第4章单相正弦交流电路

4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的有效值和平决值4.3正弦量的相量表示法4.4电阻元件伏安关系的相量形式4.5电感元件伏安关系的相量形式4.6电容元件伏安关系的相量形式4.7基尔霍夫定律的相量形式4.8R、L、C串联电路及复阻抗4.9R、L、C并联电路及复阻抗4.10正弦交流电路中的分析计算4.11正弦交流电路中的功率4.12功率因素的提高4.13串联谐振4.14并联谐振第4章单相正弦交流电路正弦交流电：电压、电流均随时间按正弦函数规律变化1.最大值

正弦量瞬时值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。用大写字母带下标“m”表示,如Um、Im等。4.1.1正弦量的三要素4.1正弦量的基本概念2.角频率

角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数,即3.初相相位：ωt+θ

初相θ：

t=0时的相位

正弦量零值：负值向正值变化之间的零点

若零点在坐标原点左侧，θ>0

若零点在坐标原点右侧，θ<0

在选定的参考方向下,已知两正弦量的解析式为u=200sin(1000t+200°)V,i=-5sin(314t+30°)A,试求两个正弦量的三要素。解：1、u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V所以电压的振幅值Um=200V,角频率ω=1000rad/s,初相θu=-160°。例12、i=－5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t-150°)A所以电流的振幅值Im=5A,角频率ω=314rad/s,初相θi=-150°。

1、φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度U1达到振幅值后，U2需经过一段时间才能到达，U1越前于U22、φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度U1滞后U23、φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相4、φ12=θ1-θ2=π,称这两个正弦量反相5、φ12=θ1-θ2=,称这两个正弦量正交例2已知求u和i的初相及两者间的相位关系。解：

所以电压u的初相角为-125°,电流i的初相角为45°。表明电压u滞后于电流i170°。分别写出图中各电流i1、

i2的相位差,并说明i1与i2的相位关系。1、由图知θ1=0,θ2=90°,φ12=θ1-θ2=-90°,表明i1滞后于i290°。2、由图知θ1=θ2,φ12=θ1-θ2=0,表明二者同相。3、由图知θ1-θ2=π,表明二者反相。4、由图知θ1=0,,表明i1越前于。

思考题1、已知则Im=_____A，ω=_____rad/s，f=_____Hz，T=_____s，θi=_____弧度。

2、一个工频正弦电压的最大值为311V，在t=0时的值为－220V，试求它的解析式。

3、三个正弦量i1、i2和

i3的最大值分别为1A、2A和3A。若i3的初相角为60°，i1较i2超前30°，较i3滞后150°，试分别写出这三个电流的解析式（设正弦量的角频率为ω

）。4.2.1定义交流电的有效值是根据它的热效应确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等,则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值,用大写字母表示,如I、

U等。1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。

2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I的数值叫做交流I的有效值4.2正弦量的有效值和平决值交流电通过同样的电阻R，在一个周期内所产生热量：根据定义，这两个电流所产生的热量应相等，即一个周期内直流电通过电阻R所产生的热量为：例1

电容器的耐压值为250V,问能否用在220V的单相交流电源上？

解：因为220V的单相交流电源为正弦电压,其振幅值为311V,大于其耐压值250V,电容可能被击穿,所以不能接在220V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水平（耐压值）,要按最大值考虑。一正弦电压的初相为60°,有效值为100V,试求它的解析式。

解因为U=100V,所以其最大值为则电压的解析式为例2思考题

1、用电流表测得一正弦交流电路中的电流为10A，则其最大值Im=_____A。

2、一正弦电压的初相为60°，在t=T/2时的值为－465.4V，试求它的有效值和解析式。4.3.1复数简介1.复数表达式

4.3正弦量的相量表示法2.复数运算法则复数的代数形式

(2)复数的三角形式(3)复数的指数形式(4)复数的极坐标形式解：A1的模（在第四象限）辐角

(在第二象限)则A2的极坐标形式为A2的模例1A1=5-36.9°则A1的极坐标形式为

辐角写出复数A1=4-j3,A2=-3+j4的极坐标形式。图4.10正弦量的复数表示4.3.2正弦量的相量表示法例2

已知同频率的正弦量的解析式分别为i=10sin(ωt+30°),,写出电流和电压的相量,并绘出相量图。解：由解析式可得思考题写出下列各正弦量对应的向量，并绘出向量图。2、已知如图4.12所示，判断下列表达式的正误。1、电压与电流的关系电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系2)电阻元件上电流和电压之间的大小关系若4.4电阻元件伏安关系的相量形式3)电阻元件上电流和电压之间的相位关系例1一电阻R=100Ω,R两端的电压求(1)通过电阻R的电流IR和iR。

(2)电阻R接受的功率PR。

(3)作的相量图。所以

3、相量图如图所示。

解1、因为思考题

1、以知电阻R=10Ω，关联参考方向下，通过电阻的电流i=1.41sin(t+60)A。求（1）uR及UR。（2）电阻接受的功率P。

2、一电阻R接到f=50Hz，的电源上，接受的功率为200W。求（1）电阻值R。（2）电流。（3）作电流、电压向量图。

1、瞬时关系XL称为感抗,当ω的单位为1/s，L的单位为H时，XC的单位为Ω。

4.5电感元件伏安关系的相量形式

电感元件上电压较电流超前90°2.相位关系3、瞬时功率4、平均功率例1已知一个电感L=2H,接在的电源上,求XL。通过电感的电流iL。(3)电感上的无功功率QL。

（1）（2）（3）解：思考题1、判断下列表达式的正（√）误（×）：（选定电感元件的电流与电压为关联参考方向）（1）uL=ωLIL（）（2）UL=ωLIL（）（3）uL=ωLiL（）

（4）（）

2、已知L=0.1H。试求XL

和并绘出电压、电流向量图。1、瞬时关系2、大小关系4.6电容元件伏安关系的相量形式其中XC称为容抗,当ω的单位为1/s，C的单位为F时，XC的单位为Ω3、相位关系4、瞬时功率5、平均功率

已知一电容C=50μF,接到220V,50Hz的正弦交流电源上,求

(1)XC。

(2)电路中的电流IC和无功功率ＱＣ。

(3)电源频率变为1000Hz时的容抗。例1解

(1）(2)(3)思考题1、一电容C=31.8F，外加电压为在电压和电流为关联参考方向时，求XC、、iC、QC，并作出相量图。2、一高压电缆的电容C=10F，外加电压为求在关联参考方向下的电流及储存的最大电场能量。4.7.1基尔霍夫定律的相量形式一、KCL定律

二、KVL定律

4.7基尔霍夫定律的相量形式

例1如图4.27（a）、(b)所示电路中,已知电流表A1、A2、A3都是10A,求电路中电流表A的读数。解：设端电压(1)选定电流的参考方向如图(a)所示,则(与电压同相)（滞后于电压90°）电流表A的读数为。注意:这与直流电路是不同的,总电流并不是20A。(2)选定电流的参考方向如图(b)所示,则电流表A的读数为10A。由KVL所以电压表V的读数为

选定i、u1、u2

、u3的参考方向如图(b)所示,则由KCL电流表A的读数为50V。一、电压与电流的关系4.8R、L、C串联电路及复阻抗1.电感性电路:XL>XC

此时X>0,UL>UC。阻抗角φ>0。

2.电容性电路:XL<XC

此时X<0,UL<UC。阻抗角φ<0。

3.电阻性电路:XL=XC

此时X=0,UL=UC。阻抗角φ=0。二、电路的三种情况

有一RLC串联电路,其中R=30Ω,L=382mH,C=39.8μF,外加电压试求

(1)复阻抗Z,并确定电路的性质;(2);;

(3)绘出相量图。例1所以此电路为电感性电路。解（1）(2)(3)相量图如图4.35所示。思考题如图所示为RC串联电路，已知R=10Ω，

求XC。一、RLC并联电路的电压、电流关系4.9R、L、C并联电路及复导纳Z的实部为R,称为“电阻”,Z的虚部为X,称为“电抗”,它们之间符合阻抗三角形。图4.30阻抗三角形二、复导纳复阻抗的倒数叫复导纳,用大写字母Y表示,即在国际单位制中,Y的单位是西门子,用“S”表示,简称“西”。由于Z=R+jX,所以

复导纳Y的实部称为电导,用G表示;复导纳的虚部称为电纳,用B表示,由上式可知复导纳的极坐标形式为|Y|为复导纳的模,φ′为复导纳的导纳角,所以有已知加在电路上的端电压为u=311sin(ωt+60°)V,通过电路中的电流为求|Z|、阻抗角φ和导纳角φ′。解：电压的相量为例1例2

图4.45所示为RLC并联电路,已知端电压为并联电路的复导纳Y;(2)各支路的电流和总电流(3)绘出相量图。

解选u、i、iR、iL、iC的参考方向如图所示。

1、判断下列叙述的正误（1）电路中的电压一定越前电流为φ角。

（2）同一电流中的阻抗角和导纳角

相差180°。

（3）电路的导纳角等于总电流的初相角与总电压的初相角，即φ=θi-θu.

思考题一、网孔法4.10正弦交流电路的分析计算二、节点法

图4.52所示电路中,已知解：选定各支路电流、、和网孔电流、的参考方向如图所示,选定绕行方向和网孔电流的参考方向一致。列出网孔方程为例1

图所示电路中已知数据同例4.30,试用节点法求各支路电流。

解以b点为参考节点,各支路电流参考方向如图所示例2一、电路基本元件的功率1、电阻元件的功率

2、电感元件的功率

4.11正弦交流电路的功率3、电容元件的功率二、二端网络功率1、瞬时功率

我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功率”,或称为“有功功率”，用字母“P”表示,即瞬时功率波形图2、有功功率3、无功功率4、视在功率功率三角形5、功率三角形已知40W的日光灯电路如图4.56所示,在=220V的电压之下,电流值为I=0.36A,求该日光灯的功率因数cosφ及所需的无功功率Q。例1解：由于是电感性电路,所以φ=60°电路中的无功功率为思考题下图所示为两阻抗串联电路，已知Z１＝60+j30Ω，测得

U=220V,I=1A，电路的总功率为P=200W，求Z0功率因数低引起的不良后果如下：(1)电源设备的容量不能得到充分的利用。(2)增加了线路上的功率损耗和电压降。1、提高功率因数的意义2、提高功率因数的方法4.12功率因数的提高并联电容前后公式变化由图可以看出又因代入上式可得即得解得如图所示为一日光灯装置等效电路,已知P=40W,U