抽样分布与估计课件

现代统计与SAS统计推断的过程样本总体样本统计量例如：样本均值、比例、方差总体均值、比例、方差等抽样分布对总体X和给定的，若存在，使，则称为X分布的上侧分位数或分位数上侧临介值，使的称为X分布的双侧分位数。特别地，若X的分布密度是关于轴对称的，则它的双侧分位数是使的例1设求上侧分位数及双侧分位数。解：上侧分位数分位数双侧分位数是：和例2设求上侧分位数及双侧分位数。解：上侧分位数双侧分位数分位数设又是的一个样本。则因为所以，也服从正态分布。证法2：由独立同分布的中心极限定理，又所以例3设是它的一个样本，求解：正态总体的样本均值的抽样分布自由度记作正态总体的样本方差的抽样分布设又是的一个样本。则统计量称服从自由度为的分布，有时也将记作分布——即：服从标准正态分布的相互独立的个随机变量的平方和服从分布。分布的性质设且它们相互独立，则求的分布。解：例4设是它的一个样本，样本均值的抽样分布与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体X例5设是它的一个样本，求的分布。解：使例5设是它的一个样本，求的分布。使解：例5设是它的一个样本，求的分布。使解：查表得：即：（上侧临介值：）设且与相互独立，则随机变量服从自由度为的分布，记作：正态总体的样本均值与标准差之比的抽样分布该分布的密度函数图形类似标准正态分布的密度函数的图形，越大越接近。例6设求上侧分位数及双侧分位数。解：上侧分位数双侧分位数正态总体的样本均值与标准差之比的抽样分布正态总体的样本均值与标准差之比的抽样分布设又是的一个样本。定理5.2则统计量：则统计量：设是的一个样本定理5.3是的一个样本。又与相互独立，其中：两个正态总体的样本方差之比的抽样分布例7若求的分布。解：因为其中可设是的一个样本。又与相互独立，是的一个样本例8设求统计量：的分布。解：如果随机变量的概率密度函数为其中且则称X服从分布，记作分布与函数（附录）称为函数。有如下性质：当时收敛，且当时有例2由此也可说函数是阶乘的推广。据说，这里正是一般定义的由来。分布的一个特殊情形是一指数分布。如果随机变量的概率密度函数为其中且则称X服从分布，记作很多重要分布是分布的特殊情形。分布的另一特殊情形是分布。抽样分布(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布(数学期望与方差)样本均值的抽样分布(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n样本比例的抽样分布总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

比例(proportion)容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似一种理论概率分布推断总体总体比例的理论基础 样本比例的抽样分布样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布(数学期望与方差)区间估计的图示X95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间(confidenceinterval)置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-)%区间包含了%的区间未包含1-aa/2a/2影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响z的大小5.3总体均值的区间估计正态总体且方差已知，或正态总体，方差未知、大样本正态总体，方差未知、小样本一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差总体均值的区间估计

(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)总体均值的区间估计(大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)总体均值在1-置信水平下的置信区间为重复抽样不重复抽样总体均值的区间估计(例题分析)【例】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%解：已知：=0.15cm，n=9，x=21.4，1-=95%即：21.4±0.098=（21.302，21.498），该批零件平均长度的置信区间为21.302cm~21.498cm之间总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克之总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36个投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁总体均值的区间估计

(正态总体、２未知、小样本)总体均值的区间估计(小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

未知小样本(n<30)使用t

分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为t分布

t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，t分布也逐渐趋于正态分布Xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)Z总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时5.4

总体比例的区间估计大样本重复抽样时的估计方法大样本不重复抽样时的估计方法总体比例的区间估计总体比例的区间估计1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量Ｚ3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为总体比例的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

估计总体均值时