式是否对于全体和全体、都成立定理4.1(弗贝尼斯定理)令为一组线性无关的矢量场，当且仅当这个集合为对合时它是完全可积的。弗罗贝尼斯定理第六十二页，共一百一十二页。讨论用下列状态方程描写的单输入非线性系统的输入—状态线性化问题（5.1）其中和为平滑矢量场。研究的问题包括：这种系统在什么条件下能够通过状态与输入的变换来实现线性化，如何求出这种变换，以及如何基于这种反馈线性化来设计控制器。形如式（5.1）的系统称为对控制是线性的，或仿射的。如果非线性系统具有如下形式其中为可逆的标量函数，为任意函数，则简单的代换就能将上述动态方程变成式（5.1）的形式。于是可以先对

设计控制律，再对求逆来计算，即。单输入单输出系统的输入—状态线性化第六十三页，共一百一十二页。定义5.1一个形如式（5.1）的单输入非线性系统，其中与为上的平滑矢量场，如果在中存在一个区域，一个微分同胚，以及一个反馈控制律（5.2）使得新的状态变量和新的输入满足线性定常关系（5.3）其中输入—状态线性化定义第六十四页，共一百一十二页。则称该系统是输入—状态可线性化的。新状态称为线性化状态，新控制律式（5.2）称为线性化控制律。为了简化记号，不仅用来表示变换状态，而且表示微分同胚本身，即写为。变换后的动态方程中，矩阵与矢量具有特殊的形式，对应于线性伴随型。不过，局限于这种特殊的等效线性系统并不失一般性，因为任何线性能控系统均可通过状态变换而与伴随型式（5.3）等价。

从式（5.3）的标准形式容易看出，输入—状态线性化是输入—输出线性化当输出函数导致相对度为时的一种特殊情况，因此，输入—状态线性化与输入—输出线性化二者之间的关系可以总结如下：引理5.1一个阶非线性系统，当且仅当存在一个标量函数，使以为输出函数的输入—输出线性化具有相对度时是输入—状态可线性化的。

输入—状态线性化定义第六十五页，共一百一十二页。定理5.1对于非线性系统（5.1），其中和为平滑矢量场，当且仅当存在一个区域使得下列条件成立时，该非线性系统是输入—状态可线性化的：1.矢量场在内线性无关；2.集合在内是对合的。对上述条件作几点说明：1.第一个条件可以解释为非线性系统式（5.1）的能控性条件。对于线性系统，矢量场变成，因而其线性无关就等价于熟知的线性能控性矩阵的可逆性，条件1代表一个推广了的能控性条件。2.对合条件则不是那么直观，对于线性系统，该条件自然满足（此时矢量场为恒量），而对于非线性系统的情况，这一条件并不总是满足的。输入—状态线性化条件第六十六页，共一百一十二页。根据前面的讨论，非线性系统的输入一状态线性化可按下列步骤进行：1.对给定的系统的构造矢量场；2.检查能控性条件和对合性条件是否满足；3.如果两个条件均满足，则从方程式（5.4）求出第一个状态z1（导致相对（5.4）度为的输入—输出线性化的输出函数），即（5.5a）（5.5b）4.计算状态变换与输入变换式(5.2)，其中

（5.6）输入—状态线性化方法第六十七页，共一百一十二页。例5.1考虑右图所示机构的控制