第4节超静定结构计算

2008年广西人才小高地申报求解超静定问题的一般方法力法位移法力矩分配法超静定结构特性第4节超静定结构计算超静定结构必须同时考虑“变形协调条件”和“平衡条件”才能求解；力法：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，主要应解决变形协调问题。位移法：以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上进行分析，主要需解决平衡问题。1.求解超静定问题的一般方法本章介绍的主要方法：力法、位移法(含弯矩分配法)。超静定次数的确定超静定次数——多余约束的个数，力法的未知量数，也就是使之成为静定结构需要去掉的约束个数；根据结构的几何组成判断。3个3个1个1个1个2个6次超静定5次超静定2、力法基本原理例1.力法求解图示单跨梁。基本体系转化AB基本结构

未知力的位移“荷载”的位移消除基本体系与原结构的差别：力法典型方程:原结构使B点竖向位移为0+力法典型方程——实质是变形协调条件；即基本体系的位移等于原结构的已知位移。它消除了基本体系与原结构的差别。2、力法基本原理或：位移系数叠加作弯矩图解方程得:力法基本思路解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。例.用力法求解图示结构基本体系解法1:有两个多于约束解除约束代以未知力基本未知力力法典型方程：力法应用EI1a2EI2aPABC原结构作单位和荷载弯矩图求各系数项：解力法方程并作弯矩图把系数项代入力法方程并求解仅与刚度相对值有关由叠加原理求叠加的只是控制截面的弯矩，然后根据规律连线。X1aX2aPX1=111Pa/4PX2=11解法2:基本体系EI1a2EI2aPABC原结构力法应用作单位和荷载弯矩图求各系数项：X1=111Pa/4PX2=11解力法方程并作弯矩图把系数项代入力法方程并求解由叠加原理力法基本结构的选择由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。最优的体系：弯矩图简单，使系数项为零。力法基本结构选择选择最优的基本体系。I1I2ll(A)X1X2(B)X1X2(D)X1X2(C)X1X2X1X2P(C)PX1X2X3PX1X2X3X2X3X1PPX1X2X3(A)(B)(D)原结构选择可以采用的基本体系。瞬变体系，不能作为基本体系基本体系1原结构选择图示基本体系相应的力法方程。X1X2X2X1基本体系2力法习题训练PI1I2I2lllX1I1PI1I2I2I1X1=1I1I2I2I1I2增加,减小，图示结构当I1不变，I2增大时，则支座反力X1（绝对值）将如何变化。0.5Pll0.5l0.5l不变力法习题训练PI1I2I2lllX1I1PI1I2I2I1X1=1I1I2I2I1I2增加,减小，图示结构当I1不变，I2增大时，则支座反力X1（绝对值）将如何变化。0.5Pl增加ll力法习题训练I1bI1I2lI1bI1I2X1I1bI1I2X1=10无内力图示结构下沉b，判断结构内力如何。温度及支座沉降作用时，超静定结构的内力仅由多余约束反力提供。基本体系力法习题训练写出图示结构及其力法基本体系的力法方程。EIlEIEIEAlPX1X1P基本体系力法方程：X1X1链杆伸长量：力法习题训练△1就是链杆长度的改变量链杆伸长△1就会与X1方向相反CC1C1C1C1（A）（B）（C）（D）M图超静定结构的位移计算选择虚设单位力状态，使位移△CH计算最简单。计算超静定结构的位移，等于计算基本体系的位移；虚设的单位力加在力法的基本结构上，单位力状态不唯一，但应尽可能使弯矩图简单。虚功原理——单位荷载法Px1x22008年广西人才小高地申报对称结构的特点对称结构的简化3.对称性应用一、对称性结构的特性对称结构结构的几何形状、支承情况以及刚度三者必须同时满足对称条件。几何对称支承对称刚度对称对称结构:

几何形状、支承情况、刚度分布绕某轴对折后完全重合的结构.对称荷载:

绕对称轴对折后荷载完全重合，且方向相同。反对称荷载:绕对称轴对折后荷载完全重合,但方向相反。对称结构在正对称荷载作用下：支座反力、内力、变形、位移都正对称；弯矩图和轴力图正对称,剪力图反对称；对称结构在反对称荷载作用下：支座反力、内力、变形、位移都反对称；弯矩图和轴力图反对称,剪力图正对称；一、对称性结构的特性PPAPEIEIEIA对称荷载作用下:等效半结构:PPP对称轴相交截面有正对称位移:有正对称内力:无反对称位移:无反对称内力:半结构只要保证对称轴相交截面的力和位移即可。用相应的支座来代替。一、对称性结构的特性PEIEI该半结构用位移法求解只有一个未知量。APP反对称荷载作用下:PEIEIEIAPPP对称轴相交截面有反对称位移:有反对称内力:无正对称位移:无反对称内力:一、对称性结构的特性等效半结构:PEIEI有位移就没有相应的约束力。０位移就一定施加了相应的约束力。该半结构用力法求解只有一个未知量。PPEIEIEIPEIAB对称荷载作用下:对称轴相交截面AB杆轴向变形忽略不计Ｂ端固定支座，无位移，因而ＡＢ杆不发生任何变形，弯矩剪力均为０，可以去掉不分析。支座加在Ａ点。截面Ａ的所用力都存在。与对称轴重合的杆无弯矩，半结构中往往去掉。等效半结构:一、对称性结构的特性PEIEIEIPEIEIAB反对称荷载作用下:对称轴相交截面AB杆轴向变形忽略不计ＡＢ杆存在侧移，就一定存在弯矩，因而ＡＢ杆必须分析。只需切结构的一半分析，与对称轴重合的杆刚度削减一半。一、对称性结构的特性PEI/2EIEI等效半结构:取半结构分析取对称的基本体系：当为一般荷载作用时，可分解一组正对称荷载和一组反对称荷载的叠加，分别利用对称性计算，最后内力叠加即可；二、对称结构简化2PPBAC2EI3EI3EIEIlPllPPPBAC2EI3EI3EIEIPPBAC2EI3EI3EIEIPPPPEIEIEIBAEI3EIEIBA3EIP/2EIP/2Pl/2原结构对称对称荷载作用无弯矩反对称荷载作用半结构1/4结构求图示结构BA杆B端弯矩MBAEI3EI3EIEIEIEIhhlAP2PPEI3EI3EIEIEIEIAP/2PP/２EI3EI3EIEIEIEIAP/2PPP/２EI3EI3EIEIAP/2PX1X2结构对称对称荷载无弯矩反对称荷载半结构最少2个未知量确定图示结构用力法求解最少未知量数目要计算+llEI=常数PlPP/2P/2P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4X1X1确定图示结构用力法求解最少未知量数目对称反对称取对称基本体系对称荷载作用反对称荷载作用2008年广西人才小高地申报位移法基本未知量位移法基本思路形常数和载常数位移法应用4.位移法一、位移法基本未知量基本假定：弹性小变形，轴向变形忽略不计（除链杆外），认为杆长不变，仍用两点的直线距离代替；基本未知量：结点位移（包括线位移和转角位移）；位移法最少的未知量：只包含独立的节点位移；独立结点位移：不包含支座位移及铰结点的转角位移；ABDCP位移法基本未知量确定角位移：每一刚结点都有一个转角位移；角位移数等于刚结点的总数；转角位移对应的附加约束是刚臂。线位移：线位移的总数等于使每个独立结点不能移动需要添加的链杆总数；线位移的总数等于对应铰接体系的自由度。线位移对应的附加约束是链杆。一个链杆往往能约束一根梁式杆的轴向位移。EI=∞6个7个ABCD如果AB杆EI=∞？4个未知量EA=∞如果AB杆EA=∞？6个未知量ABCD3个EI=∞8个如果AB杆EI=∞？6个未知量判断位移法基本未知量ABACDBEACDBE2个转角位移铰接体系几何不变自由度0无线位移判断位移法基本未知量3个转角位移铰接体系2个自由度2个线位移附加约束1附加约束2原结构1）基本未知量：基本体系二、位移法基本思路位移法求解图示刚架。ABDCPABDCPABDC基本结构基本体系附加约束的反力：ABDCPABDC基本体系PABDC荷载作用△2作用=++二、位移法基本思路ABDC△1作用由此可得位移法基本方程：二、位移法基本思路基本体系PABDC原结构ABDCP消除基本体系与原结构的差异：即使附加约束上的反力为0.实质是平衡方程力矩方程水平投影方程位移法基本要点基本未知量：独立的节点位移（不包含支座结点位移及铰结点转角位移）。基本方程：节点位移对应的平衡方程（力矩方程或投影方程）；位移法的适用范围：任意结构（静定和超静定结构）。基本体系把结构分划为若干独立的超静定梁，基本方程把它们组合在一起。等截面直杆的刚度方程（形常数和载常数）是关键。三、形常数和载常数形常数：单位位移作用产生的杆端力（杆端弯矩和杆端剪力）；也称为杆的刚度系数，即使杆端产生单位位移所需施加的杆端力。杆端弯矩即为杆的转动刚度，杆端剪力即为抗侧刚度；可根据力法计算；最简单的办法是直接记忆；用来计算给定位移作用下的杆端力。载常数：荷载作用下产生的杆端力（支座反力）；可根据力法计算；最简单的办法也是直接记忆。1111弯矩图等截面直杆的形常数转角位移对应的转动刚度：近端4i，远端2i；侧移对应的转动刚度：6i/l。剪力可根据平衡方程来确定；方向根据位移方向来判断。1.两端固定梁弯矩图等截面直杆的形常数转角位移对应的转动刚度为：3i和0

；侧移对应的转动刚度：3i/l和0剪力可根据平衡方程来确定；方向根据位移方向来判断。1112.一端固定一端简支梁1弯矩图转角位移对应的转动刚度：i和-i

；侧移对应的弯矩形常数均为：0。剪力均为Q=0；方向根据位移方向来判断。3.一端固定一端定向支座梁等截面直杆的形常数弯矩图等截面直杆的载常数Pqqq受力图等截面直杆的刚度方程刚度方程：利用形常数和载常数和叠加以两端都是刚结点的杆为例，基本未知量为杆两端的转角和侧移；位移法基本结构为两端固定梁。A'B'qP原结构考虑结点C平衡：基本体系四、位移法应用位移法求解图示刚架。ABDCPPABDCllEI=常量ABDCPMP图CDP/2C考虑CD杆的平衡：ABDCABDC△2作用△1作用考虑结点C平衡：D6i/lC考虑CD杆的平衡：CCDC四、位移法应用结点转动刚度结构的抗侧刚度把各系数项代入位移法方程：解方程最后弯矩：由叠加原理四、位移法应用用位移法计算图示刚架,并作弯矩图.EI=常数.4m四、位移法应用3030307040M图（kN.m）叠加法计算控制截面弯矩基本未知量求刚度系数BA2EI2EIEIlllCDPEI=∞EIEIEIPEA=∞EIEIEI四、位移法应用k11是三根柱子的抗侧刚度之和。k11是结点B的转动刚度，等于B点所在三个杆端转动刚度之和。qEIEI2EIlllAql2/6四、位移法应用用位移法计算图示结构。（逆时针）位移法基本未知量A点转角ql2/3ql2/6ql2/14ql2/13BCDEIEIABCql2/26基本方程：ql2/8lACDBEIEIEIEIPllACDBEIEIEIEIP无线位移，仅有转角位移。基本结构在荷载作用下，无弯矩。方程自由项均为0.基本方程求得转角位移必为0。结构无弯矩和剪力，仅有轴力。四、位移法应用未知量：C、D点的转角MP=02008年广西人才小高