第4章无限长脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计2

第4章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计4.1数字滤波器的基本概念4.2模拟滤波器的设计4.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器4.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器4.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计4.1数字滤波器的基本概念

数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的线性移不变系统、数字器件或程序。数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。

数字滤波器是对信号实现滤波的线性时不变系统（数字系统或时域离散系统）。x(n)y(n)h(n)1.数字滤波器的滤波原理

输入序列x(n)，通过单位抽样响应为h(n)的线性时不变系统（数字滤波器）后，其输出响应y(n)为：将上式两边经过傅里叶变换，可得：

式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱，H(ejω)是系统的频率响应。

如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号经过滤波后在这些频率点上的幅值被抑制。因此，可以按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合要求，这是滤波器的滤波原理。

上式可以理解为：输入序列原频谱为X(ejω)，经过数字滤波器（频率响应为H(ejω)）滤波后，频谱变为X(ejω)H(ejω)。2.数字滤波器的分类

经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。（1）数字滤波器总体上可分为两大类：

经典滤波器和现代滤波器。用经典滤波器从噪声中提取信号输入信号x(t)中含有干扰，其时域波形。x(t)频谱图，可见信号和干扰的频带互不重叠低通滤波器滤除干扰,得到纯信号

但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，为了最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。本课程仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，而现代滤波器属于随机信号处理范畴。（2）经典数字滤波器从幅度特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器（选频滤波器）。理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性保留介于低频和高频之间的频率分量滤除介于低频和高频之间的频率分量

数字滤波器的频率响应函数H(ejω)都是以2π为周期的，低通滤波器的通频带中心位于2π的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于π的奇数倍处，与模拟滤波器不同。一般在数字频率的主值区[-π,π]描述数字滤波器的频率响应特性。这种幅度特性为理想矩形的滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的。只能在误差容限内逼近理想滤波器，即按照某些逼近指标来设计滤波器。（3）数字滤波器从单位脉冲响应长度或者从实现的网络结构分类，可以分成无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：

两式分别是N阶IIR数字滤波器系统函数和N-1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种数字滤波器的设计方法有很大区别，分成两章分别进行学习。（4）根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器。

滤波器可用于信号过滤、信号分离、信道均衡、信号检测、参数估计、波形形成和调制解调等。所以学习滤波器的设计与实现是必需的。3.数字滤波器的技术指标

常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。设数字滤波器的频率响应函数H(ejω)

表示为：H(ejω)=|H(ejω)|e

jθ(ω)式中，|H(ejω)|称为幅频特性函数;θ(ω)称为相频特性函数。

幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映信号通过该滤波器后各频率成分的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。一般选频滤波器可以根据幅频特性指标来设计，后面介绍的几种典型滤波器（如巴特沃斯滤波器），都是根据幅频特性指标来设计的。但如果对输出波形的相位有要求，则需要考虑相频特性技术指标，例如波形传输、图像信号处理等。下面介绍的IIR数字滤波器的设计中主要研究根据幅频特性指标来设计选频滤波器。如果对输出波形有严格要求（有相位要求），则需要设计线性相位数字滤波器（FIR数字滤波器）。对于各种理想选频滤波器，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，所以是不可能实现的，我们必须设计一个因果稳定的滤波器去近似实现，同时也要考虑复杂性与成本问题。低通滤波器的幅频特性指标示意图1-δ1)(ejwH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2

因此实际的选频滤波器的通带和阻带中都允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零，而且在通带与阻带之间还存在一定宽度的过渡带。ωp和ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率；通带频率范围为0≤|ω|≤ωp，在通带中要求(1-δ1)<|H(ejω)|≤1；阻带频率范围为ωs≤|ω|≤π，在阻带中要求|H(ejω)|≤δ2；从ωp到ωs称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。1-δ1)(ejwH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性

通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示。1-δ1)(ejwH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性对低通滤波器，通带最大衰减p和阻带最小衰减s分别定义为：1-δ1)(ejwH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性1-δ1)(ejwH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性

显然，p

越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；s越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；ωp与ωs间距越小,过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指标完全由通带截止频率ωp

、通带最大衰减p、阻带截止频率ωs和阻带最小衰减s确定。低通滤波器的幅频特性指标示意图若幅频特性单调下降幅频特性，p和s可以分别表示为：

对其他类型的滤波器，H(ej0)应改成，ω0为滤波器通带中心频率。低通滤波器的幅频特性指标示意图如果将|H(ej0)|归一化为1，p和s可以分别表示为：低通滤波器的幅频特性指标示意图

当幅度下降到时，标记ω=ωc，此时，称ωc为3dB通带截止频率。

ωp、ωc和ωs统称为截止频率，它们是滤波器设计中的重要的参数。

片段常数特性：对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度δ1”和“阻带波纹幅度δ2”。而通带最大衰减p和阻带最小衰减s是与δ1和δ2完全等价的两个常数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。（1）按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标。（2）用一个因果稳定的线性移不变系统去逼近这一性能要求。根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数。包括：选择运算结构，选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。（4）实际的技术实现，包括：用通用计算机软、专用数字滤波器硬件、或用专业的或通用的数字信号处理器来实现。本章只研究第二步骤。4.数字滤波器设计方法概述

IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法完全不同。IIR滤波器设计方法有间接法和直接法。间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。采用间接法设计IIR滤波器是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；还有一些典型的优良滤波器类型可供使用。

直接法是直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。

对于线性相位滤波器，经常采用FIR滤波器。可以证明，FIR滤波器的单位脉冲响应满足一定条件时，其相位特性在整个频带是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到的。当然，也可以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行校正，这样增加了设计与实现的复杂性。本章只介绍IIR滤波器的间接设计方法。所以先介绍模拟低通滤波器的设计，再介绍模拟滤波器映射成数字滤波器的方法。4.2模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。选频型模拟滤波器按幅频特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器。但设计滤波器时，总是先设计低通滤波器。例如模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。下面先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后主要介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法，及其MATLAB设计函数。各种理想模拟滤波器的幅频特性4.2.1模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

分别用ha(t)、Ｈa(s)、Ha(jΩ)表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(jΩ)中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟的选频滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(jΩ)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。工程实际中通常用所谓的衰减函数（也称为损耗函数）A(Ω)来描述滤波器的幅频响应特性，对归一化幅频响应函数（后续课程都是针对该情况，特别说明的除外），衰减函数A(Ω)定义如下（其单位是分贝，用dB表示）：

衰减函数A(Ω)和幅频特性函数|Ha(jΩ)|只是滤波器幅频响应特性的两种描述方法。

衰减函数的优点是对幅频响应|Ha(jΩ)|的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。幅度平方函数1.模拟低通滤波器的设计指标

幅频响应函数完全看不清阻带内取值较小（0.001以下）的波纹，而衰减函数则能很清楚地显示出阻带-60dB以下的波纹变化曲线。另外习惯直接画出的衰减函数曲线（-A(Ω)）。幅频响应与衰减函数曲线的比较-模拟低通滤波器的设计指标参数有

p、Ωp、

s和Ωs。其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，

p称为通带最大衰减，

s称为阻带最小衰减，

p和

s的单位为dB。模拟低通滤波器的设计指标参数示意图0对于单调下降的幅度特性，

p和

s可表示成：模拟低通滤波器的设计指标参数示意图0因为，所以Ωc称为3dB截止频率。模拟低通滤波器的设计指标参数示意图0δ1和δ2分别称为通带和阻带波纹幅度，容易得到关系式：

所以，如果能由

p、Ωp、

s和Ωs求出|Ha(jΩ)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(-s)，由此可求出所需要的Ha(s)。滤波器的技术指标给定后，需要设计系统函数Ha(s)。一般滤波器的单位冲激响应为实函数，频谱满足共轭对称。首先，可以得到系统函数和幅度平方函数的关系：得：2.模拟低通滤波器的逼近方法（2）确定极点设Ha(s)有一个极点（或零点）位于s=s0处，则在s=s0*处也一定有一极点（或零点）。(由于ha(t)为实数，Ha(s)为实系数，则极点（或零点）必以共轭对形式出现)Ha(-s)在s=-s0和-s0*处必有极点（或零点）；

Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布是成象限对称的。如果Ha(s)Ha(-s)在虚轴上的零点（或极点）（对临界稳定情况，才会出现虚轴的极点）一定是二阶的，

这样可以由|Ha(jΩ)|2求得Ha(s)：（1）系统函数和幅度平方函数的关系：Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布是成象限对称

我们需要得到因果稳定的滤波器，所以，其系统函数Ha(s)的极点一定落在s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(-s)。（3）确定零点零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特征有关。如果要求最小相位延时滤波器，则Ha(s)应取左半平面零点；如无特殊要求，则可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为Ha(s)的零点。（4）确定增益常数最后,按照Ha(jΩ)与Ｈa(s)的低频特性或高频特性的对比确定出增益常数。由求出的Ha(s)的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统函数Ha(s)。例：解：极点：零点：（二阶）零点：的极点：设增益常数为K0

因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。对于五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Ha(-s)的极点必然落在右半平面。这样可由Ha(s)Ha(-s)求所需要的Ha(s)，即模拟低通滤波器的逼近方法。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。对于五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。系统函数和幅度平方函数的关系：4.2.2巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为：式中：N为滤波器的阶数（正整数）1.巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数：巴特沃思低通滤波器的幅度特性（2）当Ω=Ωc，|Ha(jΩc)|=1/=0.707，（1）当Ω=0，|Ha(j0)|=1，无衰减；所以Ωc是3dB衰减频率、3dB截止频率；当Ω=Ωc时，不管N为多少，都衰减为3dB，这是3dB不变性。衰减

c=20lg|1/Ha(jΩc)|=3dB。（3）在通带内Ω<Ωc（设Ωc为通带截止频率）：随着Ω由0增大到Ωc，|Ha(jΩ)|2单调减小；N越大，减小得越慢，通带内幅度特性越平坦。（4）在过渡带和阻带中Ω>Ωc

：

|Ha(jΩ)|2也随Ω增加单调减小，但是Ω/Ωc>1，故比通带内衰减的速度要快得多；

N越大，衰减速度越大。当Ω=Ωst（阻带截止频率），此时衰减为

st=-20lg|Ha(jΩst)|。（5）阶数N值越大，通带和阻带的近似性越好，过渡带越窄，Ωst距Ωc越近。在幅度平方函数式中，代入Ω=s/j，可得：

巴特沃思滤波器在有限s平面内只有极点，属于所谓“全极点型”滤波器。

Ha(s)Ha(-s)的极点为：2.求巴特沃思低通滤波器的系统函数：k=0,1,2,…,2N-1N＝3和N＝4时Ha(s)Ha(-s)极点分布N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上没有极点。但极点决不会落在虚轴上，这样滤波器才有可能是稳定。Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（称巴特沃思圆）上，呈象限对称，k=0,1,2…,N-1的极点在左半平面，极点间的角度间隔为π/Nrad。

为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的2N个极点中只取S左半平面的N个极点为Ha(s)的极点，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)的极点。Ha(s)的表示式为：

分子系数为ΩcN，可由Ha(s)的低频特性决定，k=0,1,2,…,N-1

Ha(s)的求解方法一（代入可求得分子系数为ΩcN）;

由于不同的技术指标对应的截止频率和滤波器的幅频特性不同，为使设计公式和图表统一，将巴特沃斯滤波器的3dB截止频率Ωc归一化为1rad/s。

Ha(s)的求解方法二

令

p=η+jλ=s/Ωc，λ=Ω/Ωc，p称为归一化复变量，λ称为归一化频率，这样可得到巴特沃斯滤波器的归一化系统函数。系统函数变形为：k=0,1,2,…,N-1

因此只要知道阶数N，根据上式就可求得归一化系统函数，此外归一化后巴特沃思滤波器的系统函数Ga(p)的极点分布、分母多项式的系数以及分母的因式分解都有现成的表格可查（书P100）。归一化的系统函数为：令：其中归一化极点为：

再把归一化后的巴特沃斯系统函数Ga(p)中的p用s/Ωc代替后（此时的Ωc为需要设计的巴特沃斯滤波器的实际的3dB截止频率），就可得到截止频率为Ωc的巴特沃思系统函数；表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数

例：设计一个Ωc=2rad/s的三阶巴特沃思模拟低通滤波器。令Ω2=-s2即Ω=s/j，则有：各极点为：k=0,1,2,…,5解：方法一代公式幅度平方函数是：系统函数为：所给出的六个sk为：由s1,s2,s3三个极点构成的系统函数为：前面三个sk（k=0,1,2）就是Ha(s)的极点。

方法二查表方法查表P100得N=3的归一化的巴特沃思滤波器分母多项式系数：

b0=1,b1=2,b2=2频率归一化后的系统函数为：频率反归一化，即用s/Ωc代替p后，就得到所需滤波器的系统函数Ha(s)无论是用公式法还是表格法,只要求出巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc，就可以求出滤波器的系统函数Ha(s)。所以，巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求阶数N和3dB截止频率Ωc的过程。3.根据技术指标确定巴特沃思低通滤波器的阶数和3dB截止频率

先介绍阶数N的确定方法。由于阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带、阻带的幅度下降速度，它由技术指标Ωp、p、Ωs和s确定。因为：得到：得到：得到：用上式求出的N可能有小数部分，应取大于或等于N的最小整数。再介绍于3dB截止频率Ωc的求法，如果技术指标中没有给出，可以按照下述方法求出。得到：因为：或：注意：如果采用上式确定Ωc，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余；如果采用下式确定Ωc，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。(1)根据技术指标Ωp、p、Ωs和s，总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(2)求出归一化极点，k=0,1,2,…,N-1，也可以根据阶数N直接查表得到pk和Ga(p)。利用：求出滤波器的阶数N。将pk代入：得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。将Ga(p)反归一化。将p=s/Ωc代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数Ha(s)：这里Ωc为3dB截止频率，如果技术指标没有给出Ωc，可以按照下两式求出：例：已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减

p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减

s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N。取N=5上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。(2)按照式，k=0,1,2,…,N-1，其极点为：按照式，得归一化低通原型系统函数为：通常直接查表6.2.1得到归一化低通原型系统函数，查表得N=5时的极点为：－0.3090±j0.9511，－0.8090±j0.5878,－1.0000分母多项式的系数为：式中,b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361所以归一化低通原型系统函数为：分母多项式的因式分解形式为：(3)为将Ga(p)反归一化，先求3dB截止频率Ωc。根据通带指标求得Ωc为：再利用Ωc求阻带截止频率为：此时算出的

比题目中给的Ωs小，因此，过渡带小于指标要求。或者说，在Ωs=2π×12krad/s时衰减大于30dB，所以说阻带指标有富余量。将p=s/Ωc代入

中,得到：MATLAB信号处理工具箱函数buttap,buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。（1）［Z，P,K］=buttap(N)该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（3dB截止频率Ωc=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为N的零点列向量Z和极点列向量P，K表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式:4.用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器

如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A，可以调用：结构转换函数[B,A]=zp2tf(Z,P,K)。（2）［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As)该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求0≤wp≤1，0≤ws≤1,1表示数字频率π（对应模拟频率Fs/2，Fs表示采样频率）。

Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。当ws≤wp时，为高通滤波器；当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。

N和wc作为butter函数的调用参数。（3）［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As,′s′)

该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad/s）。其他参数与格式（2）相同。（4）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值（关于π归一化），一般按格式（2）调用函数buttord计算N和wc。由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数：（5）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′,′s′)计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率（实际角频率）。由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为 由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个3dB截止频率wc，因此仅由调用参数wc不能区别要设计的是高通还是低通滤波器。当然仅由二维向量wc也不能区分带通和带阻。所以用参数ftype来区分。

ftype=high时，设计3dB截止频率为wc的高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计通带3dB截止频率为wc的带阻滤波器，此时wc为二元向量［wcl,wcu］，wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率区间wcl<ω<wcu。应当注意，设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶的。这是因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联。

例：调用buttord和butter设计巴特沃斯低通模拟滤波器。wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;%设置滤波器参数［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As,′s′);

%计算滤波器阶数N和3dB截止频率［B,A］=butter(N,wc,‘s’);%计算滤波器系统函数分子分母多项式系数k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(‘频率(kHz)’);ylabel(‘幅度(dB)’)；axis(［0,14,-40,5］)；运行结果:N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022A=［1

1.2230e+005

7.4785e+009

2.8263e+014

6.6014e+018

7.7094e+022］将B和A代入（6.2.23）式写出系统函数为与上例计算结果形式相同。衰减函数

由图可以看出，阻带刚好满足指标要求，通带指标有富余（实验中可以标示出），就说明buttord函数是使用阻带指标来计算3dB截止频率Ωc的。

巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变化而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济。所以更有效的办法是将逼近精度要求均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带内。这样，在同样通带、阻带性能要求下，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。4.2.3切比雪夫滤波器的设计

切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中（通带或阻带）具有这种等波纹特性。幅度特性在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型；幅度特性在通带内是单调下降的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型。

椭圆滤波器在通带和阻带都具有等波纹幅频特性。根据应用的要求来确定采用哪种形式的滤波器。

我们以切比雪夫Ⅰ型低通滤波器为例来讨论理想低通滤波器的逼近。切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的幅度特性1.切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方函数

N为滤波器的阶数|x|≤1（通带内）|x|>1（过渡带和阻带内）ε为小于1的正数，表示通带幅度波动的程度，ε越大，波纹越大；Ωp为通带截止频率，不一定衰减3dBCN(x)是N阶切比雪夫多项式切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性在通带截止频率下，幅度函数不一定衰减3dB，可以衰减其它分贝值，如1dB。当Ω=0时，N为奇数时，为通带内最大值

N为偶数时，通带内最小值所有幅度函数都通过点，所以把Ωp定义为通带截止频率。当Ω=Ωp时，

N为通带内最大值和最小值总个数|x|≤1(通带)|x|>1(阻带)在1与之间等纹波的波动当|Ω|≤Ωp时（通带范围内）在1与之间等纹波波动是余弦函数，故切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性|x|≤1(通带)|x|>1(阻带)

阶数N对滤波特性有极大的影响，N越大，逼近特性越好，但是滤波器结构越复杂。阶数N等于通带内最大值和最小值的总数。当|Ω|≥Ωp时（过渡带与阻带范围内）

是双曲余弦函数，随|Ω|增加而增加（N越大增加得越快），

迅速趋于0。切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性

切比雪夫滤波器有三个参数：ε，Ωp和N。Ωp是通带截止频率（通带宽度），一般是预先给定；ε由通带最大衰减

p（通带波纹）确定，

p表示成：所以：注意通带最大衰减不一定是3dB，随给定的

p而定，如0.1dB等。2.切比雪夫Ⅰ型低通滤波器参数的确定切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性滤波器阶数N，N的数值由四个技术指标决定。ε,Ωc,N给定后，就可以求得滤波器的传递函数Ha(s)，这可查阅有关模拟滤波器手册。滤波器阶数N，N的数值可由阻带最小衰减来确定。设阻带截止频率为Ωs，当Ω=Ωs时，幅度平方函数值满足：即：代入：设：得：又因为：ε,Ωc,N给定后，就可以求得滤波器的传递函数Ha(s)，这可查阅有关模拟滤波器手册。

MATLAB信号处理工具箱函数cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫Ⅰ型滤波器设计函数。其调用格式如下:（1）［z,p,k］=cheb1ap(N,Rp)（2）［N,wpo］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)（3）［N,wpo］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,′s′)（4）［B,A］=cheby1(N,Rp,wpo,′ftype′)（5）［B,A］=cheby1(N,Rp,wpo,′ftype′,′s′)3.用MATLAB设计切比雪夫滤波器切比雪夫Ⅰ型滤波器设计函数与前面的巴特沃思滤波器设计函数比较，只有两点不同。一是这里设计的是切比雪夫Ⅰ型滤波器；二是格式（2）和（3）的返回参数与格式（4）和（5）的调用参数wpo是切比雪夫Ⅰ型滤波器的通带截止频率，而不是3dB截止频率。其他参数和系数向量含义与巴特沃思滤波器设计函数中的参数相同。MATLAB信号处理工具箱中还有切比雪夫Ⅱ型滤波器的设计函数cheb2ap,cheb2ord和cheby2。解：％设计切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;％设置指标参数［N1,wp1］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,′s′);

％计算切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器阶数和通带边界频率［B1,A1］=cheby1(N1,Rp,wp1,′s′);

％计算切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器系统函数系数fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(′频率(kHz)′);ylabel(′幅度(dB)′)axis(［0,12,-70,5］)例：设计切比雪夫Ⅰ型和切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减

p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减

s=60dB。运行结果:N=5切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器通带边界频率:wp1=1.8850e+004切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数:B=1.2187e+011A=［13.2873e+0049.8445e+0081.6053e+0131.8123e+0179.7448e+020］设计的五阶切比雪夫Ⅰ、II型模拟低通滤波器衰减函数

椭圆（Elliptic）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器。又因为在1931年考尔（Cauer）首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔（Cauer）滤波器。4.2.4椭圆滤波器的设计椭圆滤波器幅频响应特性曲线椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高,过渡带越窄；当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小,过渡带就越宽。

所以椭圆滤波器的阶数N由通带截止频率Ωp、阻带截止频率Ωs、通带最大衰减

p和阻带最小衰减s共同决定。后面对四种滤波器的比较将证实，椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性能价格比最高的滤波器，所以应用非常广泛。给定滤波器指标，通过调用MATLAB信号处理工具箱提供的椭圆滤波器函数设计椭圆滤波器。

MATLAB信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数ellipap、ellipord和ellip。例：设计椭圆模拟低通滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减

p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减

s=60dB。wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;%设置指标参数［N,wpo］=ellipord(wp,ws,Rp,As,′s′);

%计算椭圆低通模拟滤波器阶数和通带截止频率［B,A］=ellip(N,Rp,As,wpo,′s′);%计算低通模拟滤波器系统函数系数％省去以下绘图部分运行结果:椭圆模拟低通滤波器阶数:N=4模拟低通滤波器通带边界频率:wpo=1.8850e+004椭圆模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数:B=［0.0010-8.3913e-0152.9126e+0078.0051e-0041.0859e+017］A=［13.3792e+0049.3066e+0081.3646e+0131.0984e+017］设计的四阶椭圆模拟低通滤波器衰减函数虽然本例中椭圆滤波器阶数是4，但是四阶椭圆模拟低通滤波器的过渡带宽度小于7kHz，比指标要求（9kHz）窄2kHz。而若设计切比雪夫滤波器需要五阶，且其过渡带宽度大于7kHz；若用巴特沃斯模拟低通滤波器，计算所要求的阶数N=7。

巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器四种滤波器是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，为了正确地选择滤波器类型以满足给定的幅频响应指标，必须比较四种幅度逼近滤波器的特性。4.2.5四种类型模拟滤波器的比较

在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高；椭圆滤波器的阶数最低，切比雪夫滤波器的阶数介于两者之间。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高。当阶数N、通带最大衰减

p和阻带最小衰减s都相同，（1）巴特沃思滤波器过渡带最宽，具有单调下降的幅频特性。（2）两类的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫Ⅰ型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫Ⅱ型滤波器的通带和过渡带单调下降的幅频特性（几乎与巴特沃思滤波器相同），阻带是等波纹幅频特性。（3）椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。相位逼近情况:

（1）巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3/4的通带上非常接近线性相位特性；（2）而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性；四种滤波器各具特点，工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数（阶数影响处理速度和实现的复杂性）和相位特性的具体要求。例如，在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就应当选择椭圆滤波器。

低通、高通、带通和带阻滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减仍用

p和

s表示。

Ωph和Ωsh分别表示高通滤波器的通带截止频率和阻带截止频率;

Ωpl和Ωpu分别表示带通和带阻滤波器的通带下截止频率和上截止频率;

Ωsl和Ωsu分别表示带通和带阻滤波器的阻带下截止频率和上截止频率。4.2.6频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计各种滤波器幅频特性曲线及截止频率示意图（a）高通滤波器（b）带通滤波器（c）带阻滤波器

从原理上讲，通过频率变换公式，可以将模拟低通滤波器系统函数Q(p)变换成希望设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数Hd(s)。在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。所以设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是:(1)通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；(2)设计相应的低通系统函数Q(p)；(3)对Q(p)进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数Hd(s)。如果低通滤波器Q(p)是关于某截止频率的“归一化低通滤波器”,则设计计算将大大简化。“归一化低通滤波器”是指关于某个截止频率归一化的低通滤波器,其系统函数就用Q(p)表示。归一化频率根据设计需要而定，对巴特沃斯滤波器关于3dB截止频率归一化的系统函数称为巴特沃斯归一化低通原型（记为G(p)），而切比雪夫和椭圆滤波器的归一化低通原型一般是关于通带边界频率Ωp归一化的低通系统函数（即G(p)的通带边界频率为1）。

模拟滤波器设计手册中给出了各种模拟滤波器归一化低通原型系统函数的参数（零、极点位置，分子、分母多项式系数等）。例如，一阶巴特沃斯低通原型系统函数为：其3dB截止频率λc=1,是关于3dB截止频率归一化的。一般用Hd(s)表示希望设计的模拟滤波器的系统函数，s=σ+jΩ表示Hd(s)的复变量；用Q

(p)表示相应的低通滤波器，（可以取对于某截止频率的归一化低通滤波器，其中p=η+jλ=s/Ωr为归一化复变量，λ=Ω/Ωr为归一化频率，通带截止频率记为λp=Ωp/Ωr）；用G

(p)表示归一化原型系统函数;（4.2.48）（4.2.49）记从p域到s域映射的可逆变换记为p=F(s)。归一化低通系统函数Q

(p)与H

(s)之间的转换关系为：从低通到高通滤波器的映射关系为1．模拟高通滤波器设计式中，Ωph为希望设计的高通滤波器HHP(s)的通带截止频率，λp为对应低通滤波器Q(p)的通带截止频率。在虚轴(频率轴)上该映射关系简化为如下频率变换公式:

频率变换公式的含义是将低通滤波器的通带［0,λp］映射为高通滤波器的通带［-∞,-Ωph］，而将低通滤波器的通带［-λp,0］映射为高通滤波器的通带［Ωph,∞］。同样，将低通滤波器的阻带［λs,∞］映射为高通滤波器的阻带［-Ωsh,0］，而将低通滤波器的阻带［-∞,-λs］映射为高通滤波器的阻带［0,Ωsh］。低通滤波器Q(p)通带［-λp,λp］上的幅度值出现在高通滤波器HHP(s)的通带|Ω|≥Ωph上。同样，低通滤波器Q(p)阻带|λ|≥λs上的幅度值出现在高通滤波器HHP(s)的阻带［-Ωs,Ωs］上。用图形表示。

高通滤波器的设计步骤：1.按照频率变换公式：将高通滤波器的指标转变成低通滤波器的指标，这里可采用通带截止频率归一化低通滤波器，即。2.设计低通滤波器Q(p)。3.根据低通和高通滤波器复变量的关系：，将低通滤波器Q(p)转换成通带截止频率为Ωph的高通滤波器系统函数:

为了计算简单，一般选择Q(p)为归一化低通，即取Q(p)的通带截止频率λp=1。则可求得归一化阻带截止频率为：转换得到低通滤波器的指标为：通带截止频率λp=1，阻带截止频率λs=4，通带最大衰减

p=0.1dB，阻带最小衰减

s=40dB。,例：设计巴特沃思模拟高通滤波器，要求通带边界频率为4kHz，阻带边界频率为1kHz，通带最大衰减为0.1dB，阻带最小衰减为40dB。解：1.通过映射关系式将希望设计的高通滤波器的指标转换成相应的低通滤波器Q(p)的指标。(1)确定阶数N。N=4.68，取N=52.设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。(2)查表得到归一化低通原型系统函数，(3)为将G(p)反归一化，先求3dB截止频率λc。根据通带指标求得λc为：将p<=p/λc代入

中,得到：3.根据低通和高通滤波器复变量的关系：，将低通滤波器Q(p)转换成高通滤波器系统函数HHP(s)低通到带通的频率变换公式如下:2．模拟带通滤波器设计在p平面与s平面虚轴上的频率关系为：式中，Bw=Ωpu-Ωpl,表示带通滤波器的通带宽度，Ωpl和Ωpu分别为带通滤波器的通带下截止频率和通带上截止频率;Ω0称为带通滤波器的中心频率。

频率λ=0映射为频率Ω=±Ω0，频率λ=λp映射为频率Ωpu和-Ωpl，频率λ=-λp映射为频率-Ωpu和Ωpl。也就是说，将低通滤波器G(p)的通带［-λp,λp］映射为带通滤波器的通带［-Ωpu,-Ωpl］和［Ωpl,Ωpu］。同样道理，频率λ=λs映射为频率Ωsu和-Ωsl，频率λ=-λs映射为频率-Ωsu

和Ωsl。低通到带通的边界频率及幅频响应特性的映射关系

带通滤波器的设计步骤：1.按照频率变换公式：将带通滤波器的指标转变成低通滤波器的指标，这里可采用通带截止频率归一化低通滤波器，即。2.设计低通滤波器Q(p)。3.根据低通和带通滤波器复变量的关系：，将低通滤波器Q(p)转换成带通滤波器系统函数:

所以，带通滤波器的通带（阻带）边界频率关于中心频率Ω0几何对称。如果原指标给定的边界频率不满足上式，就要改变其中一个边界频率以便上式，但要保证改变后的指标高于原始指标。具体方法是，如果ΩplΩpu>ΩslΩsu，则减小Ωpl（或增大Ωsl）。具体计算公式为：注意：中心频率和各截止频率的关系满足：或

减小Ωpl使通带宽度大于原指标要求的通带宽度，增大Ωsl或减小Ωpl都使左边的过渡带宽度小于原指标要求的过渡带宽度；

反之，如果ΩplΩpu<ΩslΩsu，则减小Ωsu（或增大Ωpu）使上得到满足。而且在关于中心频率Ω0几何对称的两个频率点上，带通滤波器的幅度值相等。在p平面与s平面虚轴上的频率变换关系为：3．模拟带阻滤波器设计低通到带阻的频率变换公式为：式中，Bw=Ωsu-Ωsl，表示带阻滤波器的阻带宽度，Ωsl和Ωsu分别为带阻滤波器的阻带下截止频率和阻带上截止频率;Ω0称为带阻滤波器的阻带中心频率。当λ从-∞→-λs→-λp→0-时，①Ω从-Ω0→-Ωsu→-Ωpu→-∞，形成带阻滤波器HBS(jΩ)在(-∞，-Ω0]上的频响；②Ω从+Ω0→+Ωs1→+Ωp1→0+,形成HBS(jΩ)在(0+，Ω0]上的频响。当λ从0+→λp→λs→+∞

时，①Ω从0-→

-Ωpl→-Ωsl→-Ω0，形成带阻滤波器HBS(jΩ)在[-Ω0

，0-)上的频响；②Ω从+∞→

+

Ωpu→

+Ωsu→+Ω0

，形成HBS(jΩ)在[+Ω0

，∞)上的频响。

带阻滤波器的设计步骤：1.按照频率变换公式：将带阻滤波器的指标转变成低通滤波器的指标，这里可采用通带截止频率归一化低通滤波器，即。2.设计低通滤波器Q(p)。3.根据低通和带阻滤波器复变量的关系：，将低通滤波器Q(p)转换成带阻滤波器系统函数:与低通到带通变换情况相同，有

利用间接法设计IIR数字滤波器的步骤（1）将给定的数字滤波器的性能指标，按照某一变换（映射）规则转换成相应的模拟滤波器的性能指标。（2）如果要设计的不是数字低通滤波器，还需将步骤（1）中变换得到的相应的（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标，再通过变量代换变换成模拟低通滤波器的性能指标。因为只有模拟低通滤波器才有图形和表格资源可以利用。（3）得到的模拟低通滤波器的性能指标之后，利用某种模拟滤波器逼近方法，设计并查表求得此模拟低通滤波器的系统函数，以它作为设计数字滤波器的“样本”。

常用模拟低通滤波器的设计方法：巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器等。（4）利用与步骤（1）（2）中的同一变换规则，将作为“样本”的模拟低通滤波器的系统函数最终映射成所需的数字滤波器的系统函数H(z)。

映射方法主要有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法和双线性变换法。

步骤（1）数字滤波器的性能指标到模拟滤波器的性能指标，和步骤（4）中从模拟滤波器系统函数Ha(s)变换成数字滤波器的系统函数H(z)，就是s平面映射到z平面的过程，这种复变量s到复变量z之间的映射关系，必须满足以下两条基本要求：（1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，也即s平面虚轴jΩ必须映射到z平面的单位圆ejω上。（2）因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。因为模拟滤波器的因果稳定的条件是其系统函数Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器的因果稳定条件是H(z)的极点全部在单位圆内，所以要求s平面的左半平面Re［s］<0必须映射到z平面单位圆的内部|z|<1。4.3用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器

设计完模拟滤波器后，以其为样本设计数字滤波器，希望数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。1.变换原理

冲激响应不变法是从滤波器的冲激响应出发，使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)能模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)。将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值。满足：h(n)=ha(nT)式中,T是采样周期。

如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的z变换，利用采样序列的z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得：(4.3.5)体现了一种s平面和z平面的映射关系为：

z=esT也即数字滤波器的系统函数和模拟滤波器的系统函数的关系。冲激响应不变法体现的s平面和z平面的映射关系

z=esT

由于s平面每一条横带都重复地映射到z平面上，正好反映了Ha(s)的周期延拓函数和H(z)之间的对应关系。s平面到z平面映射关系，满足以下两条基本要求：（1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，也即s平面虚轴jΩ正好映射到z平面的单位圆ejω上。（2）因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。即s平面的左半平面Re［s］<0正好映射到z平面单位圆的内部|z|<1。

上式为序列在单位圆上的z变换（序列的傅里叶变换）和模拟信号傅里叶变换的关系，即数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系，通常写成：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。(6.3.9)2.频率响应的混叠失真(6.3.8)令，得：只有当模拟滤波器的频率响应带限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即：|ω|<π或：(6.3.10)

实际中很多模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真；因而模拟滤波器的频率响应在折叠频率以外处衰减越大、越快，变换后频率响应混叠失真越小。冲激响应不变法中的频响混叠现象

此外，对模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样的频率fs增加，即采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间距离增大，可减小频率响应的混叠效应。

运用冲激响应不变法从Ha(s)变换到H(z)的过程：由模拟系统函数Ha(s)求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha(t)；然后采样后得到h(n)=ha(nT)；再取z变换得H(z)，过程较复杂。下面研究由冲激响应不变法的变换原理将Ha(s)直接转换为数字滤波器H(z)的方法。

3.模拟滤波器的数字化方法

设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次，因此可将Ha(s)展开成部分分式形式：其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换，即式中，u(t)是单位阶跃函数。（6.3.1）

在冲激响应不变法中，要求数字滤波器的单位冲激响应等于对ha(t)的采样，即对h(n)求z变换，即得数字滤波器的系统函数（6.3.4）

比较Ha(s)和H(z)，可见：（1）s平面的每一个单极点s=sk变换到z平面上z=eskT处的单极点。（2）Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。（3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于s平面的左半平面，即Re［sk］<0，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，因此数字滤波器也是因果稳定的。（4）虽然冲激响应不变法能保证s平面极点与z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个s平面与z平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点就与模拟滤波器零点没有这种代数对应关系，而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T成反比：|ω|<π

如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太