微积分空间直角坐标系与向量的概念

微积分空间直角坐标系与向量的概念第一页，共一百零五页，2022年，8月28日1.空间直角坐标系坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.面面面一、空间直角坐标系第二页，共一百零五页，2022年，8月28日在空间直角坐标系中,点与三元数组之间有一一对应关系.第三页，共一百零五页，2022年，8月28日各卦限中点的坐标情况:第四页，共一百零五页，2022年，8月28日2.两点间的距离第五页，共一百零五页，2022年，8月28日例1已知两点与,在轴上求一点,使解因为在轴上,所以设点的坐标为由题设,得解得所求点为第六页，共一百零五页，2022年，8月28日1.向量的概念向量的模:向量的大小(有向线段的长度),记作,,

单位向量:模为1的向量零向量:模为0的向量,记为0或向量的表示:或或二、向量的概念及其线性运算第七页，共一百零五页，2022年，8月28日2.向量的线性运算(1)向量的加法baa+baba+bdabca+b+c+d第八页，共一百零五页，2022年，8月28日向量的加法满足下列运算规律:（1）

（2）（3）（4）第九页，共一百零五页，2022年，8月28日(2)数与向量的乘积(数乘向量)定义2设是一个非零向量,是一个非零实数,则与的乘积仍是一个向量,记作,且

①②第十页，共一百零五页，2022年，8月28日数与向量的乘积满足下列运算规律:（1）

（2）

（3）

（4）

第十一页，共一百零五页，2022年，8月28日1.向径及其坐标表示

向径:在空间直角坐标系中,起点在原点,终点为的向量称为点的向径.记为或基本单位向量:称上式为向量的坐标表达式,记作三、向量的坐标表示第十二页，共一百零五页，2022年，8月28日2.向量的坐标表示式第十三页，共一百零五页，2022年，8月28日3.向量的模与方向余弦的坐标表示式第十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第十五页，共一百零五页，2022年，8月28日4.向量线性运算的坐标表示第十六页，共一百零五页，2022年，8月28日例2设,求的方向余弦.解

第十七页，共一百零五页，2022年，8月28日例3设向量的两个方向余弦为,又,求向量的坐标.解由得第十八页，共一百零五页，2022年，8月28日所以即或第十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第二节向量的数量积与向量积

一、向量的数量积

二、向量的向量积第二十页，共一百零五页，2022年，8月28日一、向量的数量积1.数量积的概念

定义1两向量的模及其夹角余弦的乘积，称为向量的数量积,记为

,即第二十一页，共一百零五页，2022年，8月28日说明:(1)向量的数量积是一个数量而不是向量；(3)(2)两非零向量

夹角的余弦(4)设

为两个非零向量,由定义1,有

第二十二页，共一百零五页，2022年，8月28日数量积满足如下运算规律：(1)交换律：

(2)结合律：

(其中为常数)

(3)分配律：

另外,由(2)(3)可得第二十三页，共一百零五页，2022年，8月28日2.数量积的坐标表示式

第二十四页，共一百零五页，2022年，8月28日３.两非零向量夹角余弦的坐标表示式

设均为非零向量,由两向量的数量积定义可知第二十五页，共一百零五页，2022年，8月28日解

例1已知

求第二十六页，共一百零五页，2022年，8月28日例2设力

作用在一质点上,质点由沿直线移动到

.求:(1)力所作的功;(2)力

与位移的夹角(力的单位为,位移的单位为

).第二十七页，共一百零五页，2022年，8月28日解因为

又因为

所以

所以,力

所作的功(J)第二十八页，共一百零五页，2022年，8月28日例3求在坐标面上与向量垂直的单位向量

解设所求向量为,因为它在坐标面上,所以,又因为

是单位向量且与

垂直,所以即第二十九页，共一百零五页，2022年，8月28日解之得

故所求向量或

第三十页，共一百零五页，2022年，8月28日二、向量的向量积1.向量积的概念

定义2两向量的向量积定义为记作;其中

是同时垂直于

和的单位向量,其方向按从

到的右手规则确定.第三十一页，共一百零五页，2022年，8月28日说明:(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;(4)(2)

的模等于以

为邻边的平行四边形的面积(3)设

为两个非零向量,则a∥b第三十二页，共一百零五页，2022年，8月28日向量积满足下列运算规律:

(1)反交换律：

(2)结合律:

(其中为常数)

(3)分配律:

第三十三页，共一百零五页，2022年，8月28日2.向量积的坐标表示式

第三十四页，共一百零五页，2022年，8月28日a∥对于两个非零向量第三十五页，共一百零五页，2022年，8月28日解

例4设求

第三十六页，共一百零五页，2022年，8月28日例5求垂直于和的单位向量.

解因为同时垂直和,所以

第三十七页，共一百零五页，2022年，8月28日==例6已知三角形的顶点是

求三角形的面积.解根据向量积的定义,可知三角形的面积第三十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三节平面与直线一、平面的方程二、直线的方程三、平面、直线的位置关系

第三十九页，共一百零五页，2022年，8月28日

1．平面的点法式方程法向量

因为

所以有

该方程称为平面的点法式方程

一、平面的方程第四十页，共一百零五页，2022年，8月28日解由平面方程的点法式得所求平面方程为例1求过点

且垂直于向量的平面方程即第四十一页，共一百零五页，2022年，8月28日且和平面

例2求过点

垂直的平面方程．

解因为在该平面上,已知平面的法向量故

所求平面的法向量与向量和都垂直第四十二页，共一百零五页，2022年，8月28日即

由公式得该平面的方程为第四十三页，共一百零五页，2022年，8月28日例3求过点和三点的平面方程

故

解所求平面的法向量与向量和都垂直，而第四十四页，共一百零五页，2022年，8月28日由公式得该平面方程为

即第四十五页，共一百零五页，2022年，8月28日从平面的点法式方程得令该方程称为平面的一般式方程.则———①2．平面的一般式方程第四十六页，共一百零五页，2022年，8月28日①

—

②得它表示过点且以为法向量的平面可见，任一三元一次方程①（不全为零）都表示一个平面.系数为平面法向量的坐标设是其任一组解，即———②第四十七页，共一百零五页，2022年，8月28日平面通过原点(图9.16)

图9.16(2)当时，

图9.17方程 的特殊情况:(1)当时，

该平面平行于轴（图9.17）

第四十八页，共一百零五页，2022年，8月28日图9.18(3)当时,

表示的平面通过轴(图9.18)

同理,方程

分别表示平行于轴和轴的平面;

分别表示通过

轴和

轴的平面.第四十九页，共一百零五页，2022年，8月28日(4)当

时，图9.19当时,该平面平行于坐标面(图9.19)

它表示坐标面

同理，方程和分别表示平行面和面的平面;方程和分别表示面和面.方程为第五十页，共一百零五页，2022年，8月28日

代入原方程并化简,得所求平面方程为例4求通过轴和点的平面方程.解因平面通过

轴,由以上讨论,可设其方程为

又点在平面上,因此即第五十一页，共一百零五页，2022年，8月28日解设所求平面方程为例5一平面经过三点，求此平面的方程.又因

三点都在平面上,所以有

后两个方程分别减去第一个方程,得第五十二页，共一百零五页，2022年，8月28日所以

代入第一个方程得即因为

不能同时为零,所以

,于是有即得所求平面方程为第五十三页，共一百零五页，2022年，8月28日3．平面的截距式方程

解此方程组得

设一平面过三点(图9.20),求此平面方程．图9.20

设平面方程为，因为

三点在该平面上,所以有第五十四页，共一百零五页，2022年，8月28日

即得所求平面方程为

此方程称为平面的截距式方程,其中

分别称为平面在

轴、

轴、

轴上的截距.

代入所设方程(因平面不过原点,)得第五十五页，共一百零五页，2022年，8月28日解方程两边同除以5,得平面的截距式方程为其中

例6将平面化为截距式方程．

得

由第五十六页，共一百零五页，2022年，8月28日1．直线的点向式方程与参数方程方向向量:向向量为,它的一个方

已知直线L上任意一点求直线L的方程（图9.21）．图9.21二、直线的方程第五十七页，共一百零五页，2022年，8月28日所以由两向量平行的充要条件可知

此方程组称为直线的点向式方程（或称标准方程）

设点

为直线L上任意一点则点在直线上的充要条件是∥因为注：当中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零．第五十八页，共一百零五页，2022年，8月28日记其比值为t,则有此式称为直线L的参数方程，t为参数．第五十九页，共一百零五页，2022年，8月28日例7求过点的直线方程．方向向量

故所求直线的方程为

上式也称为直线的两点式方程．

解第六十页，共一百零五页，2022年，8月28日解因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量s垂直于两平面的法向量及例8求过点且平行于两平面及

的直线方程.所以取第六十一页，共一百零五页，2022年，8月28日因此,所求直线方程为即

第六十二页，共一百零五页，2022年，8月28日2．直线的一般方程设平面的方程分别为：

则两个平面的交线L的方程为

此方程称直线的一般方程．第六十三页，共一百零五页，2022年，8月28日例10将直线方程

化为点向式方程及参数方程．

解先求直线上的一点不妨令,代入原方程组得

解得，即点在直线上第六十四页，共一百零五页，2022年，8月28日再求该直线的一个方向向量,因为分别垂直于平面及的法向量

所以可取所以直线的点向式方程为

第六十五页，共一百零五页，2022年，8月28日令上式为,可得已知直线的参数方程为

第六十六页，共一百零五页，2022年，8月28日1．平面与平面的位置关系

两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).法向量

三、平面、直线的位置关系第六十七页，共一百零五页，2022年，8月28日因此与的夹角的余弦为：

特别地

∥∥第六十八页，共一百零五页，2022年，8月28日例11求两平面

的夹角．两平面的法向量分别为

所以两平面的夹角的余弦为

所以两平面夹角

解第六十九页，共一百零五页，2022年，8月28日2．直线与直线的位置关系

两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).方向向量第七十页，共一百零五页，2022年，8月28日因此与的夹角的余弦为

∥∥第七十一页，共一百零五页，2022年，8月28日例12求直线

和直线

的夹角．的方向向量分别为解则两直线与的夹角的余弦为

所以两直线的夹角

第七十二页，共一百零五页，2022年，8月28日3．直线与平面的位置关系

直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角

设直线与平面的垂直线的夹角为，与的夹角为,则.求直线与平面夹角．设直线的方向向量为

,平面的法向量为第七十三页，共一百零五页，2022年，8月28日由两向量夹角的余弦公式,有

∥

∥第七十四页，共一百零五页，2022年，8月28日例13已知直线和平面

求与的夹角．的方向向量为

解第七十五页，共一百零五页，2022年，8月28日与的垂线的夹角的余弦为因此，与的夹角

第七十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第四节曲面与空间曲线一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、几种常见的二次曲面四、空间曲线第七十七页，共一百零五页，2022年，8月28日定义:如果曲面上每一点的坐标都满足方程而不在曲面上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程为曲面的方程,而称曲面为此方程的图形.图9.23一、曲面方程的概念第七十八页，共一百零五页，2022年，8月28日图9.24例1建立球心在点,半径为的球面方程.解设是球面上的任一点,则而所以这就是球心在点,半径为的球面方程.当时,得球心在原点,半径为的球面方程为第七十九页，共一百零五页，2022年，8月28日柱面:直线沿定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线称为柱面的准线,动直线称为柱面的母线.第八十页，共一百零五页，2022年，8月28日例2建立母线平行于轴的柱面方程.图9.26解设准线是面上的一条曲线,是柱面上的任意一点.过点的母线与面的交点一定在准线上,点的坐标为,不论点的竖坐标取何值,它的横坐标和纵坐标都满足方程,因此所求柱面方程为第八十一页，共一百零五页，2022年，8月28日在空间直角坐标系中,方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.类似地,方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.第八十二页，共一百零五页，2022年，8月28日用面和面去截曲面,其截痕为

它们都是双曲线.

也表示单叶双曲面,中心轴分别是轴、轴.第八十三页，共一百零五页，2022年，8月28日旋转曲面:平面曲线绕同一平面上定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线称为旋转轴.图9.31二、旋转曲面第八十四页，共一百零五页，2022年，8月28日例3建立面上一条曲线绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.因为所以又因为在曲线上,所以解设为旋转曲面上任一点,过点作平面垂直于轴,交轴于点交曲线于点则所以旋转曲面方程为第八十五页，共一百零五页，2022年，8月28日同理,曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为面上的曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为绕轴旋转的旋转曲面方程为面上的曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为绕轴旋转的旋转曲面方程为第八十六页，共一百零五页，2022年，8月28日例4将坐标面上的直线绕轴旋转一周,试求所得旋转曲面方程.解将保持不变,换成得即所求旋转曲面方程为图9.32由上时表示的曲面称为圆锥面.点称为圆锥的顶点.第八十七页，共一百零五页，2022年，8月28日二次曲面:在空间直角坐标系中,若是二次方程,则它的图形称为二次曲面.截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为截痕法.

三、几种常见的曲面第八十八页，共一百零五页，2022年，8月28日1.椭球面

用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:图9.33这些交线都是椭圆.第八十九页，共一百零五页，2022年，8月28日用平行于面的平面截椭球面,交线为是平面上的椭圆.用平行其它两个坐标面的平面去截椭球面,分析的结果类似.

第九十页，共一百零五页，2022年，8月28日2.单叶双曲面

用三个坐标面截曲面,所得截线分别为

图9.34第九十一页，共一百零五页，2022年，8月28日3.双叶双曲面

图9.35用和面截曲面,所得截线分别为它们都是以轴为实轴,虚轴分别为轴和轴的双曲线.

第九十二页，共一百零五页，2022年，8月28日用平行于面的平面截曲面,得当时,其截痕是一椭圆;

当时,其截痕缩为一点和;当时,没有图形.也表示双叶双曲面.第九十三页，共一百零五页，2022年，8月28日4.椭圆抛物面图9.36用和面截曲面,所得截线分别为它们都是开口向上的抛物线.

第九十四页，共一百零五页，2022年，8月28日用平面截曲面,得当时,没有图形;当时,相交于一点;当时,所得截线为

第九十五页，共一百零五页，2022年，8月28日5.双曲抛物面

用三个坐标面截曲面,所得截线分别为

它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线.图9.37第九十