第五章矩阵范数与矩阵

*北京科技大学自动化学院自动化系1系统与控制中的矩阵理论自动化系丁大伟ustb_automation@163.com研究范围系统理论控制理论矩阵理论*北京科技大学自动化学院自动化系3控制理论的发展阶段Firstgeneration:AnalogControlTechnology:FeedbackamplifiersTheory:Frequencydomainanalysis—Bode,Nyquist,Evans,…Secondgeneration:DigitalControlTechnology:DigitalcomputersTheory:State-spacedesign,Kalmanfiltering,Optimalcontrol,H∞Thirdgeneration:NetworkedcontrolTechnology:Embeddedcomputers,Wirelessandwirelinenetworks,SoftwareTheory:Multi-agent,Consensus,flocking,cooperative,…*北京科技大学自动化学院自动化系4系统与控制中的矩阵理论Secondgeneration:DigitalControlLinearsystems√NonlinearsystemsOptimalcontrolEstimationSystemidentificationRobustcontrol√Adaptivecontrol√Discrete-eventsystemsHybridsystems*北京科技大学自动化学院自动化系5系统与控制中的矩阵理论Linearsystems特征值与特征向量，矩阵对角化，矩阵求逆，矩阵函数，多项式矩阵，史密斯标准型，子空间,…Adaptivecontrol向量及矩阵范数，矩阵不等式，矩阵方程，矩阵函数，正定矩阵，矩阵对角化,…Robustcontrol子空间，特征值及特征向量，矩阵求逆，广义逆，矩阵微积分，矩阵范数，奇异值分解，LMI，…*北京科技大学自动化学院自动化系6课程内容1/4向量范数，矩阵范数向量和矩阵的极限矩阵幂级数矩阵函数矩阵的微分与积分常用矩阵函数的性质矩阵函数的应用一：微分方程矩阵函数的应用二：线性系统的能控性与能观性*北京科技大学自动化学院自动化系7课程内容1/4Introductiontolinearmatrixinequalities(LMIs)SystemstabilityandperformanceLyapunovstabilityDissipativityKYPlemmaBoundedreallemmaPositivereallemmaH∞H2*北京科技大学自动化学院自动化系8课程内容1/4SomeusefullemmasSchurcomplementDualizationlemmaProjectionlemmaElimilationlemmaState-feedbackcontrolDynamicoutput-feedbackcontrol*北京科技大学自动化学院自动化系9§1向量范数内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。线性空间有“长度”？---->“范数”若是实内积空间，为任意向量，为实数域中任一元素，则中向量的长度具有下列三个基本性质： (1)当时，都有；

(2)；

(3)。*北京科技大学自动化学院自动化系向量范数定义1：(向量范数)设是数域上的线性空间。若对于中的任一向量，都有一非负实数与之对应，并且满足下列三个条件： (1)正定性：当时，都有；

(2)齐次性：对于任何，有;

(3)三角不等式：对于任何，都有则称非负实数为向量的范数。简言之，向量的范数是定义在线性空间上的非负实值函数。*北京科技大学自动化学院自动化系11常见的向量范数对于酉空间向量1-范数2-范数∞-范数p-范数*北京科技大学自动化学院自动化系12

常见的向量范数1-范数证明：(1)当时，则不全为零，从而(2)对于任何，则

(3)若为任意向量，则即三角不等式成立。*北京科技大学自动化学院自动化系13常见的向量范数1-范数:p=12-范数:p=2∞-范数：证明：当时，显然成立。故只需对非零向量加以证明。令，则有这里，又至少有一个，所以有*北京科技大学自动化学院自动化系14常见的向量范数因此，又因为故从而，即，*北京科技大学自动化学院自动化系15向量范数之间关系定理1.对于任何有限维向量空间上定义的任意两种向量范数，都存在两个与无关的正的常数，使得对中任一向量，都有注：满足以上两个不等式的向量范数称为等价的。故定理1也可叙述为：有限维向量空间上的不同向量范数是等价的。证明：只针对实数域上的维线性空间证明。设是的一组基，则中的任意向量可以表示为*北京科技大学自动化学院自动化系16向量范数之间关系定义：，显然是一种向量范数(2范数)。对于向量范数 首先证明的等价性。记，则是连续函数： 设另一向量为，其范数为则有*北京科技大学自动化学院自动化系17向量范数之间关系由于是常数，因此当与充分接近时，就充分接近，即是连续函数。 根据连续函数的性质，可知，在有界闭集上，函数可达到最大值和最小值。当时，显然，因此有。又记则向量的分量满足，因此；*北京科技大学自动化学院自动化系18向量范数之间关系于是由得由上式可得即若取，则因此等价。 同理可证：即等价。*北京科技大学自动化学院自动化系19§2矩阵范数定义2.(矩阵范数)在上定义一个非负实值函数(对每个)，如果对任意都满足下列 四个条件：

(1)正定性：若(矩阵)，则

(2)齐次性：对任意，有

(3)三角不等式：(4)则非负实数称为方阵的范数。*北京科技大学自动化学院自动化系20矩阵范数与向量范数的相容性定义3.若对任何及维列向量，方阵范数能与某种向量范数满足关系式则称方阵范数与向量范数是相容的。注：1)上的每一种方阵范数，在上都存在与它相容的向量范数；2)上任意两种方阵范数都是等价的，即存在两个与无关的正数，使得

*北京科技大学自动化学院自动化系21矩阵范数与向量范数的相容性3)若则是一种与向量范数相容的方阵范数，称为Frobenius范数()。证明:(1)当(矩阵)，则显然成立；

(2)对任意则*北京科技大学自动化学院自动化系22矩阵范数与向量范数的相容性(3)*北京科技大学自动化学院自动化系23矩阵范数与向量范数的相容性(4)(5)设

令*北京科技大学自动化学院自动化系24矩阵范数与向量范数的相容性则有即是与向量范数相容的矩阵范数。*北京科技大学自动化学院自动化系25F-范数注：F-范数的优点之一是乘以酉矩阵后不变(在实矩阵的情况下乘以正交矩阵后不变)，即证明：又，且也是酉矩阵，则由此可知，的酉相似矩阵的F-范数是相同的，即：若，则*北京科技大学自动化学院自动化系26常见的矩阵范数常见的矩阵范数F-范数：1-范数：(列模和最大者)∞-范数：(行模和最大者)

2-范数：(是的最大特征值)*北京科技大学自动化学院自动化系27§3向量和矩阵的极限定义4.(向量的极限)若，如果存在极限则称有空间的向量序列收敛于向量并记为换言之，向量序列的极限是按坐标序列的极限来定义的。当向量序列不收敛时，也称为发散的。*北京科技大学自动化学院自动化系28向量和矩阵的极限定理2.证明：利用向量的等价性，易知，对一种向量范数成立，则对任何一种范数也成立。为此，取向量范数。如果对向量范数，有则由，可知，对每个有。因此，反之，若则由定义知，*北京科技大学自动化学院自动化系29向量和矩阵的极限故对任给正数，都有正数，使得时，都有若取，则当时，对每个值，上述不等式均成立，从而，时，这就证明了证毕。*北京科技大学自动化学院自动化系30向量和矩阵的极限向量序列收敛于向量，并且只当对任何一种向量范数，序列收敛于零。因此，n维向量序列的收敛问题，借助于范数概念，可归结为实数序列的收敛问题。定义5.(矩阵极限)

若， 如果存在极限 则称方阵收敛于方阵，记为 当方阵序列不收敛时，也称为发散的。*北京科技大学自动化学院自动化系31向量和矩阵的极限例1：

若 则有*北京科技大学自动化学院自动化系32向量和矩阵的极限定理3.

证明：注：方阵序列收敛于方阵,当且仅当对任一方阵范数 ，序列收敛于零。特别地，(矩阵)，当且仅当*北京科技大学自动化学院自动化系33向量和矩阵的极限收敛方阵序列的基本性质： (1)若，则对中任何方阵范数，有界。

(2)若又(这里为数列)，则有(3)若，且都存在，则*北京科技大学自动化学院自动化系34向量和矩阵的极限定理4. (矩阵)的充分条件，是有某一方阵范数，使得 证明：由方阵范数定义的条件(4)知，有 因此，若，则，从而。由定理3便得。证毕。*北京科技大学自动化学院自动化系35向量和矩阵的极限定理5. (矩阵)的充分必要条件，是的所有特征值的模都小于1. 证明：设的约当标准型为*北京科技大学自动化学院自动化系36向量和矩阵的极限 由于，故。而且 不难证明*北京科技大学自动化学院自动化系37向量和矩阵的极限 其中，，又在时的阶导数为：

由此可以看出，当时，下列各个陈述的等价性： 证毕。 *北京科技大学自动化学院自动化系38向量和矩阵的极限定理6.

矩阵的每一个特征值的模，都不大于矩阵的任何一种范数，即，。 证明：设。作矩阵(是任意正数)， 于是， 因此，当时，(矩阵)(定理4)。但由定理5知，矩阵的所有特征值的模都小于1，而的特征值就是 故 即。由于正数可以任意小，因此。*北京科技大学自动化学院自动化系39§4矩阵幂级数定义6.(方阵级数)给定中一方阵序列 则和式 称为方阵级数，也常缩写为定义7.

(收敛)

若方阵序列收敛于，记为方阵序列收敛的充要条件:

个数值级数收敛。当个数值级数绝对收敛时，称此方阵级数绝对收敛。*北京科技大学自动化学院自动化系40矩阵幂级数方阵级数收敛的基本性质：

(1)若方阵级数绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换 各项的次序所得的新级数仍收敛，和也不改变。

(2)方阵级数绝对收敛的充要条件，是对任意一种方阵 范数，正项级数收敛。

(3)若为给定矩阵，如果方阵级数收敛(或绝 对收敛)，则级数也收敛(或绝对收敛)，且有等式*北京科技大学自动化学院自动化系41矩阵幂级数定义8.(幂级数)

若已给阶复数方阵序列及复数序列，则方阵级数称为方阵的幂级数。定义9.(谱半径)

如果为方阵的全部特征值，则 称为的谱半径。*北京科技大学自动化学院自动化系42矩阵幂级数定理7. 若，则对于任给正数，都有某一方阵范数，使得。 证明：对于，必有可逆矩阵，使与其约当标准形相似： 其中是的特征值，而等于1或0。*北京科技大学自动化学院自动化系43矩阵幂级数 对给定的，取对角形矩阵 显然可逆，且由计算可得

*北京科技大学自动化学院自动化系44矩阵幂级数 对所给方阵，令 可验证是方阵范数。 可得：

注：*北京科技大学自动化学院自动化系45矩阵幂级数定理8. 若复变数幂级数的收敛半径为，而方阵的谱半径为，则：

(1)当时，方阵幂级数绝对收敛；

(2)当时，方阵幂级数发散。 证明:(1)因，故总可以找到正数，使得 仍成立。又因为幂级数在收敛圆内 绝对收敛，所以正项级数*北京科技大学自动化学院自动化系46矩阵幂级数 收敛，从而其部分和 有上界： 由定理7，存在某一方阵范数，使得。 因而， 故正项级数收敛。因而，绝对收敛。*北京科技大学自动化学院自动化系47矩阵幂级数推论1.

若复数幂级数的收敛半径为，则对于方阵 ，当其特征值满足 时，方阵幂级数 绝对收敛；若有某一使得，则此方阵幂级数 发散。*北京科技大学自动化学院自动化系48矩阵幂级数推论2.

若复变数级数在整个复平面上都收敛，则对任意的方阵，方阵幂级数也收敛。*北京科技大学自动化学院自动化系49§5矩阵函数定理9.

若对任一方阵，幂级数都收敛，其和为 则当为分块对角形矩阵

时，即有*北京科技大学自动化学院自动化系50矩阵函数定理10.

若是收敛半径为的复变数幂级数，又 是n阶约当块，则当时，方阵幂级数绝对收敛 其和为*北京科技大学自动化学院自动化系51矩阵函数矩阵函数的求法方法一：利用矩阵的标准形求

(1)若相似于对角形矩阵：

则*北京科技大学自动化学院自动化系52矩阵函数(2)若不能与对角形矩阵相似，则必可与其约当标准形相似: ，其中，

则*北京科技大学自动化学院自动化系53矩阵函数方法二：多项式法

定理11.设n阶方阵A的最小多项式为m次多项式 其中，是A的所有互不相同的特征值。又与收敛的复变数幂级数相应的是A的收敛幂级数，则矩阵函数可以表示成A的m-1次多项式 系数有下列的方程组的解给出：

*北京科技大学自动化学院自动化系54矩阵函数*北京科技大学自动化学院自动化系55矩阵函数例2. 设，求 解：特征值 特征向量

则*北京科技大学自动化学院自动化系56矩阵函数例3. 设，求 解：特征值

特征向量*北京科技大学自动化学院自动化系57矩阵函数

*北京科技大学自动化学院自动化系58矩阵函数例4. 设，用多项式法求 解：特征多项式 特征值 最小多项式 记 因为3次多项式，故设*北京科技大学自动化学院自动化系59矩阵函数由此得方程组解得可得：*北京科技大学自动化学院自动化系60§6矩阵的微分与积分定义10.(