第4讲单位根过程

第4讲单位根检验

在ARMA模型中使用自相关函数递减判断序列平稳性，有时不准确，故正式的计量检验很必要。单位根检验是上世纪60~70年代由Dicky和Fuller提出的，至今已有多种检验方法可供我们使用，此类研究已成为计量经济学的热点问题之一。试问：我国1980年1月~2006年6月间的CPI通货膨胀率，是否弱平稳（理论上应是）？上下波动较大，显示不平稳。需严格的统计检验。1、单位根的定义考虑一个简单的AR(1)模型，即——（3.1）

其中，是方差为σ2的白噪声过程。因为可逆的ARMA模型总可写成AR模型，故研究AR模型有代表性。DF检验只考虑AR(1)，之后的ADF检验会把AR(1)拓展到AR(p)。注意：在DF检验过程中，一般把（3.1）先改写成其中，，DF检验共有以下三种情况：

分别为随机游走过程、带截距和既带截距又带时间趋势的随机游走过程。情况I实际不常见，使用价值不大，只是理论研究的兴趣。

注意：三种对应的原假设相同，即待检验序列为含有单位根的非平稳序列，而I和II的对立假设是平稳序列，III对应的则是趋势平稳序列。

注意：I、II、III至于选择哪种情况，要依据考察数据的特征，显然III是最一般的情况.

如果无法确定是否存在时间趋势，就可以分别选用情况II和III进行检验，然而如果确信无时间趋势，就可直接选用II。另外，虽然对二非平稳（甚至是严重非平稳）序列建立回归模型，会破坏经典回归的基础和有效性，但不一定能发现问题。可能建立的模型的t，F以及R2都很正常，模型的显著性和拟合优度都很好，这就产生了所谓的“伪回归”。事实上，大多数时序非平稳的原因都是因为包含单位根过程，因此，现代计量经济分析主要通过检验是否存在单位根，来检验序列的平稳性。

例1：建年度文件：1952~1996，调入book5.5中的y（我国社会商品零售总额）。再调入book12中的一个数据，起名y1（我国商品的物价指数）。其时序图分别为：我国社会商品零售总额我国商品的物价指数

表面看y和y1的图像很像，实际上，指数不可能无止境上升，因为如果把97、98年及以后的数据放入，就会发现从97年以后开始下滑。为此，需讨论趋势类型：对于

，其原假设H0：

；H1：

为检验H0，构造统计量：注意：严格来讲，该统计量并不是标准的t分布，它服从非标准和非对称的极限分布，记为

。为此，DF通过不断模拟，依显著性水平和样本容量得到一个临界值。

因分布偏态且不对称，可根据计算出的统计量与得到的临界值比较。(1)若统计量实际计算值小于临界值，则拒绝H0，即序列是平稳过程；(2)若大于临界值，则接受H0，说明序列是单位根过程。4、单位根检验

注意：

（1）选Level/None（3）在MaximumLags处填写0。则：接例1：建年度文件：1952~1996，调入book12中的一个数据，起名y1（我国商品的物价指数）。统计量值

为

6.654372，而对应1%、5%、10%的临界值分别为-2.618579、-1.948495、-1.612135，显然t值大于所有临界值，所以，接受原假设，即认为原序列y1是一个单位根过程。1）y1带常数项：2）y1既带趋势也带常数项：显然，上述二情况均为

大于临界值，即接受原假设，说明序列是一个单位根过程。下面对y1一阶差分和二阶差分：

一阶差分情况：1）一阶差分选None易见，在水平10%下，-1.759193<-1.612036，通过检验，即平稳。2）一阶差分选Constant显然，

值都大于临界值，表明各水平下都是单位根过程。同样，

值都大于临界值，表明各水平下也都是单位根过程。3）一阶差分选Trendandintercept

二阶差分情况：1）二阶差分选None可见，二阶差分均平稳。但是，二阶差分序列做模型会更麻烦。在两边同减

得：

定义

，则变成检验，这是一阶自相关的情况。

如果存在高阶自相关，比如AR（p），其所有的系数均应小于1，它的特征方程

=0的根均应在单位园外。即本来有p个根，有一个是单位根（即在单位园上），p-1个在单位园外，这样就把一阶自相关的情况拓展到p阶高阶自相关，这就是DF检验的扩展——ADF检验。试想：对上例，物价指数仅仅是一阶自相关吗？为此，选一阶差分和None以及最大滞后阶数为1。得如下表：可见，已平稳。故需做AR(2)。下面做一个截面的深交所1998年246个交易日的数据。

例2：建立文件：246个数据，导入book10中的5个数据，x1、x2、x3、x4、x5。先分析一下x4（工业类股指），做单位根检验：

发现原序列是一个单位根过程。

但若选择一阶差分，则不论是None、Intercept还是Trendandintercept都通过检验，即平稳。

单位根检验为考察序列有无趋势又提供了一个工具，这个工具比自相关更严格。

且利用单位根检验可进一步确认序列是否有趋势，而且可把趋势类型区分开。

例3：月度数据文件：1981：01到1997：12，调入book消费品指数中的1个数据y。对y，选None，最大滞后阶数为0，输出下表：可见，检验未通过。

试问：要差分吗？

但实际上，y无趋势（如图），注意：

（1）若对原序列y，选None没通过检验，此时应先考虑带常数项或趋势项，若能通过检验，就不需要差分。因为如果差分，虽通过检验平稳，但模型会复杂化。故不能盲目差分。（2）加常数项平稳，说明可做AR或MA模型，即AR模型中含有一个常数项，即模型为

。

试问：前面做ARMA或ARIMA模型时，为什么没加常数项？

（3）在做一般模型时：（随机游走）（1）

（AR）（2）

（截面回归）（3）

需要注意的是：上述模型均要求误差项

为i.i.d。否则，需调整模型。调整方法如下：

1）若破坏独立性，可调整主模型对于（3），导致DW检验没通过或自相关的原因可能是：模型遗漏了重要的解释变量，加入遗漏的变量即可。对于（2）类似，可考虑增加AR项，甚至加进MA项。

2）若破坏同方差，调整主模型可能无效，这时需对残差建模。——以上是模型调整的两个思路。同例2：建立文件：246个数据，导入book10中的5个数据，x1、x2、x3、x4、x5。

x4——深交所1998年246个交易日工业类收盘价指数。

x4的时序图：回顾：上面做单位根检验时，它是一阶差分平稳。为此，最好先取对数再差分（即变成对数收益），输入：genrly=log(x4)genre=ly-ly(-1)则e的时序图为：可见，已经平稳。但是，取对数并差分后的序列是否独立？

其自相关如下表：可见，不相关程度p值比较高。

注意：i.i.d不仅考虑它有无线性关系，还要考虑有无非线性关系。为此，输入：genre2=e^2。