第8章非线性系统

第八章非线性控制系统分析

8.1非线性控制系统概述8.4描述函数法8.3相平面分析法8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响1前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的分析设计方法，但实际控制系统在某种程度上均不可避免地具有某种程度的非线性特性，系统中只要具有一个非线性环节，就称之为非线性系统，因此实际的控制系统大都是非线性系统。前面章节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系统的非线性特性在工作点附近进行小偏差线性化处理而得。2非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。一、有关概念一般，非线性系统的数学模型可以表示为：在F函数中，若相应的算子为线性，则系统为线性系统；否则为非线性系统。同时，若在F函数中不显含t，则为时不变系统；若显含t，则为时变系统。8.1非线性控制系统概述3本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化。非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性。自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自激振荡，简称自振荡。4二、非线性系统的特征（1）齐次性和叠加定理：线性系统的最大特点是它具有可叠加性和齐次性，但对于非线性系统，这个特点不再具有。（2）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡，即自激振荡。改变非线性系统的结构和参数，可以改变自激振荡的振幅和频率，或消除自激振荡。而对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振荡。5

（3）非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。例：对于一由非线性微分方程

X=-x(1–x)(8-1).

描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为6设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得(8-2)

t10

图8-1一阶非线性系统

7（4）非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂的情况：

（a）跳跃谐振和多值响应

图8-2所示的非线性弹簧输出的幅频特性。

2.1345.

图8-2跳跃谐振与多值响应

8(b)分频振荡和倍频振荡

非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图8－3所示波形。输入信号倍频信号分频信号ttt图8-3倍频振荡与分频振荡

9三、非线性系统的研究方法逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络，是非线性系统控制的一个发展方向。相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。

描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。本章介绍对本质非线性系统的研究方法：相平面法描述函数法10摩擦特性不灵敏区（死区特性）饱和特性间隙特性继电特性

下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响11（1)饱和特性

饱和特性在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持某一常值。饱和特性的等效增益饱和特性12由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特性的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛性质，不会造成愈振愈大的不稳定现象；由于饱和限幅的存在，它可使一切不稳定的系统收敛于自振荡以保证系统的安全。当然，由于等效增益降低，会降低系统的稳态精度；对快速性而言，则相对复杂一些，不能一概而论。

饱和特性对系统运动的影响：13（2）死区（不灵敏区）特性死区非线性特性对系统产生的主要影响有：1）使系统的稳态误差增大，尤其是测量元件的死区对系统稳态性能的影响更大。2）对动态性能的影响由具体系统的结构和参数确定。如对某些系统，死区的存在会抑止其振荡；而对另一些系统，死区又能导致其产生自激振荡。3）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高了系统抗扰动的能力。4）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等函数时，死区的存在会引起系统输出在时间上的滞后。式中,k为图中线性段的斜率,a为死区的范围。14其数学表达式为（3）继电器特性15

继电特性曲线如图所示，这类特性不仅包含有死区特性，而且具有滞环特性。若分别取a=0,m=1,m=-1时继电特性表现为不同的特殊情况，分别为下面三种特殊情况下的继电特性。（a）a=0时理想继电特性（b）m=1时具死区继电特性（c）m=-1时具磁滞回环继电特性16

理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加，输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响应速度，也可构成正弦信号发生器。17（4）间隙（滞环）特性元件开始运动 输入信号<e0时，无输出信号； 当输入信号>e0以后，输出随输入线性变化。元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2e0

，输出随输入线性变化。间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。X(t)>0X(t)<0X(t)=0e0-e0b-bkkx...e18相平面法是一种通过图解法求解一、二阶非线性系统的分析方法，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨迹，并由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。8.3相平面分析法19一、基本概念在同一时刻t，(，)对应于相平面上的一个点——相点，随t变化形成一条轨迹——相轨迹。上式是以为自变量，以为因变量的方程。

和称为系统运动的相变量（状态变量）。若以为横坐标，为纵坐标，则构成一个二维状态空间（直角坐标平面）——相平面。设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述

（1）

如果以x和作为变量，则可有

（2）

用第一个方程除第二个方程有

（3）

ˉxx20相轨迹：相变量从初始时刻t0对应的状态点起，随着时间t的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。

在相轨迹上用箭头符号表示参变量时间t的增加方向。给定任一初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。相平面图：多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。21二、相轨迹的绘制（1）解析法

绘制相轨迹的关键在于找出和的关系x用求解微分方程的办法找出的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为：a.消去参变量t由直接解出通过求导得到在这两个解中消去作为参变量的t，就得到的关系。)(tx，)(tx.。

例

设描述系统的微分方程为

0=+Mx&&其中M为常量，已知初始条件xxx==)0(,0)0(&。求其相轨迹。解：

Mx-=&&，

积分有

Mtx-=&

(1)

再积分一次有

221Mtxx-=-o

(2)由(1),(2)式消去t有)(22o&xxMx--=M=1M=-122b.直接积分法dxxdxdtdxdxxddtxdx&&&&&&Q===

),(xxfdxxdx&&&-=\

上式可分解为

dxxhxdxg)()(-=&&

则由

òò-=xxxxdxxhxdxg&&oo&&)()(

可找出oxx-的关系

在上式中由Mx-=&&可有

MdxxdxxMdxxd-=Þ-=&&&&

积分有

)(2)(2122oo&&xxMxxxMx--=--=

可见两种方法求出的相轨迹是相同的。

23（2）图解法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。原理：

),(xxfx.&&-=

因

dxxdxx&&&&=

故有

xxxfdxxd&&&),(-=

式中dxxd&为相轨迹在某一点的切线的斜率，

令dxxd&=a，则

xxxf&&),(-=a

I

b.根据初始条件确定相轨迹的起始点；

c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二、第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。

取相轨迹切线的斜率为某一常数，得等倾线方程a当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为.aa.取为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。aa24例：设二阶系统方程为表示相平面上过原点的一条斜线斜率方程为等倾线方程为25

取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。26关于相轨迹的几点说明：1、x轴和轴选用的比例尺应一致；2、在相平面的上半平面，所以相轨迹的走向应沿着增加的方向由左向右；在相平面的下半平面，所以相轨迹的走向应沿着减小的方向由右向左；3、除平衡点外，通过x轴时的相轨迹的斜率=∞，所以相轨迹是与轴垂直相交的；4、相轨迹的对称性：关于轴对称关于x轴对称关于原点对称27相轨迹上每一点切线的斜率为

若在某点处和同时为零，即有的不定形式，则称该点为相平面的奇点在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零。相平面的奇点也称为平衡点。奇点一定位于相平面的横轴上。三、相轨迹的奇点和极限环1奇点28而在相轨迹的非奇点（普通点）处，不同时满足和，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。

相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交；292．极限环极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。（1）稳定极限环

在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。奇线：是将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域的相轨迹，最常见的是极限环。30（2）不稳定极限环在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。（3）半稳定极限环如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。3132设二阶系统自由运动的微分方程为系统的特征方程为上述特征方程的根为

（8-3）式所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。（8-3）（8-4）四、线性系统的相轨迹331、无阻尼运动由方程（8-4），相轨迹方程为：（8-5）其中系统的特征根分布？34相轨迹如图所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。相轨迹的方向如图中箭头所示。相轨迹垂直穿过横轴。坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。图中的奇点（0，0）通常称为中心点它是极限环么？352、欠阻尼运动的特征根为具有负实部的共轭复根，零输入响应为衰减振荡，收敛于零。对应的相轨迹是一簇对数螺旋线，收敛于相平面原点。这时原点对应的奇点称为稳定的焦点。363、负阻尼运动的特征根是一对具有正实部的共轭复根，系统的零输入响应是振荡发散的。对应的相轨迹是发散的对数螺旋线。这时奇点称为不稳定的焦点。

374、过阻尼运动的特征根为两个负实根，其零输入响应呈指数衰减状态。对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。相平面原点为奇点，称为稳定的节点。

385、特征根为两个正实根，系统的零输入响应为非周期发散的。对应的相轨迹是由原点出发的发散的抛物线簇。相应的奇点称为不稳定的节点。

396、特征根为两个符号相反的实根，此时系统的零输入响应是非周期发散的。这时奇点称为鞍点。

40设非线性系统则在奇点（x,0）附近满足根据特征方程其特征根在复平面的位置有上述6种情况，则可根据特征根的类型，确定对应奇点的类型。41特征根和奇点的对应关系42解：

奇点

00=dxxd&

dxxdxx&&&&=

xxxfdxxd&&&),(=

故可由0),(,0===xxfxx&&&&来确定奇点

)(212xxx+-=&&&

令

ïîïíì==Þïïîïïíì=+-=000)(2102xxxxx&&&

在奇点处，将),(xxf&进行泰勒(Taylor)级数展开

xxxxxxfxxxxffxxfxxxxx21)(),()(),()0,0(),(00000-=-¶¶+-¶¶+=====o&&&&&&&&

故有

102xx+=??

特征方程

0212=+l

21j±=l

故奇点为中心点

oe

43（1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数学表达式。（2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。（6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性。一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：五、非线性系统相平面法分析44例非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号（1）死区非线性系统分析454647484950

8.4描述函数法1．谐波线性化：具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下，在其非正弦周期函数的输出响应中，假设只有基波分量有意义，从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似。8.4.1描述函数法的基本概念2.基波假设：自振状态下，非线性部分和线性部分的输入、输出均可视为为同频率的正弦信号（这里自振即）0)(=tr3．应用描述函数法分析非线性系统的前提a.非线性特性具有奇对称性，即y(x)=-y(-x),A0=0

；b.非线性系统具有上图所示的典型结构；c.非线性部分输出x(t)中的基波分量最强；d.线性部分G(s)的低通滤波效应较好。51

非线性环节用正弦函数作为输入信号， 忽略输出所有高于一次的谐波分量。

描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数系统开环部分可分离为：

非线性环节N(A)、线性部分G(s)假定：①非线性环节非线性，即不是时间的函数；②非线性环节特性是斜对称的；③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。正弦信号输入时，输出不含直流分量。！类似传递函数！谐波线性化方法？非线性系统的频率特性法52斜对称输出的一次谐波分量53

这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。

一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。

描述函数的定义：描述函数的模等于非正弦周期输出的基波的振幅与输入正弦的振幅A之比，其相角为正弦输出相对正弦输入的相移，因此)sin()(111f+=wtxtxwtAtesin)(=Ax1)(1tx)(te1f11)(fjeAxAN=54理想继电器特性的描述函数傅氏展开斜对称、奇函数A0=An=0(偶次对称性)8.4.2典型非线性特性的描述函数55饱和特性死区特性死区饱和特性56非线性增益I非线性增益II57理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性58间隙、滞环特性591）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数：2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即

设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）非线性特性的描述函数的共同点60(尼奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)轨迹不包围G平面的(-1,j0)。．--负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统(-1,j0)?8.4.3非线性系统的稳定性分析61③G(j)与负倒描述函数相交闭环系统出现自持振荡(极限环振荡)？稳定？不稳定?!振幅（A）?!频率()设：系统开环的线性部分G(j)稳定

①G(j)不包围负倒描述函数

闭环系统稳定②G(j)包围负倒描述函数闭环系统不稳定62当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。当微小扰动使振幅A减小到d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； 不返回到a。a点为不稳定自振交点。分析法！微小扰动63当微小扰动使振幅A增大到e点时，e点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。b点为稳定自振交点。64具有饱和特性的非线性系统具有死区特性的非线性系统具有间隙特性的非线性系统具有理想继电器特性的非线性系统具有滞环继电器特性的非线性系统

典型非线性系统的稳定性65具有饱和特性的非线性系统A＝a时A∞时负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k,-∞)。G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交

不存在自持振荡G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交b点:稳定自振交点bAb66具有死区特性的非线性系统A＝a时A∞时负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交

不存在自持振荡G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交b点:不稳定自振交点67具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为G平面上一条曲线。A∞时G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交

不存在自持振荡G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交b点:稳定自振交点bAb68具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴2）如有数个交点

必有稳定的自振交点1）如只有一个交点

必为稳定的自振交点69具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。3）单边滞环宽度h增加

负倒描述函数轨迹向下