流体力学第6章(7-11节)教学教材

第七节理想流体的旋涡(xuánwō)运动如流体微团的旋转角速度ω≠0，则是有旋运动，也称为旋涡运动。理想流体的流动可以是有势的，也可以是有旋的。但粘性流体的流动一般是有旋的。第七-十节讲述理想不可(bùkě)压缩流体的旋涡运动，涉及的基本概念及定理有：涡线、涡管和涡束；涡通量和速度环量；斯托克斯定理；汤姆逊定理；亥姆霍兹定理；毕奥-沙伐尔公式；卡门涡街。第一页，共64页。一、涡线、涡管和涡束1.涡线定义：涡线是旋涡场中一条曲线，曲线上各点处的旋转(xuánzhuǎn)角速度矢量都与这一曲线相切。涡线的微分方程：第二页，共64页。2.涡管定义：在旋涡场中取一非涡线的闭曲线，通过这一闭曲线上每点作涡线，这些涡线形成了一封闭管状曲面，称为涡管。与涡管垂直(chuízhí)的断面称为涡管断面。微小断面的涡管称为微元涡管。第三页，共64页。3.涡束涡管内充满着作旋转(xuánzhuǎn)运动的流体称为涡束，微元涡管里的涡束称为微元涡束。速度场速度流线流线的微分方程流管流束过流断面旋涡场旋转角速度涡线涡线的微分方程涡管涡束涡管断面表征速度(sùdù)场和旋涡场的常用概念第四页，共64页。涡通量J(旋涡(xuánwō)强度)微元涡管内的涡通量:二、涡通量和速度(sùdù)环量如果把旋转角速度比拟(bǐnǐ)成速度，通过曲面的涡通量与通过一曲面的流量相类似。非涡管断面通过任一有限曲面的涡通量为：第五页，共64页。2.速度环量Γ定义：某一瞬时在流场中取任意封闭曲线，在曲线上取一微元线段(xiànduàn)，速度在的切线上的分量沿闭曲线的线积分，即为沿该闭曲线的速度环量。第六页，共64页。一、斯托克斯定理(dìnglǐ)第八节理想流体旋涡运动的基本(jīběn)定理斯托克斯（Stokes）定理:沿封闭曲线(qūxiàn)的速度环量等于该封闭曲线(qūxiàn)内所有涡通量的和。该定理将速度场和旋涡场之间联系起来。第七页，共64页。证明(zhèngmíng)：先证明微元封闭曲线(qūxiàn)的斯托克斯定理。第八页，共64页。证明了微元封闭曲线的斯托克斯定理，即沿微元封闭曲线的速度环量等于(děngyú)通过该曲线所包围的面积的涡通量。第九页，共64页。再证明此定理适用于有限大封闭曲线(qūxiàn)所包围的单连通域。第十页，共64页。可将斯托克斯定理推广至空间单连通(liántōng)区域。对于(duìyú)复连通区域，需要做一些变换。第十一页，共64页。因为(yīnwèi)得到(dédào)由斯托克斯定理(dìnglǐ)，有复连通区域的斯托克斯定理可以描述为：通过复连通域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与所有内周线的速度环量总和之差。第十二页，共64页。例试证明均匀(jūnyún)流的速度环量等于零。证明(zhèngmíng)：流体以等速度v∞水平(shuǐpíng)方向流动，首先求沿矩形封闭曲线的速度环量其次求圆周线的速度环量同样可以证明均匀流沿任何其它形状的封闭曲线的速度环量等于零。第十三页，共64页。二、汤姆逊定理(dìnglǐ)和亥姆霍兹定理(dìnglǐ)流体线：在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始终(shǐzhōng)是由同样的流体质点所组成。研究旋涡(xuánwō)的随体变化规律的途径直接研究涡通量的随体变化规律先直接研究速度环量的随体变化规律，然后由斯托克斯定理求出涡通量的随体变化规律stokes√第十四页，共64页。1、汤姆逊（Thomson）定理(dìnglǐ)正压的理想流体在有势质量力的作用下沿任何封闭流体线的速度(sùdù)环量不随时间变化，即。第十五页，共64页。证明(zhèngmíng)：流线体ⅠⅡⅠ式积分(jīfēn)为：第十六页，共64页。理想流体的运动(yùndòng)微分方程为：Ⅱ式积分(jīfēn)：质量(zhìliàng)力有势第十七页，共64页。因此(yīncǐ)正压流体，定义(dìngyì)压力函数有因为v、W、P均是时间空间(kōngjiān)坐标的单值连续函数速度环量是常数，就证明了汤姆逊定理。第十八页，共64页。汤姆逊定理(dìnglǐ)得出结论：对于理想的正压流体，在有势质量力作用下，旋涡不生不灭。汤姆逊定理的应用——平面(píngmiàn)翼型起动涡的问题。第十九页，共64页。1）亥姆霍兹第一(dìyī)定理在同一时刻，通过涡管任意断面的涡通量相同。2、亥姆霍兹（Helmholtz）定理(dìnglǐ)包括了三个基本定理(dìnglǐ)，说明了旋涡的基本性质。第二十页，共64页。证明(zhèngmíng)：在涡管表面(biǎomiàn)形成一空间封闭曲线ABB’A’A因为(yīnwèi)所以第二十一页，共64页。说明沿包围涡管任一断面封闭曲线(qūxiàn)的速度环量等于零。再由斯托克斯定理，这些速度环量都等于穿过这些封闭曲线(qūxiàn)所包围的断面的涡通量，因此，涡管各断面上的涡通量都相同，即亥姆霍兹第一(dìyī)定理说明涡管在流体中既不能开始，也不能终止。第二十二页，共64页。涡管在流体中存在(cúnzài)的形式：a.首尾相连，形成(xíngchéng)封闭的涡环或涡圈；b.两端(liǎnɡduān)可以终止于边壁上（固体壁面或自由面）第二十三页，共64页。2）亥姆霍兹第二定理正压的理想流体在有势质量力作用下，组成(zǔchénɡ)涡管的流体质点将始终组成(zǔchénɡ)涡管（涡管永远保持为由相同流体质点所组成(zǔchénɡ)）。第二十四页，共64页。沿这一闭曲线(qūxiàn)为边界的曲面的涡通量也将为0，表明这一曲面仍然是涡管表面的一部分，即构成涡管表面的流体质点始终构成涡管表面。证明(zhèngmíng)：在图中的涡管表面取一闭曲线(qūxiàn)K，沿曲线(qūxiàn)K的速度环量为0。由汤姆逊定理，相同流体质点构成的封闭曲线的环量不变化，仍然是0。第二十五页，共64页。3）亥姆霍兹第三(dìsān)定理：正压的理想流体在有势质量力作用下，涡管强度不随时间(shíjiān)而变化。

证明(zhèngmíng)：作任意封闭曲线L包围涡管，根据斯托克斯定理，沿曲线L的速度环量等于通过该曲线所围面积的涡通量。根据汤姆逊定理，速度环量不随时间变化，因此，涡管的旋涡强度不随时间变化。第二十六页，共64页。结论(jiélùn)：汤姆逊定理和亥姆霍兹三个定理完整地描述了旋涡运动(yùndòng)规律：正压理想流体在有势质量力作用下，组成涡线和涡管的流体始终组成涡线和涡管，在运动(yùndòng)过程中，涡管强度保持不变。应注意：上述运动规律的适应性以及(yǐjí)实际流体的运动情况。第二十七页，共64页。第九节旋涡的诱导(yòudǎo)速度背景：旋涡集中于一条曲线附近的区域，该区域以外(yǐwài)流场是无旋的，可认为旋涡集中分布在断面积为A的涡管内，涡管外形成诱导速度场。计算诱导速度(sùdù)借用电磁场的比奥-沙伐尔公式：磁场强度电流强度第二十八页，共64页。强度为Γ的任意形状涡束对于(duìyú)任意点P的诱导速度为：速度(sùdù)方向由右手法则确定。长度为l的任意形状(xíngzhuàn)涡束对于任意点P的诱导速度为：点P到dl的距离第二十九页，共64页。一、直线(zhíxiàn)涡束的诱导速度直线涡束AB在P点产生(chǎnshēng)的诱导速度为：第三十页，共64页。半无限(wúxiàn)长涡束：无限(wúxiàn)长涡束：第三十一页，共64页。二、平面涡层的诱导(yòudǎo)速度在无限流场中布置一涡列，这一涡列由多个无限长涡束无间隔地直线(zhíxiàn)排列而成，称为涡层。设单位长度(chángdù)的旋涡密度为γ(x’)，则dx’上的涡通量为：微段dx’上的涡通量dΓ对P点的诱导速度为：第三十二页，共64页。在整个涡层AB上积分可得点P的诱导(yòudǎo)速度为：若γ(x’)为定值，且涡层沿x轴伸展到±∞，则P的诱导(yòudǎo)速度为：第三十三页，共64页。实际流体绕流一静止圆柱时，流体在圆柱体表面分离后，将形成旋转方向相反的排列(páiliè)规则的两列旋涡流向下游，形成卡门涡街。第十节

卡门涡街第三十四页，共64页。驻点(zhùdiǎn)分离点第三十五页，共64页。第三十六页，共64页。第十一节空间(kōngjiān)势流一、空间(kōngjiān)势流的势函数二、轴对称流动(liúdòng)的流函数四、圆球绕流五、轴对称体绕流三、几个基本轴对称流动的流函数第三十七页，共64页。一、空间(kōngjiān)势流的势函数势函数Φ与速度(sùdù)之间的关系式为：将上述等式代入不可压缩(yāsuō)流体的连续性方程：得到势函数的拉普拉斯方程：边界条件：物面上无穷远处

第三十八页，共64页。1、空间(kōngjiān)均匀流建立直角坐标系(x,y,z)，设无穷远来流速度(sùdù)v∞与z轴平行，则速度(sùdù)分量为：势函数为：如换成柱坐标系（r,θ,z）和球坐标系(R,θ,β)，则第三十九页，共64页。

x=rcosφ

y=rsinφz=z柱坐标系(r,θ,z)与直角坐标系(x,y,z)的转换(zhuǎnhuàn)关系：第四十页，共64页。球坐标系(R,θ,β)与直角坐标系(x,y,z)的转换(zhuǎnhuàn)关系：x=Rsinθcosβy=Rsinθsinβz=Rcosθ第四十一页，共64页。2、空间(kōngjiān)点源（点汇）建立球坐标系(R,θ,β)，在坐标原点处放置(fàngzhì)一个空间点源（点汇），流量为q，则速度分量为：由于(yóuyú)球坐标系下势函数Φ的梯度公式为：对应方向的单位矢量得到第四十二页，共64页。因此(yīncǐ)第四十三页，共64页。3、空间(kōngjiān)偶极子依据(yījù)势流叠加原理，P点处的势函数为第四十四页，共64页。满足下面关系式才能(cáinéng)构成偶极子流，即M为常数(chángshù)，称为偶极子的强度或偶极矩偶极子的势函数为：第四十五页，共64页。二、轴对称流动(liúdòng)的流函数轴对称流动：指流体在过某空间固定轴的所有平面上的运动情况完全相同的流动。因此，只需要研究其中一个平面上的流动就可以知道整个(zhěnggè)空间内流体的运动情况。常见的轴对称流动有：圆管流动、沿轴向流经回转体的流动、水轮机叶轮内的流动。第四十六页，共64页。1、柱坐标系(r,θ,z)的流函数(hánshù)Ψ(r,z)柱坐标系中，不可(bùkě)压缩流体轴对称流动的连续性方程为：定义流函数(hánshù)Ψ(r,z)，满足第四十七页，共64页。2、球坐标系(R,θ,β)的流函数(hánshù)Ψ(R,θ)球坐标系中，不可压缩流体(liútǐ)轴对称流动的连续性方程为：定义流函数(hánshù)Ψ(r,z)，满足第四十八页，共64页。3、流函数(hánshù)的性质1）等流函数(hánshù)线就是流线；2）在通过包含对称轴线的流动平面上，任意两点的流函数值之差的2π倍，等于(děngyú)通过这两点间的任意连线的回转面的流量。证明：通过回转面的流量为第四十九页，共64页。因为(yīnwèi)所以(suǒyǐ)第五十页，共64页。三、几个(jǐɡè)基本轴对称流动的流函数1、均匀(jūnyún)流有一速度为v∞的空间均匀流，取z轴为流动方向(fāngxiàng)，在球坐标系(R,θ,β)中为一轴对称流动，流动参数与β无关。第五十一页，共64页。式对R积分(jīfēn)，得到将上式对θ求导，得到(dédào)与②式比较(bǐjiào)，得到，即①②①令，最终空间均匀流的势函数为第五十二页，共64页。2、空间(kōngjiān)点源（点汇）设在坐标原点有一点(yīdiǎn)源，强度为q。空间点P(R,θ,β)的速度矢量为积分(jīfēn)得到第五十三页，共64页。3、空间(kōngjiān)偶极子空间(kōngjiān)偶极子的势函数为积分(jīfēn)得到第五十四页，共64页。四、圆球绕流奇点法：将简单(jiǎndān)势流如均匀流、点源（汇）、偶极子等进行叠加，对较复杂的势流问题进行求解的方法。第五十五页，共64页。零流线方程(fāngchéng)为：球面(qiúmiàn)方程球面(qiúmiàn)的半径偶极子的强度因此，流函数为第五十六页，共64页。势函数为流场中速度(sùdù)分布为球面上（R=a）的速度(sùdù)分布为当θ=0，π时，vR=0,vθ=0，即A、B两点为驻点(zhùdiǎn)。第五十七页，共64页。圆球绕流的表面(biǎomiàn)速度的最大值圆柱绕流的表面(biǎomiàn)速度的最大值球面压强分布(fēnbù)，由伯努利方程求出压强系数压强对称分布，因此球面所受的合力为零。第五十八页，共64页。五、轴对称体（回转(huízhuǎn)体）绕流依然采用奇点法分析，需要寻找适当的基本势