第七章压杆稳定

第七章压杆稳定

第一节压杆稳定的概念现象:压杆保持直线平衡状态→直线平衡状态不稳定→压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳，也称屈曲。

从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值，称为临界载荷或临界力，用Fcr表示。压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效的又一种失效形式。

当压杆的材料、尺寸和约束等情况确定时，临界力是一个确定的值。可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。例:内燃机挺杆、活塞杆、连杆、桁架中的压杆、建筑物中的柱.第二节细长压杆的临界力一、两端铰支细长压杆的临界力

微分方程(c)的一般解为边界条件其中xFlxyEIw=w(x)FxyFM(x)_FF若则应可得这就是两端球铰支承的细长压杆的临界力计算公式，也称欧拉公式弯曲将发生在抗弯刚度最小的纵向平面内时二、其它支承情况下细长压杆的临界力

1.一端固定，一端自由

2.两端均为固定支座的压杆

3.一端固定，一端铰支式μl中称为相当长度，μ称为长度系数.FlFF2lF0.5lF0.7l统一写成铰支点处：即为挠曲线拐点μl长的两端铰支压杆达到临界状态临界力为……此时压杆将要失稳例7-1由压杆挠曲线的近似微分方程，导出一端固定，另一端铰支压杆的欧拉公式

FFQxxyyl解:根据挠曲线的近似微分方程可得：令得该微分方程的通解为：转角方程为：代入边界条件得求解该齐次线性方程组。因为A、B和Q/F不能同时等于零，即要求上述齐次线性方程组必须有非零解，所以其系数行列式应等于零：展开得：解此方程求得最小解为（不含零解）kl=4.49Fδxxywl由压杆挠曲线的近似微分方程，导出一端固定，另一端自由的压杆的欧拉公式

解:根据挠曲线的近似微分方程可得：该微分方程的通解为：练习令得转角方程为：代入边界条件回代得:取最小值kl=π/2:第三节欧拉公式的适用范围及经验公式

将临界力Fcr除以压杆的横截面面积A，可以得到压杆的临界应力σcr，再利用惯性半径ρ与惯性矩I之间的关系：则式中λ称为压杆的长细比或柔度。λ是一无量纲的量，它综合反映了压杆支承条件、长度及截面形状和尺寸的综合影响。引入记号材料服从虎克定律,即σcr<σp时欧拉公式才适用λ

p只与材料有关,Q235的E≈200GPa,σp=196MPa.λ

p≈100通常将λ>λp的杆称为大柔度杆对于λ<λp的压杆，一般使用经验公式，常用的经验公式有直线公式和抛物线公式。计算临界应力的直线公式为：式中，a、b为与材料性质有关的常数，可查表得。适用直线公式的压杆，λ有一个最低限，否则会出现σcr>σs或σcr>σb的情况。对于塑性材料制成的压杆，所对应的应力等于屈服点，所以在经验公式中，令σcr=σs，得

这就是用直线公式的最小柔度。对于钢Q235的a=304MPa,b=1.12MPa,σs=235MPa，代入上式得工程实际中，柔度介于λs和λp之间的这一类压杆称为中柔度压杆。而对于λ<λs的短压杆，称为小柔度杆。这一类压杆将因压缩引起屈服或断裂破坏，属于强度问题。所以应该将屈服点（塑性材料）或抗压强度极限（脆性材料）作为临界应力。工程中所用的抛物线经验公式，就是将临界应力与柔度表示为下面的抛物线关系：式中a1与b1也是与材料有关的常数。表示临界应力随压杆柔度变化的情况.λσcrλsλpσpσsABCD临界应力总图例题如图所示的压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但两者的长度和约束都不相同。（1）分析哪一根杆的临界力较大。（2）若d=160mm，E=205GPa，计算两杆的临界力。F5mF7m解（1）计算柔度比较两者的柔度可知，两端固支的压杆具有较高的临界压力。对于两端固支的压杆，λ<100，该杆属于中柔度杆，应用直线经验公式计算其临界力：(2)计算两杆的临界力。对于两端铰支的压杆，因为λ>100，所以该杆属于大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力：用Q235钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束如图所示，其中(a)为正视图，(b)为俯视图。在A、B两处用螺栓夹紧。已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa，求此杆的临界力。例7-3解：压杆在A、B两处的连接不同于球铰约束。在正视图x～y平面内失稳时，A、B两处可以自由转动，相当于铰链约束；在俯视图x～z平面内失稳时，A、B两处不能自由转动，可简化为固定端约束。FAhBFhbFAbBFlxyxzλz>λy故压杆将在正视图平面内失稳，对于Q235钢，λz>λp=100，属于大柔度杆，可用欧拉公式计算其临界：在正视图平面内：在俯视图平面内：平面桁架如图所示,求桁架的临界载荷力Pcr.已知材料λp=100，E=200GPa，杆截面直径d=40mmAFAyF1F2FAyCPDB13451mAFBFAx1m2解：由整体平衡求约束反力由A点平衡求杆1、2受力，杆1受压，计算其临界力：λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：练习：支架如图所示,求其临界载荷力Fcr.已知AC=CB=1m，材料λp=100，E=200GPa，CD杆截面直径d=40mmACB45°FDACFAxB45°yxFAyFCF解：CD为压杆，由AB平衡求CD受力λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：练习：用Q235钢制成的工字形（I16.）截面杆l=1m，一端固定一端自由，材料的弹性模量E=200GPa，λp=100，求此杆的临界力。解（1）计算柔度，判断柔度范围λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：练习：用Q235钢制成的空心圆形截面杆l=1m，D=20mm，d=12mm，一端固定一端铰支，材料的弹性模量E=200GPa，λp=100，求此杆的临界力。解：计算柔度，判断柔度范围λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：第四节其它形式构件的稳定问题

工程中还有很多其它构件也存在稳定问题。如受外压作用的薄壁圆筒，有时管壁中的应力还远远没有达到屈服点时，圆环形截面会变成椭圆形。与此类似，狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会发生侧向弯曲和绕轴线的扭转。这些都是稳定性问题。其临界载荷都可以通过弹性力学方法推导求得.qF对于受弯工字形截面梁，其下翼缘主要承受压应力，因此可看成是支承在腹板上的受压薄板，当压应力达到一定值，受压翼缘就会发生波形翘曲；同样，主要