第七节样条插值

§7三次样条插值上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。1设在区间[a,b]上取n+1个节点a=x0<x1<…<xn=b,其对应的函数值为f(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n),现求一定义在[a,b]上的函数S(x),使其满足：1)S(x)在每一个小区间[xi-1,xi],(i=1,2,…,n)上为三次多项式,2)S(x)在[a,b]上二阶连续可微,即S(x)∈C2[a,b],3)S(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n),则称S(x)为f(x)的三次样条插值函数.根据S(x)在[a,b]上二阶导数连续，在节点xj(j=

1,,2,n−

1)

L处应满足连续性条件:2通常可在区间[a,b]端点x

0

=a,xn

=b

上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。常见的有以下三种：1°已知两端的一阶导数值，即2°两端的二阶导数已知，即其特殊情况，称为自然边界条件。3为确定S(x)在各区间上的表达式,自然会想到前节介绍的分段埃尔米特插值.在每一小区间上,分段埃尔米特插值也恰为三次多项式,不过在那里,f´(xi)=y´i为已知的.如果能利用S(x)在[a,b]上二阶连续可微将y´i确定,那么由(6.6),S(x)便可唯一地表示出来了.为此先记mi=f´(xi),(i=0,1,2,…,n),在区间[xi-1,xi]上,

S(x)的表达式为：3°当f(x)是以xn

−x0为周期的周期函数时，则要求

S(x)

也是周期函数。这时边界条件应满足:而此时yn

=y0

,这样确定的样条函数S(x)，称为周期样条函数三转角方程4样条插值函数的建立记hi-1=xi-xi-1,求S(x)在[xi-1,xi]上的二阶导函数S”(x)5再利用S(x)在[xi,xi+1]上的表达式可计算出由S(x)二阶连续可微,即S''(xi-)=S''(xi+),得记：将上式整理得方程组6这是关于n+1个未知量mi,(i=0,1,…,n)的n-1个线性方程组,该方程组有无穷多组解,在实际问题中,往往根据具体情况补充两个附加条件—通常称为端点条件,便可唯一确定一组解.常见的端点条件有：1)曲线在两端点x0,xn处的导数值为已知的,即f´(x0)=m0,

f´(xn)=mn,方程组为n-1个未知数,n-1个方程,有唯一解.2)函数f(x0)在两端点x0,xn处的二阶导数为0,

即f“(x0)=f”

(xn)=0,即S"(x0)=S

"(xn)=0由S"(x0+

)=0可得7得方程组也有唯一解.由S"(xn-

)=0可得3)周期端点条件(当f(x0)=f(xn)时)：S(x0)=S(xn),S´(x0)=S´(xn),S"(x0)=S"(xn)于是有：8与前面n-1个方程联立,也可唯一地解出m0,m1,…,mn.对于前两种端点条件所对应的方程组可化为下列称之为三对角方程组的形式：该方程组的系数矩阵具有严格对角优势(对角线元素的绝对值大于该行其它元素绝对值之和),因而是非奇异的,所以方程组有唯一的解,其解法可用追赶法进行.9最后,把计算三次样条函数的步骤归纳如下：(1)按所给的边界条件及所给节点(xi,yi)计算i,μi,di(2)在给定的边界条件下解方程组(6.27)计算出mi

(i=0,1,2,…,n)将所求得的mi代入分段插值公式,求出各小区间[xi,xi+1]上的样条函数Si(x),(4)计算插值区间[a,b]上的样条插值函数S(x)的值.10三弯矩方程:三次样条插值函数

S(x)可以有多种表达方法，有时用二阶导数值S“

(xj

)=Mj

(j=

0,

1,,..n)表示使用更方便。Mj在力学上解释为细梁在xj截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称三弯矩方程。由于S(x)在区间[x

j,xj+1],上是三次多项式，故S"

(x)在[x

j,xj+1]上是线性函数，可表示为对S"(x)两次积分,并利用S(xj

)=yj,S(xj+1

)=yj+1,可定出积分常数，于是得11(j=0,1,….,n-1)1212对

S(x)求导得由此可求得13类似地可求出S(x)在区间[x

j,xj+1],上的表达式，从而得利用S'(xj−0)=S'(xj

+

0)

可得其中λ

j

µ

j,由前面所示，而14只要加上的任一种边界条件就可得到三弯矩Mj的方程组，例如边界条件1°，则得到端点方程为若边界条件为2°，则端点方程为同样通过追赶法，可求出三弯矩方程Mj的解(

j=0

1,,,n)

，代入则得到三次插值样条函数

S(x)

。15

样条插值的收敛性对三次样条函数,当插值节点逐渐加密时,不但样条函数收敛于被插值函数本身,而且其导函数也收敛到被插函数的导函数,这一性质比多项式插值要优越得多.关于样条函数的收敛性的证明这里不再详细讨论,只给出如下定理：定理6.5

设函数f(x)C4[a,b],对给定的分划

Δ:a=x0<x1<…<xn

=bSΔ(x)为分划Δ上的三次样条插值函数,则当

h=max|xi+1-xi|时(i=0,1,…n