第九讲：二元随机变量及其分布

3、正态分布（P35）

的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，说明随机变量取值越分散越小，曲线越陡峻，说明随机变量取值越集中。正态分布也称为高斯(Gauss)分布定义：设是定义在随机变量的一切可能值的集合上的函数。如果对于的每一个可能取值，有另一个随机变量的相应取值。则称为的函数，记为。

随机变量函数的分布或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地若随机变量X的分布列为：XPk而随机变量Y是X的函数，Y=g(X)，则Y的分布列为：PkY注：只有当是x的单调可导函数时，才可用以上公式。要求：

（1）掌握一般正态分布与标准正态分布的关系，学会将一般正态分布的概率问题化为标准正态分布来进行计算。

（2）明确随机变量函数的概念。（3）掌握由已知的随机变量的分布求出与之有关的随机变量的分布。重点是离散型随机变量函数的分布。到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.一、多元（维）随机变量定义：本章只讨论二维随机变量，它的很多结果不难推到多元的情况。第九讲二元随机变量及其分布二.二元（维）随机变量的（联合）分布函数（P48）

定义(P27)：设是随机变量，对任意实数，事件的概率称为随机变量的分布函数。记为，即XY几何意义(P49):{,}二元联合分布函数F(x,y)的性质（P49）（1）关于x或y非降（3）关于x和y均右连续（2）（4）对,有(区域演示图见下页)注意教材P49图形中

下方和左侧应为虚线例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)解:二元随机变量的边际（边缘）分布函数（P48）三.二元离散型随机变量的分布（P50）

定义(P50)：若二元随机变量(X,Y)只能取有限或可列组值(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为

二元离散型随机变量。若二元离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，

(i,j＝1,2,…)，为二元离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.

可记为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，1.联合分布律

Yy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................联合分布律的性质(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)Xx1x2xi二元离散型随机变量的分布律也可列表如下（P51）：联合分布列非负性归一性此部分要求：

明确二元离散型随机变量取哪些值以及取各组值的概率，即要能写出其联合分布列。例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010若（X，Y）的分布函数为F（x,y）求F(-1,1);F(0,1);F(0.5,0.8)的值例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010若只求X或Y的分布律？关于X的分布律为：X 1 0 P2/5 3/5 关于Y的分布律为：Y 1 0 P2/5 3/5P(x=1)=P(x=1,y=1或x=1,y=0)=P(x=1,y=1)+P(x=1,y=0)=1/10+3/10=2/5定义（P52）若随机变量X与Y的联合分布律为

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…则称P{X＝xi}＝＝，

i＝1,2,…为(X,Y)关于X的边际分布律；P{Y＝yj}＝＝，j＝1,2,…为(X,Y)关于Y的边际分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。2.边际分布律（边缘分布）（P52）

若二元离散型随机变量的联合分布律如下：........................

Yy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...Xx1x2xi则关于随机变量X的边缘分布为：为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;定义（P53）：若对固定的j,>0,则称同理，对固定的i,>0,称为X＝xi的条件下，Y的条件分布律;3、条件分布（P53）

Yy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................Xx1x2xi若二元离散型随机变量的联合分布律如下：？此部分要求：

已知二元离散型随机变量的联合分布，要能求出其边际分布和条件分布。-101210.050.10.10.0520.050.050.10.0530.050.20.10.10.30.250.450.30.20.350.150.2