弹性力学问题的建立和一般理论

弹性力学问题的建立和一般理论第一页，共四十页，2022年，8月28日

弹性静力学的问题构成了偏微分方程组的边值问题，根据应力或位移为求解的未知函数进行简化，得到基本方程。直接求解一般是十分困难的，还需要进一步简化为平面问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的数值解法奠定了基础。第一节基本方程及其边值问题第二节位移解法以位移表示的平衡微分方程第三节应力解法以应力表示的应变协调方程第四节弹性力学的一般原理第五节弹性力学的简单问题第二页，共四十页，2022年，8月28日

第一节弹性力学的基本方程及其边值问题

弹性力学基本方程包括平衡（运动）微分方程、几何方程和物理方程。平衡（运动）微分方程：第三页，共四十页，2022年，8月28日张量形式：第四页，共四十页，2022年，8月28日几何方程---应变和位移的关系：张量形式：第五页，共四十页，2022年，8月28日物理方程---应力和应变关系：（1）用应力表示应变的关系式或张量形式：第六页，共四十页，2022年，8月28日（2）用应变表示应力的关系式

或第七页，共四十页，2022年，8月28日空间问题的未知数应力分量6个应变分量6个位移分量3个应力边界条件：在全部边界上给定外力(面力)，应力应满足应力边界条件。在S边界上未知函数15个，方程数也为15个。位移和应力还应该满足单值条件求解方程所需的边界条件:第八页，共四十页，2022年，8月28日张量形式为:

在S边界上位移边界条件在全部边界上的已知位移。在S边界上或(3)混合边界条件既有应力边界，又有位移边界。第九页，共四十页，2022年，8月28日第二节位移法以位移表示的平衡微分方程

基本方程的解法上述如此庞大的偏微分方程组的求解是不方便的，通常消去部分未知数，分为位移法和力法。位移解法是以位移分量作为基本变量求解，故必须从基本方程中消去应力分量和应变分量，得到只包含位移分量的方程。位移法应用必须将边界用位移分量表示。第十页，共四十页，2022年，8月28日位移法：以位移为未知量代入物理方程

σ=Dε得到右式将几何方程第十一页，共四十页，2022年，8月28日再代入平衡方程，就得到位移形式的平衡方程，称为拉梅方程其中称为体积应变。是拉普拉斯算子第十二页，共四十页，2022年，8月28日拉梅方程还可以表示为：其中：，矢量形式的方程：其中：

第十三页，共四十页，2022年，8月28日第三节应力解法以应力表示的应变协调方程

力法：力法以应力分量为未知函数1、平衡方程仅含应力分量，但方程数只有3个，未知函数有六个，因此需要补充方程。2、应力解法归结为在给定的边界条件下求解平衡方程、物理方程和应变协调方程。

3、要将所有方程中的应变分量消去，使他们变成一组以应力分量表示的方程第十四页，共四十页，2022年，8月28日由应力求解位移还需补充一组方程:

应变协调方程:

第十五页，共四十页，2022年，8月28日补充方程可由位移应变方程中消去位移得到，称为变形协调条件，由此可得到相容方程。将二、三式分别对z,y求二阶导数再相加，得第十六页，共四十页，2022年，8月28日类似可以得到另外两个方程第十七页，共四十页，2022年，8月28日将右边后三式分别对x,y,z求导，后两式相加减去第一式，再对x求导，得第十八页，共四十页，2022年，8月28日

将上面得到的六个方程中的应变分量用应力分量代替，简化后得到密切尔相容方程类似可以得到另外两个方程第十九页，共四十页，2022年，8月28日其中第二十页，共四十页，2022年，8月28日

对于以上贝尔特拉米（Beltrami,E）--米歇尔（Michell,J.H.）方程。如体力为常数，则可化简为第二十一页，共四十页，2022年，8月28日1.以位移表示的平衡方程第二节弹性力学问题的基本解法

若采用位移法，则需变换平衡方程为以位移为未知量，在求解时不需要形变连续方程。如方程由本构关系于是，平衡方程变为：第二十二页，共四十页，2022年，8月28日

1.以位移表示的平衡方程第二节弹性力学问题的基本解法引入可得第二十三页，共四十页，2022年，8月28日1.以位移表示的平衡方程第二节弹性力学问题的基本解法如没有体力，则上式为齐次方程，令可得

在上式方程变换过程中，引进几何特性因素及物理特性，因此，是弹性理论问题的三个方面(力学、几何、物理)的综合结果。第二十四页，共四十页，2022年，8月28日1.以位移表示的平衡方程第二节弹性力学问题的基本解法边界条件作变换，得用位移表示的边界条件如下：其中

是函数u沿物体表面法线V的导数。第二十五页，共四十页，2022年，8月28日2.以应力表示的形变连续方程第二节弹性力学问题的基本解法

应力平衡方程以应力为未知量。现将形变连续方程加以变换，以应力分量代替形变分量：及应力平衡方程

对x积分，可得到以应力表示的形变连续方程。(参考王龙甫《弹性力学》)第二十六页，共四十页，2022年，8月28日2.以应力表示的形变连续方程第二节弹性力学问题的基本解法

在没有体积力或体积力为常量，则形变连续方程为：第二十七页，共四十页，2022年，8月28日3.以位移表示的平衡方程和以应力表示的形变连续方程的特性第二节弹性力学问题的基本解法

对于以位移表示的方程为：分别对x、y、z进行微分并相加可得：第二十八页，共四十页，2022年，8月28日3.以位移表示的平衡方程和以应力表示的形变连续方程的特性第二节弹性力学问题的基本解法

则：均满足拉普拉斯方程，因此是调和函数。同样可以推证:(自证)第二十九页，共四十页，2022年，8月28日3.以位移表示的平衡方程和以应力表示的形变连续方程的特性第二节弹性力学问题的基本解法

对形变连续方程，作拉普拉斯算子的运算，则有：(自证)都是双调和函数。

可见，在没有体力或体力为常量时，平衡方程和形变连续方程均可归结为双调和方程，基本未知函数第三十页，共四十页，2022年，8月28日

在没有体力的情况下，弹性力学的平衡方程和形变连续方程都是齐次的，如平衡方程的解已经求得，以后就只要去解形变连续方程，使求解过程得到简化。如果应力分量用包含x，y，z的函数来表达，称这些函数为应力函数。下面介绍两种应力函数。第三节平衡方程的齐次解应力函数取三个任意函数1.Maxwell应力函数用这些应力函数表达剪应力：第三十一页，共四十页，2022年，8月28日第三节平衡方程的齐次解应力函数代入平衡方程，并求积分得：1.Maxwell应力函数这里称为应力函数。第三十二页，共四十页，2022年，8月28日第三节平衡方程的齐次解应力函数以应力函数表示的协调方程为：1.Maxwell应力函数式中第三十三页，共四十页，2022年，8月28日第三节平衡方程的齐次解应力函数1.Maxwell应力函数此时，可解弹性力学中的平面问题，函数称为艾雷(Airy)应力函数，协调方程可化为：为双调和函数。第三十四页，共四十页，2022年，8月28日第三节平衡方程的齐次解应力函数2.马立拉(Morera)函数第三十五页，共四十页，2022年，8月28日第三节平衡方程的齐次解应力函数2.马立拉(Morera)函数以应力函数表示的协调方程可表示为：式中：第三十六页，共四十页，2022年，8月28日第四节弹性理论的一般原理1.局部影响原理(圣维南原理)2.迭加原理解为：设物体的表面力为及体积力，按方程求得的于是又设同一物体有表面力及体积力求得应力解为：表示的应力由于表面力和体积力所产生。

可证明，基本方程及边界条件是线性的，即迭加原理，其适用条件为：小变形情况。第三十七页，共四十页，2022年，8月28日第四节弹性理论的一般原理3.形变能定理

过去我们已讨论过形变能的变分形式，引入拉梅常数，并利用应力分量和形变分量表示，则有：讨论外力作功时，

表示在变形过程中，形变能等于产生弹性位移时，外力所作功的一半，即形变能定理。如逐渐施加载荷，则形变能等于外力所作的功。第三十八页，共四十页，2022年，8月28日第四节弹性理论的一般原理4.功的互等定理

设在弹性物体上作用着两个外力系