清华控制工程基础课件

控制工程基础

（第四章）

清华大学2023/2/6控制工程基础第四章控制系统的频率特性4.1机电系统频率特性的概念及其基本实验方法4.2极坐标图（Nyquist图）4.3对数坐标图（Bode图）4.4由频率特性曲线求系统传递函数4.5由单位脉冲响应求系统的频率特性*4.6对数幅相图（Nichols图）4.7控制系统的闭环频响4.8机械系统动刚度的概念2023/2/6控制工程基础

频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统间接方法。另外，除了电路与频率特性有着密切关系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。机械受到一定频率作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在频率域中表现的特性。频域法能简便而清晰地建立这些概念。

2023/2/6控制工程基础频率特性的物理背景

2023/2/6控制工程基础对于一般线性系统均有类似的性质。系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。当输入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同；输出幅值和输出相位按照系统传递函数的不同随着输入正弦信号频率的变化而有规律的变化，如下图所示。

2023/2/6控制工程基础傅立叶正变换式

傅立叶反变换式

见光盘课件（第四章第一节）

2023/2/6控制工程基础例：如下图所示系统，其传递函数为

将s代之以jω，即得到系统的频率特性函数为2023/2/6控制工程基础例：试求的幅频特性和相频特性。解：2023/2/6控制工程基础频率特性的极坐标图（乃奎斯特图，或乃氏图）

乃奎斯特（H.Nyquist)，1889~1976，美国Bell实验室著名科学家见光盘课件（第四章第二节）2023/2/6控制工程基础各型乃氏图的低频段2023/2/6控制工程基础

通常，机电系统频率特性分母的阶次大于分子的阶次，故当ω→∞时，乃氏图曲线终止于坐标原点处；而当频率特性分母的阶次等于分子的阶次，当ω→∞时，乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。一般在系统频率特性分母上加极点，使系统相角滞后；而在系统频率特性分子上加零点，使系统相角超前。2023/2/6控制工程基础令ω从-∞增长到0，相应得出的乃氏图是与ω从0增长到十∞得出的乃氏图以实轴对称的，例如图4-24所示的乃氏图。2023/2/6控制工程基础

逆Nyquist图有时为了将无穷远处的部分表示在原点附近，可画逆极坐标图，它是在极坐标上画图，而不是图。F（jω）的倒数，称为逆频率特性函数，记作

显然，逆幅频和逆相频特性函数与幅频和相频特性函数之间有如下的关系：

图象称为逆Nyquist图。2023/2/6控制工程基础

频率特性的对数坐标图（伯德图）

伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美国Bell实验室著名科学家2023/2/6控制工程基础

图4-25幅频特性坐标伯德图幅值所用的单位分贝（dB）定义为

n（dB）=201gN

若ω2=10ω1，则称从ω1到ω2为十倍频程，以“dec.”（decade）表示。2023/2/6控制工程基础

图4-26相频特性坐标2023/2/6控制工程基础见光盘课件（第四章第三、四、五节）2023/2/6控制工程基础最小相位系统2023/2/6控制工程基础I型系统伯德图低频段高度的确定2023/2/6控制工程基础Ⅱ型系统伯德图低频段高度的确定2023/2/6控制工程基础频率特性函数求取方法(1)如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输出变量的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统的频率特性函数。(2)如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数中的s代之以jω，即得到系统的频率特性函数。(3)可以通过实验的手段求出。2023/2/6控制工程基础频率特性函数实验求取方法2023/2/6控制工程基础频率特性函数实验求取方法2023/2/6控制工程基础频率特性函数实验求取方法2023/2/6控制工程基础频率特性函数实验求取方法2023/2/6控制工程基础频率特性函数实验求取方法2023/2/6控制工程基础频率特性函数实验求取方法2023/2/6控制工程基础

由单位脉冲响应求系统的频率特性

已知单位脉冲函数的拉氏变换象函数等于1，显然，单位脉冲函数的傅氏变换象函数也等于1，上式说明δ（t）隐含着幅值相等的各种频率。如果对某系统输入一个单位脉冲，则相当于用等单位强度的所有频率去激发系统，系统单位脉冲响应的傅氏变换即为系统的频率特性。单位脉冲响应简称为脉冲响应，脉冲响应函数又称为权函数。2023/2/6控制工程基础为了识别系统的传递函数，我们可以产生一个近似的单位脉冲信号δ（t）作为系统的输入，记录系统响应的曲线g(t),则系统的频率特性为

（4.16）

对于渐近稳定的系统，系统的单位脉冲响应随时间增长逐渐趋于零。因此，可以对照式（4.16）对响应g(t)采样足够的点，借助计算机，用多点求和的方法即可近似求出系统频率特性，即2023/2/6控制工程基础

2023/2/6控制工程基础对数幅相图

（Nichols

Chart）

N.B.Nichols，美国Taylor仪器公司工程师，二战期间参与MIT雷达及火炮控制研究。2023/2/6控制工程基础

对数幅相特性图(Nichols图)是描述系统频率特性的第三种图示方法。该图纵坐标表示频率特性的对数幅值，以分贝为单位；横坐标表示频率特性的相位角。对数幅相特性图以频率ω作为参变量，用一条曲线完整地表示了系统的频率特性，一些基本环节的对数幅相特性特性图如下图所示。

2023/2/6控制工程基础2023/2/6控制工程基础

对数幅相特性图很容易将伯德图上的幅频曲线和相频曲线合并成一条来绘制。对数幅相特性图有以下特点：

①由于系统增益的改变不影响相频特性，故系统增益改变时，对数幅相特性图只有简单地向上平移（增益增大）或向下平移（增益减小），而曲线形状保持不变；

②G（ω）和1／G（jω）的对数幅相特性图相对原点中心对称，即幅值和相位均相差一个符号；

③利用对数相幅特性图，很容易由开环频率特性求闭环频率特性，可尽快确定闭环系统的稳定性及方便地解决系统的校正问题。2023/2/6控制工程基础由开环频率特性

估计闭环频率特性低频时高频时2023/2/6控制工程基础由开环频率特性

估计闭环频率特性

2023/2/6控制工程基础另外，我们可以利用等M圆和等N圆由开环频率特性求出闭环频率特性。对于单位反馈系统，设前向通道传递函数为G(s),则其闭环传递函数为

(4.22)

在下图所示的乃奎斯特图上，向量OA表示

，其中为A点频率。向量OA的幅值为，向量OA的相角为。由点P（-1，j0）到A点的向量PA可表示为[1十

]。

2023/2/6控制工程基础由开环频率特性

估计闭环频率特性

2023/2/6控制工程基础由开环频率特性

估计闭环频率特性

向量OA与PA之比正好表示了闭环频率特性，即

(4.23)在处，闭环频率特性的幅值就是向量OA与PA的幅值之比，相位角就是两向量的相角之差，即夹角，如上图所示。当系统的开环频率特性确定后，根据上图就可求出闭环频率特性。2023/2/6控制工程基础由开环频率特性

估计闭环频率特性

设闭环频率特性的幅值为M（ω），相位角为φ（ω）,闭环频率响应可表示为

类似于地图上等高线的思路，我们可求出闭环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹，在由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系统校正时，这将带来方便。2023/2/6控制工程基础

等幅值轨迹（M圆）

设，式中X和Y均为实数，则

（4.25）

式（4.25）两边平方，可得

2023/2/6控制工程基础（4.26）

如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即为通过点（-1/2，0）且平行虚轴的直线。

如果M≠1，式（4.26）可化成

(4.27)

该式就是一个圆的方程，其圆心为

，半径为。如下图。

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2023/2/6控制工程基础在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给定的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。下图表示的一族等M圆。由图上可以看出，当M>1时，随着M的增大M圆的半径减小，最后收敛于点（-1,j0）。当M＜1时，随着M的减小M圆的半径亦减小，最后收敛于点（0,j0）。M=1时，其轨迹是过点（-1/2,j0）且平行于虚轴的直线。

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等相角轨迹（N圆）

相角为

即

设tanφ=N，则

2023/2/6控制工程基础则

配方整理，可得

（4.28）

由式（4.28）可看出，等相角轨迹是一个圆心为，半径为的圆。

下图表示的是一族等N圆。对于给定φ值的N圆，实际上并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。同时，由于φ与φ±180°的正切值是相同的,N圆对应的φ具有多值性，例如φ=-35°与φ=145°对应圆弧是相同的。

2023/2/6控制工程基础

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应用乃奎斯特图求闭环频率特性

应用相同的比例尺，将等M圆和等N圆绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以相同比例尺绘制的系统开环传递函数乃奎斯特图上，乃奎斯特图与等M圆和等N圆的交点所对应的幅值与相角由M圆和N圆的参数决定，对应的频率由开环乃奎斯特图决定，这样即可求出闭环频率特性。找出G（jω）与M圆和N圆的交点，就可绘出闭环频率特性曲线。

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应用Nichols图线求闭环频率特性

仿照上述等M圆和等N圆的思路，在对数幅相特性图上作出等M圆和等N圆，由它们轨迹构成的曲线称为尼柯尔斯图线。尼柯尔斯图线对称于-180°轴线，每隔360°,M轨线和N轨线重复一次，且在每个180°的间隔上都是对称的。在由开环频率特性确定闭环频率特性时，应用相同的比例尺，将尼柯尔斯图线绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以相同比例尺绘制的系统开环传递函数对数幅相图上，则开环频率特性曲线G（jω）与M轨线和N轨线的交点，就给出了每一频率上闭环频率特性的幅值M和相角φ。若G（jω）轨迹与M轨线相切，切点处频率就是谐振频率，谐振峰值由M轨线对应的幅值确定。

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2023/2/6控制工程基础例:一单位反馈系统的开环传递函数为

G（jω）轨迹与M轨线和N轨线，如下图所示。闭环频率特性曲线如图（b）所示。由于G（jω）轨迹是与M=5dB的轨迹相切，所以闭环频率特性的谐振峰值为=5dB，而谐振频率。此外G（jω）与M=-3dB轨迹交点的频率在1.2~1.4rad/s之间，采用插值计算可大致确定闭环截止频率为

=1.3rad／s。

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2023/2/6控制工程基础非单位反馈系统的闭环频率特性

对于非单位反馈系统，其闭环频率特性可写为

在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画出的轨迹，由轨迹与M轨线和N轨线的交点，就可得到

的某一频率下的幅值和相角，用乘以

就可得到系统闭环频率特性。

2023/2/6控制工程基础系统频域指标

2023/2/6控制工程基础一个典型的由质量-弹簧-阻尼构成的机械系统的质量块在输入力f（t）作用下产生的输出位移为y（t），其传递函数为

系统的频率特性为

该式反映了动态作用力f（t）与系统动态变形y（t）之间的关系，如下图所示。

2023/2/6控制工程基础实质上表示的是机械结构的动柔度，也就是它的动刚度的倒数，即