弯曲变形和刚度

弯曲变形和刚度第一页，共一百六十七页，2022年，8月28日§10.1弯曲变形的基本概念第10章弯曲变形和刚度2第二页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.1弯曲变形的基本概念一、工程中的弯曲变形问题

工程中梁的变形和位移虽然都是弹性的，但设计中，对于结构或构件的弹性变形和位移都有一定的限制。弹性变形和位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。3第三页，共一百六十七页，2022年，8月28日

在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。二、梁弯曲后的挠度曲线§6.1弯曲变形的基本概念4第四页，共一百六十七页，2022年，8月28日

根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：二、梁弯曲后的挠度曲线§6.1弯曲变形的基本概念5第五页，共一百六十七页，2022年，8月28日qqxM凸曲线凹曲线注意

拐点处弯矩为零，曲率为零。挠度曲线曲率与弯矩的关系拐点注意

判断挠度曲线的形状时应注意梁的约束条件。弯矩为零弯矩为正弯矩为负判断挠度曲线的大致形状第六页，共一百六十七页，2022年，8月28日LLLmmmmmmmmmm分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？M图利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状第七页，共一百六十七页，2022年，8月28日LLLmmmmmmmm分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？斜直线mm直线直线M图利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状第八页，共一百六十七页，2022年，8月28日mmLLLmmmLLLmmm分析和讨论两种结构的内力相同吗？两种结构的挠度曲线相同吗？两种结构的挠度曲线之间有什么关系？两种结构的挠度曲线的曲率相同吗？利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状第九页，共一百六十七页，2022年，8月28日［例］试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDam10第十页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：作弯矩图：边界条件：（a）CaaABmDam/2m/211第十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：作弯矩图：边界条件：（b）CaaABqqa2/49qa2/3212第十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：作弯矩图：边界条件：（c）C3aaABqDqa2/28qa2/913第十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：作弯矩图：边界条件：（d）CaaABmDamm14第十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日

梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；

变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用表示；三、梁的挠度与转角§6.1弯曲变形的基本概念15第十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日

横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。在小变形情形下，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。

梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：三、梁的挠度与转角§6.1弯曲变形的基本概念16第十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日

在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：

在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w＝

w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。

三、梁的挠度与转角§6.1弯曲变形的基本概念17第十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日第6章弯曲变形和刚度§6.2挠曲线微分方程积分法18第十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日力学中的曲率公式数学中的曲率公式

小挠度微分方程

§6.2挠曲线微分方程积分法19第十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日小挠度情形下

对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。

小挠度微分方程

§6.2挠曲线微分方程积分法20第二十页，共一百六十七页，2022年，8月28日

小挠度微分方程

§6.2挠曲线微分方程积分法21第二十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日

采用向下的w坐标系，有

小挠度微分方程

§6.2挠曲线微分方程积分法22第二十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日

对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

小挠度微分方程

§6.2挠曲线微分方程积分法23第二十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日

积分常数的确定

§6.2挠曲线微分方程积分法24第二十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日1)支承条件：

2)连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的lFAB式中C、D为积分常数，由梁边界、连续条件确定。

积分常数的确定

§6.2挠曲线微分方程积分法25第二十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题

10.1

求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q

，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。§6.2挠曲线微分方程积分法26第二十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日

解：1．建立Oxw坐标系

建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。

2．建立梁的弯矩方程Oxw§6.2挠曲线微分方程积分法27第二十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：

解：2．建立梁的弯矩方程xM(x)FQ(x)§6.2挠曲线微分方程积分法28第二十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日3．

建立微分方程并积分Oxw

解：2．建立梁的弯矩方程将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得

§6.2挠曲线微分方程积分法29第二十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日3．

建立微分方程并积分Oxw积分后，得到

§6.2挠曲线微分方程积分法30第三十页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：4．

利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：

§6.2挠曲线微分方程积分法31第三十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：5．

确定挠度与转角方程§6.2挠曲线微分方程积分法32第三十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：6．

确定最大挠度与最大转角

从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。

于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：

§6.2挠曲线微分方程积分法33第三十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题

2

求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。

已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。§6.2挠曲线微分方程积分法34第三十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日

解：1．

确定梁约束力

因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

2．

分段建立梁的弯矩方程

在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。§6.2挠曲线微分方程积分法35第三十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日AB段

解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC段

于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为

§6.2挠曲线微分方程积分法36第三十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分§6.2挠曲线微分方程积分法37第三十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。§6.2挠曲线微分方程积分法38第三十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数

在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2§6.2挠曲线微分方程积分法39第三十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0§6.2挠曲线微分方程积分法40第四十页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角

将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

§6.2挠曲线微分方程积分法41第四十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程§6.2挠曲线微分方程积分法42第四十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日第6章弯曲变形和刚度§6.3叠加法43第四十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.3叠加法

在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。

基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。44第四十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日Cl/2l/2ABMeCl/2l/2ABFCl/2l/2ABqCl-bbABF§6.3叠加法--挠度表45第四十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日qlABFlABlABMe§6.3叠加法--挠度表46第四十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

§6.3叠加法47第四十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。CL/2L/2BF1F2F3Fn叠加法应用于多个载荷作用的情形§6.3叠加法48第四十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日

已知：简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC；B截面的转角B。例题

3§6.3叠加法49第四十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：1.将梁上的载荷变为三种简单的情形。§6.3叠加法50第五十页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：2.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。§6.3叠加法51第五十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加

将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

§6.3叠加法52第五十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日53§6.3叠加法53第五十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日54梁的总长为l§6.3叠加法54第五十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日55BB§6.3叠加法55第五十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形§6.3叠加法56第五十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日

对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形§6.3叠加法57第五十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC和转角C。例题

4§6.3叠加法58第五十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

§6.3叠加法59第五十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日

分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

§6.3叠加法60第六十页，共一百六十七页，2022年，8月28日变形后AB部分为曲线，但BC部分仍为直线。xM§6.3叠加法61第六十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

§6.3叠加法62第六十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：3．将简单载荷作用的结果叠加

§6.3叠加法63第六十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日依据：若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的变形不是相互独立的，那么，结构中某点的位移是各个部分在这一荷载作用下的变形在该点所引起的位移的叠加。二、逐段变形效应叠加法(逐段刚化法)64第六十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日FFFFFFFFFFFw3FFFFFFw2FFFFFFw1FLaABC例

求力

F作用点处的竖向位移

w。65第六十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日例3

结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价xwxwwPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxw66第六十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日6767第六十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日用叠加法求图示外伸梁的θC和vC，梁的抗弯刚度是EI。aBACaqaM=qa2P=qa解使用叠加积分法求转角和挠度。(a)将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)68第六十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日(b)而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)’BACaqaaqa(32)’BACaaaqa2/269第六十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日(c)应用挠度表确定三种下，梁c点处的转角和挠度。查表：70第七十页，共一百六十七页，2022年，8月28日而对第三种情形下二种载荷单独作用下，应用叠加法进行叠加。(d)应用叠加法，将三种情形下转角和挠度叠加。71第七十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日(已知AB段和BC段的长度都为a)72第七十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日ABCCC’B’73第七十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日7474第七十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日7575第七十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.4弯曲刚度计算第6章弯曲变形和刚度76第七十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。

梁的刚度条件

§6.4弯曲刚度计算77第七十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。

试求：根据刚度要求确定该轴的直径d。

B例题

5§6.4弯曲刚度计算78第七十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

B1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为§6.4弯曲刚度计算79第七十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日1．查表确定B处的转角

由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为B2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，有

§6.4弯曲刚度计算80第八十页，共一百六十七页，2022年，8月28日B2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，有

其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

§6.4弯曲刚度计算81第八十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.4弯曲刚度计算82第八十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.4弯曲刚度计算83第八十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.4弯曲刚度计算84第八十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.4弯曲刚度计算85第八十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6.5提高梁刚度的措施第6章弯曲变形和刚度86第八十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日提高梁弯曲刚度的措施：xyFL增大EI。减小跨度。改善梁的受力情况。增加支承。减小最大弯矩87第八十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx提高梁弯曲刚度的措施：88第八十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日

因此,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I外，主要是减小梁的长度l。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。

例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。提高梁弯曲刚度的措施：89第八十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日§10.6简单的静不定梁

第10章弯曲变形和刚度90第九十页，共一百六十七页，2022年，8月28日3-3=0lMAABFAyFAxq求解静不定梁示例§10.6简单的静不定梁

91第九十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日4-3=1lABMAFAyFAxFB求解静不定梁示例§10.6简单的静不定梁

92第九十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy§10.6简单的静不定梁

93第九十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题

10-7求:

梁的约束力。已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI，长度为l。BAl§10.6简单的静不定梁

94第九十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：1.列出平衡方程2.列出变形协调方程

FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB§10.6简单的静不定梁

95第九十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日3.列出物性关系2.列出变形协调方程

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB§10.6简单的静不定梁

96第九十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：4.综合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0联立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,BlAMAFAyFAxFB§10.6简单的静不定梁

97第九十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

结论与讨论98第九十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日

关于变形和位移的相互关系

99第九十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？

正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。

关于变形和位移的相互关系100第一百页，共一百六十七页，2022年，8月28日

BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什么会有位移？FPABC总体变形是微段变形累加的结果。

有位移不一定有变形。101第一百零一页，共一百六十七页，2022年，8月28日

关于梁的连续光滑曲线102第一百零二页，共一百六十七页，2022年，8月28日

由M

的方向确定轴线的凹凸性。

由约束性质及连续光滑性确定挠度曲线的大致形状及位置。

关于梁的连续光滑曲线

103第一百零三页，共一百六十七页，2022年，8月28日

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状104第一百零四页，共一百六十七页，2022年，8月28日105第一百零五页，共一百六十七页，2022年，8月28日知识就是力量培根离开教育人将一无是处康德课间休息106第一百零六页，共一百六十七页，2022年，8月28日曲率

二曲率及其计算公式一弧微分三曲率圆与曲率半径107第一百零七页，共一百六十七页，2022年，8月28日规定：一弧微分易看出：弧长是的单调增函数.108第一百零八页，共一百六十七页，2022年，8月28日下面求的导数与微分109第一百零九页，共一百六十七页，2022年，8月28日弧微分公式110第一百一十页，共一百六十七页，2022年，8月28日------描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。))1）弧段弯曲程度越大转角越大，2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。1曲率的定义)二、曲率及其计算公式111第一百一十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日)yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率112第一百一十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日例1直线的曲率处处为零.例2圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.113第一百一十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日2曲率的计算公式114第一百一十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：A点处梁的曲率半径为

,即弯曲变形长度为L，重量为P的等截面直梁，放置在水平刚性平面上。若在端点施力P/3上提，未提起部分仍保持与平面密合，试求提起部分的长度。115第一百一十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日qmaxfmax解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：

例1

图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。

yxFx116第一百一十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日例2求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：1、求支反力117第一百一十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xyFLa例3求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。118第一百一十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日应用位移边界条件求积分常数FLaxy119第一百一十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角FLaxy120第一百二十页，共一百六十七页，2022年，8月28日例4用积分法求图示梁（刚度为EI）的wA

、B

、A

及最大挠度。解：求支反力，列弯矩方程：建立微分方程并积分：用边界条件确定积分常数：Cl/2l/2ABMeFAxy121第一百二十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日例5用积分法求下列各梁（刚度为EI）的wA

、B

、A

及最大挠度。Cl/2l/2ABMeFAxy列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：122第一百二十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日[例6]用积分法求梁（刚度为EI）的

wA

和B

。解：求支反力，列弯矩方程：建立微分方程并积分：FBClaABFxy123第一百二十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日[例7]用积分法求梁（刚度为EI）的wA

和B

。弯曲变形用边界条件确定积分常数：FBClaABFxy124第一百二十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：FBClaABFxy125第一百二十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：由对称性，只考虑半跨梁ACD例8已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。126第一百二十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日由连续条件：由边界条件：由对称条件：10££xaq12126113=--qaEIax()22££axaq2222336311=--+-+qEIaxxaa[()127第一百二十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日10££xa22££axa12113611=--yqaEIaxx()223243224444=--+-+yqEIaxxaax[()]目录128第一百二十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日例1按叠加原理求A截面转角和C截面挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。qqFF=+AAABBBCaa129第一百二十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日qqFF=+AAABBB

Caa叠加130第一百三十页，共一百六十七页，2022年，8月28日例2按叠加原理求C截面挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加q00.5L0.5LxyCxdx131第一百三十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日例3用叠加法求梁（刚度为EI）的wB

和B

。解：Cl/2l/2ABFCl/2l/2ABFqCl/2l/2ABqBqwBq132第一百三十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日例4用叠加法求梁（刚度为EI）的wB

和B

。解：Cl/2l/2ABqCl/2l/2ABqCl/2l/2ABqB2wB2133第一百三十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日弯曲变形qCABl/2l/2例5用叠加法求梁（刚度为EI）的

wC

。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：134第一百三十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日例6用叠加法求梁（刚度为EI）的wA

和B

。解：将载荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABFCl/2l/2ABFl=+弯曲变形135第一百三十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日例6用叠加法求梁（刚度为EI）的wA

和B

。解：将载荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABF=Cl/2l/2ABFl+弯曲变形Cl/2l/2ABFFl/2136第一百三十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日例7用叠加法求梁（刚度为EI）的wA

和B

。解：qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaa=+弯曲变形wA1B1137第一百三十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日例7用叠加法求梁（刚度为EI）的wA

和B

。ACaBaaqCaABaa+=弯曲变形qa2/2qawA2B2wA3qAB138第一百三十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日例7用叠加法求梁（刚度为EI）的wA

和B

。qCaABqaaa+弯曲变形CaABqaaa=wA1B1ACaBaa+qa2/2wA2B2wA3qABqa139第一百三十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日例8已知：梁的刚度为EI，欲使wD

＝0，求：F

与

q

的关系及

wC

。解：F弯曲变形CaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF140第一百四十页，共一百六十七页，2022年，8月28日例8已知：梁的刚度为EI，欲使wD

＝0，求：F

与

q

的关系及

wC

。FCaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF141第一百四十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6-4梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[w]称为许用挠度。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；、确定许可载荷。弯曲变形142第一百四十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日L=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNB例9

一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C截面的[w]=110-5m,B截面的[]=0.001rad,试核此杆的刚度。=++=F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAM143第一百四十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日F2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单

载荷变形。弯曲变形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy144第一百四十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日F2BCa=++图1图2图3弯曲变形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy叠加求复杂载荷下的变形145第一百四十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日校核刚度弯曲变形146第一百四十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日[例10]已知：F=20KN，E=200GPa，规定A处的许可转角为：[]=0.50

。试确定轴的直径。解：用逐段刚化法：（设轴的直径为d）CABF20001000CABF20001000mF=+147第一百四十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日§6-6

简单超静定梁的求解方法处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解法：建立静定基相当系统

确定超静定次数，用反力代替多余约束得到原结构的静定基相当系统（基本结构）。=弯曲变形q0LABLq0MABAq0LFBABxy148第一百四十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日几何方程——变形协调方程+弯曲变形q0LFBAB=FBABq0AB物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、

变形等）149第一百四十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日弯曲变形q0LFBAB求解其它问题（反力、应力、变形等）MAFAFSM150第一百五十页，共一百六十七页，2022年，8月28日几何方程

——变形协调方程：解：建立静定基相当系统=例1

结构如图，求B点反力。LBC弯曲变形xyq0LABCq0LFBAB=F