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文档简介

3.7有限差分法

本节内容3.7.0有限差分法的基本思想

3.7.1有限差分方程的推导3.7.2差分方程的求解方法13.7.0有限差分法的基本思想

静态场问题

分布型问题：已知场源，求场或求位。边值问题

解析法数值法分离变量法（直接法）镜像法（间接法）有限差分法有限元法矩量法边界元法2

解析法特点：结果是电磁场在空间分布的解析表达式（精确解）

数值法特点：实际问题中由于边界过于复杂，无法用解析法求解，因此只能用数值计算方法；其所得结果为电磁场在空间离散点上的数值的集合（近似解）

有限差分法的基本思想将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。33.7.1有限差分方程的推导

一、问题引出

求解二维空间内，电位函数的空间分布以第一类边值问题为例（3.7.1）4正方形网格剖分法二、网格划分节点：步距：用表示节点处的电位值5三、差分方程推导利用二元函数的泰勒展开公式，可将于节点直接相邻的节点上的电位值表示为：（3.7.3）（3.7.4）（3.7.5）（3.7.6）6将式（3.7.3）与式（3.7.4）相加，并略去h2的更高阶项：（3.7.7）（3.7.8）（3.7.9）将式（3.7.5）与式（3.7.6）相加，并略去h2的更高阶项：将以上两式代入（3.7.1）：可得：节点（xi,yj）处的差分方程7四、差分方程意义83.7.2差分方程的求解1.简单迭代法先对场域内的节点赋予初始值，这里上标（0）表示第0次近似值，即初始值。然后再按照：（3.7.10）进行反复迭代。若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。（3.7.11）9三点注意：

初始值的赋予是任意的；赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值；

当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。101

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