第5章动态电路的时域

电工技术第5章动态电路的时域分析引例闪光灯电路

充放电问题？延时问题？继电器电路

RC延时电路

本章教学内容5.1

电容元件5.2

电感元件5.3

动态电路方程5.4一阶电路的零输入响应5.5一阶电路的零状态响应5.6一阶电路的全响应及三要素法本章重点内容电容元件和电感元件的特性动态电路方程的列写、求解及初始条件的确定一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应一阶电路的三要素法第5章动态电路的时域分析

前面四章讨论的内容主要局限于电阻电路。实际上，大量实际电路并不能只用电阻和受控源来构建它们的模型，还必须包含有电容元件和电感元件等。电容和电感元件都能够储存能量，称为储能元件，其端口电压电流关系要用微分方程来描述，所以又称为动态元件。

含有动态元件（即储能元件）的电路称为动态电路。动态电路是用微分方程来描述的，所以对这种电路的分析要涉及对微分方程的求解。在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称时域分析方法。5.1电容元件电容元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它所储存的电荷q和它的端电压u之间的关系是由qu平面上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电容元件。这条曲线称库伏特性曲线。_+qqu5.1电容元件（续1）线性时不变电容元件：任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成正比。q-u

特性曲线是过原点的直线。电路符号单位：法[拉](F)1F=106

F，1F

=106pF电压－电流关系当电压和电流取关联参考方向动态元件

u为直流时，电容相当于开路隔直通交

“记忆”特性

5.1电容元件（续2）VCR的微分形式

VCR的积分形式

5.1电容元件（续3）电容电压的连续性质当电容电流有界时，

当流过电容的电流有界时，电容电压不能跃变。

储能5.1电容元件（续4）几种常见电容器的外形图(a)空气可变电容器

(b)纸介电容器

(c)云母电容器

(d)陶瓷电容器

(e)铝电解电容器

(f)贴片陶瓷电容器

实际电容器的模型5.1电容元件（续5）5.1电容元件（续6）例1

如图(a)所示电路中电容与电压源连接，已知电压源电压波形如图(b)所示，试求电容电流及电容的储能。解

由图(b)所示波形曲线，可求得电压源电压的表达式为5.1电容元件（续7）则电容电流为：电容电流随时间变化的波形曲线

5.1电容元件（续8）则电容的储能为：电容储能随时间变化的波形曲线

例2

如图(a)所示电路中电容与电流源连接，已知电流源电流波形如图(b)所示，试求电容电压及电容吸收的功率。假设u(0)=0V。解：由图(b)所示波形曲线，可求得电流的表达式为5.1电容元件（续9）5.1电容元件（续10）当0≤t<0.5s时

当0.5s≤t≤1s时电容电压随时间变化的曲线如图中实线所示5.1电容元件（续11）电容吸收的功率为当0≤t<0.5s时

当0.5s≤t≤1s时电容吸收的功率随时间变化的曲线如图中虚线所示

5.1电感元件电感元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁链ψ与流过它的电流i之间的关系是由ψ-i平面上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件。这条曲线称韦安特性曲线。

i(t)ψ(t)＝N(t)iψo5.1电感元件（续1）线性时不变电感元件：任何时刻，通过电感元件的电流i

与其磁链ψ

成正比。ψ-i

特性为过原点的直线。电路符号单位：亨[利](Ｈ)1H=103mH=106

H电压－电流关系当电压和电流取关联参考方向动态元件

i为直流时，电感相当于短路

“记忆”特性

5.1电感元件（续2）VCR的微分形式

VCR的积分形式

5.1电感元件（续3）电感电流的连续性质当电感电压有界时，

当电感电压有界时，电感电流不能跃变。

储能5.1电感元件（续4）几种常见电感器的外形图(a)空心电感器

(b)铁心电感器

(c)磁心电感器

(d)贴片电感器

实际电感线圈的模型5.1电感元件（续5）5.3动态电路方程

含有动态元件电容或电感的电路称为动态电路。动态电路可以用微分方程来描述。当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。动态电路稳态的改变,是由电路的接通、断开、改接及电路元件的突然变化等原因所引起的,这些变化统称为“换路”。动态电路产生过渡过程的内因是含有动态元件，即储能元件；外因是“换路”。5.3动态电路方程（续1）tOuC过渡过程稳态2稳态1500kV断路器5.3动态电路方程（续2）5.3.1动态电路方程的列写

动态电路方程的列写依然是根据KCL、KVL和元件的VCR。一般情况下，对于线性非时变动态电路，只含单一响应变量的动态电路方程通常为常系数线性微分方程。

左图为含有一个电容元件的动态电路。根据KVL得将和代入上式得一阶电路5.3.1动态电路方程的列写（续1）由KVL和各元件方程得二阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。n阶电路5.3.2一阶微分方程的求解求解一阶常微分方程的经典法设一阶微分方程其通解由两部分组成，即为对应的齐次微分方程的通解，其中方程的一个特解。

为非齐次微分5.3.2一阶微分方程的求解（续1）自由分量（也称暂态分量）

强制分量（也称稳态分量）

5.3.3初始条件的确定换路时刻在电路分析中，认为换路是在瞬间完成的。为了叙述方便，通常把换路前的最终时刻记为t=0-，把换路后的最初时刻记为t=0＋。t=0＋时刻的电压、电流值称为初始值

。换路定则

在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。5.3.3初始条件的确定（续1）例1

求开关闭合后电容电压的初始值uC

(0+)及各支路电流的初始值i1(0+)、i2(0+)、iC

(0+)。

解：（1）画出t

=

0-时的等效电路

（2）由换路定则得

5.3.3初始条件的确定（续2）（3）画出t=0＋时的等效电路

t=0＋时电容用电压源替代

5.3.3初始条件的确定（续3）例2

求开关闭合后电感电流的初始值iL(0+)、电感电压的初始值uL(0+)以及其它两个支路电流的初始值i(0+)和is(0+)。

解：（1）画出t

=

0-时的等效电路

5.3.3初始条件的确定（续4）（2）由换路定则得

（3）画出t=0＋时的等效电路

t=0＋时电感用电流源替代

5.3.3初始条件的确定（续5）例3求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。解：5.3.3初始条件的确定（续6）代入数据得：

解之得

5.3.3初始条件的确定（续7）求初始值的步骤由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)。由换路定则得uC(0+)和iL(0+)。画0+等效电路。

电容用电压源替代，电感用电流源替代。

（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）由0+电路求所需各变量的0+值。5.4一阶电路的零输入响应零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。一阶RC电路的零输入响应开关S切换前，电容已充电至U0。5.4一阶电路的零输入响应（续1）一阶RC电路的时间常数(timeconstant)

5.4一阶电路的零输入响应（续2）

时间常数愈小，放电过程进行得愈快，暂态过程需要的时间越短；反之，愈大，放电过程进行得愈慢，暂态过程需要的时间越长。在实际中一般认为换路后经过3

~5的时间，暂态过程基本结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

具有时间量纲（欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=秒）5.4一阶电路的零输入响应（续3）例1

高压设备检修时，一个40μF的电容器从高压电网上切除，切除瞬间电容两端的电压为4.5kV。切除后，电容经本身的漏电电阻RS放电。现测得RS＝175MΩ，试求电容电压下降到1kV所需要的时间。解：设在t＝0时电容器从高压电网上切除，电容经RS放电的等效电路如图所示，可得：当uC下降到1000V，则有5.4一阶电路的零输入响应（续4）解得

从计算结果可知，电容器与电源虽然已断开将近3个小时，但还保持高达1000V的电压。这样高的电压足以造成人身安全事故。因此，在检修具有大电容设备时，事先必须经过充分放电。5.4一阶电路的零输入响应（续5）一阶RL电路5.4一阶电路的零输入响应（续6）一阶RL电路的时间常数具有时间量纲（亨/欧=秒）例2

设图所示电路中，开关S在t=0时打开，开关打开前电路在直流电压源US作用下已稳定。已知US=220V，L=0.1H，R1=50k，R2=5，试求开关打开瞬间其两端的电压uK(0+)以及R1上的电压uR1。5.4一阶电路的零输入响应（续7）解：

由换路后的电路可得微分方程电阻R1上的电压开关S两端的电压t=0+时，开关两端的电压为

可看出，开关S在打开的瞬间，其两端电压会高出电源电压约R1/R2倍，开关会承受一个很高的冲击电压，会引起强烈的电弧。

5.4一阶电路的零输入响应（续8）5.5一阶电路的零状态响应一阶RC电路的零状态响应零状态响应动态元件的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应。换路后该电路的微分方程为

5.5一阶电路的零状态响应（续1）通解为

再根据初始条件，可得

得到非齐次微分方程的通解

5.5一阶电路的零状态响应（续2）一阶RL电路的零状态响应换路后该电路的微分方程为其通解为5.6一阶电路的全响应及三要素法全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。一阶RC电路的全响应换路后电路的方程为

方程的通解为5.6一阶电路的全响应及三要素法（续1）为强制分量（或稳态分量

）为自由分量（或暂态分量

）全响应=强制分量+自由分量

全响应=稳态分量+暂态分量

全响应=零输入响应+零状态响应

5.6一阶电路的全响应及三要素法（续2）一阶RL电路的全响应换路后电路的方程为

方程的通解为5.6一阶电路的全响应及三要素法（续3）一阶电路的三要素法直流电源激励下的一阶电路，其微分方程为

显然因此其通解为

时间常数

初始值

稳态值一阶电路的三要素法5.6一阶电路的全响应及三要素法（续4）根据0+时的等效电路求得

根据∞时的等效电路求得

Req为从电容或电感元件两端看进去的等效电阻

变量y可以是任意支路的电压或电流，但通常是先求电容电压或电感电流，再求其它变量。一阶RC电路

一阶RL电路

5.6一阶电路的全响应及三要素法（续5）例1

图(a)所示电路中，开关S原来合在“1”上很久，在t=0时S合向“2”端，用三要素法求t>0时，电容两端电压uC和电流iC，并绘出它们随时间变化的曲线。

解

(1)求初始值uC(0+)作t=0－时的电路如图(b)所示，求得

(a)根据换路定则，得电容开路(b)5.6一阶电路的全响应及三要素法（续6）

(2)求稳态值uC(∞)

作换路后t=∞时的等效电路如图(c)，求得(3)求时间常数τ

τ=ReqC，Req为换路后从电容两端看进去的等效电阻。其等效电路如图(d)所示，求得

(d)

(c)

(a)5.6一阶电路的全响应及三要素法（续7）(4)求uC、iC

将uC(0+)=2V、uC(∞)=–2V和τ=1s代入三要素公式则画出uC、iC的波形，如图(e)所示。

5.6一阶电路的全响应及三要素法（续8）

(e)5.6一阶电路的全响应及三要素法（续9）解

(1)求初始值i(0+)、uL(0+)作t=0+时的电路如图(b)所示。(a)(b)根据换路定则，得

iL(0+)=iL(0－)=2A例2

如图(a)所示，开关合在1时电路已经稳定。t=0时，开关由1合向2，用三要素法求t≥0时的i和uL。开关在1位置时，电流iL(0－)为可求得

i(0+)=(2－2)A=0电感代之以短路电感代之以电流源5.6一阶电路的全响应及三要素法（续10）

作换路后t=∞时的等效电路如图(c)。求得(3)求时间常数τ

换路后从电感两端看进去的电路如图(d)所示。求得

(d)

(c)

(a)

(2)求稳态值i(∞)、uL(∞)电感代之以短路5.6一阶电路的全响应及三要素法（续11）(4)求i

、uL