泛函分析讲解学习

泛函分析基础信息(xìnxī)与电气工程学院邹海林2014.2第一页，共112页。泛函分析基础1、什么是泛函分析？20世纪20年代形成的数学分支，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间(kōngjiān)上的算子和极限理论。第二页，共112页。现代(xiàndài)泛函分析的奠基人波兰数学家巴拿赫波兰数学家在泛函分析和拓扑学等方面取得了重要成就。其中的领军人物是巴拿赫(StefanBanach1932年巴拿赫出版(chūbǎn)了《线性算子论》一书，建立了巴拿赫空间上线性算子理论，证明了一批后来成为泛函分析基础的重要定理，成为泛函分析理论成熟的标志。第三页，共112页。泛函分析的观点和研究手段推动着其他一些数学分析(shùxuéfēnxī)学科的发展，如在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的运用。第四页，共112页。2、为什么给研究生开设泛函分析计算机应用技术解决什么？遇到(yùdào)的问题越来越复杂涉及的知识门类多现代数学的作用越来越突出第五页，共112页。例1：网络技术通信技术计算机技术信号处理技术数学第六页，共112页。例2：信息安全抽象代数密码学理论数理逻辑第七页，共112页。例3：第八页，共112页。例4：信号的稀疏(xīshū)表示理论：视觉皮层(pícéng)对图像的编码模式傅里叶级数(jíshù)小波变换神经生理学的研究第九页，共112页。例4：信号(xìnhào)的稀疏表示理论：X=Dα第十页，共112页。例4：第十一页，共112页。3、泛函分析(fēnxī)基础的基本内容（1）距离空间（2）赋范线性空间（3）内积空间（4）线性算子(suànzǐ)与线性泛函（5）投影与逼近第十二页，共112页。第一章距离(jùlí)空间距离的概念是现实物理世界中物体之间距离关系的本质特征的数学(shùxué)抽象。直线上两点之间的距离三维空间中两个(liǎnɡɡè)向量之间的距离曲面上两点之间的距离……第十三页，共112页。第一章距离(jùlí)空间1.1距离(jùlí)定义设R表示一个非空集合，若其中任意两元素x,y都按一定的规则与一个实数相对应，且满足以下三公理（称为距离公理）：（1）（2）（3）对R中任意3元素x,y,z,有则称为x,y间的距离，称R为距离空间，其中的元素也称为点。第十四页，共112页。例1：设为非空实数集，对其中任意两个实数x,y定义距离：即为通常(tōngcháng)意义下的距离，称欧氏距离。另外(lìnɡwài)，还可以用另一种方式来定义距离：第一章距离(jùlí)空间第十五页，共112页。例2：设为n维实向量全体所构成的空间，在其中可定义距离如下：设为中任意(rènyì)两元素，则即为平面上两点间的通常(tōngcháng)距离。在中也可以定义另一种距离：第一章距离(jùlí)空间第十六页，共112页。例3：用表示定义在[a,b]上所有连续函数的全体，对于任意,可定义距离：第一章距离(jùlí)空间第十七页，共112页。例4：用表示[a,b]上所有平方可积函数的全体，即对任意,都有则可在中定义距离(jùlí)，对于任意,可定义距离(jùlí)：第一章距离(jùlí)空间第十八页，共112页。例5：表示满足(mǎnzú)的实数列的全体，则其中任意两点间的距离(jùlí)可定义如下：第一章距离(jùlí)空间第十九页，共112页。1.2收敛(shōuliǎn)概念设R为距离空间，为R中点列，如果当时，数列则称点列按距离收敛于x,记为或此时，称为收敛点列，x为的极限。1.2.1收敛(shōuliǎn)点列第一章距离(jùlí)空间第二十页，共112页。性质(xìngzhì)：定理1.1在距离空间(kōngjiān)中，收敛点列的极限是惟一的。定理1.2

在距离空间中，距离是两个变元x,y的连续函数。定理1.3

设为距离空间R中的收敛点列，则必有界。即存在有限数使所有都有第一章距离(jùlí)空间第二十一页，共112页。1.2.2

Cauchy列设为距离(jùlí)空间R中的收敛点列，则存，使因为(yīnwèi)所以(suǒyǐ)，当时，有使上式(*)成立的点列称为Cauchy列，或基本列。（*）第一章距离空间第二十二页，共112页。1.3距离(jùlí)空间的完备性定义1：在距离空间(kōngjiān)R中，若任一Cauchy列都在R中有极限，则称距离空间(kōngjiān)是完备的。定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由R到R1的映射T，使一切有其中分别为R，R1上的距离，则称T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为等距。第一章距离(jùlí)空间第二十三页，共112页。距离空间(kōngjiān)的完备化定理：对每个距离空间R，必存在(cúnzài)一个完备的距离空间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是惟一的。第一章距离(jùlí)空间第二十四页，共112页。1.4距离(jùlí)空间的稠密性与可分性定义：设A，B为距离空间R中的子集。若对任意的总存在B中的点列收敛于x，则称B在A中稠密，简称B在A中稠。稠密性：第一章距离(jùlí)空间第二十五页，共112页。关于(guānyú)稠密性的两种等价的说法：（1）若B在A中稠，则对任意(rènyì)的及任意(rènyì)的总存在B中的点y，使得反之亦然（2）若B在A中稠，则对任意的，必有反之亦然表示以x为中心，以为半径的小球。第一章距离(jùlí)空间第二十六页，共112页。可分性：定义：距离空间(kōngjiān)R称为可分的，是指在E中存在一个稠密的可列子集。第一章距离(jùlí)空间第二十七页，共112页。问题(wèntí)：1、写出三维空间的几种距离2、距离空间中的开集、闭集？第一章距离(jùlí)空间第二十八页，共112页。1.5距离(jùlí)空间的列紧性（略）第一章距离(jùlí)空间第二十九页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)2.1定义(dìngyì)和例1、线性空间(kōngjiān)的定义：集合E称为实（或复）线性空间，如果：（1）在E内定义了“+”法运算，使对任意的都有且仍E中（交换律）

(a)（结合律）

(b)存在“零元素”，有

(c)存在“逆元素”，有

(d)第三十页，共112页。（2）定义了E中元素与实（复）数域K中的数之间的“数乘”运算(yùnsuàn)，使对任意的都有且仍E中

(a)

(b)

(c)

(d)第二章赋范线性空间(kōngjiān)第三十一页，共112页。2、赋范线性空间(kōngjiān)的定义：设E为实（复）线性空间(kōngjiān)，若对任意的都有一个非负的实数(shìshù)与之对应，且满足则称为x

的范数，E为赋范线性空间，E中的元素称为点。(a)(b)(c)第二章赋范线性空间第三十二页，共112页。由于实数的有序性，可以比较大小，因此范数给了元素一种可以度量(dùliàng)大小的概念。显然，任何(rènhé)赋范线性空间都是距离空间。任意两点x,y之间的距离都可以通过范数来定义（称为由范数导出的距离）：第二章赋范线性空间(kōngjiān)第三十三页，共112页。例1：在中可定义范数或同一(tóngyī)集合可定义不同的距离，在同一(tóngyī)线性空间中，也可以定义不同的范数：

中的距离：第二章赋范线性空间(kōngjiān)第三十四页，共112页。例2：其中(qízhōng)可定义范数并由它导出距离(jùlí)第二章赋范线性空间(kōngjiān)第三十五页，共112页。例3：其中(qízhōng)可定义范数并由它导出距离(jùlí)第二章赋范线性空间(kōngjiān)第三十六页，共112页。例4：由它导出距离(jùlí)其中可定义范数是一切有界数列的全体，按通常数列的加法和数乘运算构成线性空间。第二章赋范线性空间(kōngjiān)第三十七页，共112页。3、Banach空间(kōngjiān)：若赋范线性空间(kōngjiān)按距离是完备(wánbèi)的，则称它为Banach空间。

前面都按范数导出的距离完备，所以他们都是Banach空间。第二章赋范线性空间第三十八页，共112页。2.2按范数收敛(shōuliǎn)1、定义：设E为赋范线性空间，，若则称点列按范数收敛于x，或称强收敛于x，记为

(强)第二章赋范线性空间(kōngjiān)第三十九页，共112页。2、性质(xìngzhì)：在赋范线性空间E中，若强收敛于x，则有下列性质为有界数列是x的连续泛函(b)(a)(c)设则(d)设则（c),(d)说明，在赋范线性空间(kōngjiān)中，线性运算对范数收敛是连续的。第二章赋范线性空间(kōngjiān)第四十页，共112页。2.3有限(yǒuxiàn)维赋范线性空间1、定义：若赋范线性空间E存在有限个线性无关的元素(yuánsù)，使任意的都有则称E为有限(yǒuxiàn)维赋范线性空间，称为该空间的基底，称为x

关于该基底的坐标。第二章赋范线性空间第四十一页，共112页。2、性质(xìngzhì)：(a)设E是有限(yǒuxiàn)维赋范线性空间，则在E上定义的各种范数都相互等价。(b)有限维赋范线性空间(kōngjiān)必完备且可分。

(c)赋范线性空间E为有限维的充要条件是E中的

任意有界闭集是列紧的（即有界闭集中的任一点列都有收敛子序列）。

有限维赋范线性空间最典型的例子就是n维向量空间。第二章赋范线性空间第四十二页，共112页。2.4线性算子(suànzǐ)与线性泛函集合论中，集合与集合的关系称为映射。泛函分析中，把具有一定(yīdìng)性质的元素的集合称为空间，把空间到空间的映射称为算子。通常的算子是指由赋范线性空间(kōngjiān)到赋范线性空间(kōngjiān)的映射，常用T表示。D(T)表示定义域，N(T)表示值域。1、算子第二章赋范线性空间第四十三页，共112页。(1)定义(dìngyì)：设E，E1都是赋范线性空间2.4线性算子(suànzǐ)与线性泛函则称T为线性算子(suànzǐ)。如微分算子、积分算子、由矩阵定义的线性变换等都是线性算子。若对任意及数有(a)第二章赋范线性空间第四十四页，共112页。若对任意当时

，有(b)则称T为连续(liánxù)算子。如范数、有界集上的积分算子、古典分析(fēnxī)中的连续函数等都是连续算子。第二章赋范线性空间(kōngjiān)第四十五页，共112页。若存在正数M，对任意，使(c)则称T为有界算子(suànzǐ)。当T又是线性算子(suànzǐ)时，则称T为有界线性算子(suànzǐ)。

如中的线性变换、闭区间上的积分算子、古典分析中的线性函数等都是有界线性算子。第二章赋范线性空间(kōngjiān)第四十六页，共112页。设算子(suànzǐ)T：，若存在使(d)可逆算子且对任意(rènyì)，当时，有，则称T为可逆算子。如由矩阵和它的逆矩阵所代表的线性变换是互逆的算子(suànzǐ)，函数与反函数也是互逆的算子(suànzǐ)。算子分线性算子和非分线性算子。第二章赋范线性空间第四十七页，共112页。(2)线性算子(suànzǐ)的性质：(a)线性算子T若在某一点连续，则T在D(T)上处处连续。(b)线性算子(suànzǐ)T有界的充要条件是T连续。(c)线性算子(suànzǐ)T有界的充要条件是T连续。(d)有限维赋范线性空间中的一切线性算子均有界（即连续）第二章赋范线性空间第四十八页，共112页。2、线性泛函(1)概念：当算子(suànzǐ)的像集为数域时，称算子(suànzǐ)为泛函。第二章赋范线性空间(kōngjiān)根据前面算子的定义，照样可以定义线性泛函、连续(liánxù)泛函、有界线性泛函等。第四十九页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(2)泛函的例数组,对任意(a)即为上的一个有界线性泛函。因此，对应于不同的数组，都有一个上的有界线性泛函与之对应。泛函的范数可表示(biǎoshì)为：第五十页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(b)(2)泛函的例在上，对任意(rènyì)，作都是上的泛函。第五十一页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(c)(2)泛函的例：表示[a,b]上的所有连续可微函数(hánshù)构成的赋范线性空间。则对任意，作为上的一个线性泛函。第五十二页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(d)(2)泛函的例：定义(dìngyì)是一个(yīɡè)有界泛函。第五十三页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(3)泛函的性质(xìngzhì)(a)设E是赋范线性空间(kōngjiān)，f是E上的线性泛函，则f有界的充要条件是f的零空间(kōngjiān)为E中的完备子空间。第五十四页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(3)泛函的性质(xìngzhì)(b)

设f是

上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的，使得对任意，有且反之(fǎnzhī)，对每一，由上式定义的必是上的有界线性泛函。且第五十五页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(3)泛函的性质(xìngzhì)(c)

设f是上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的使得任意时，有且反之(fǎnzhī)，亦然。第五十六页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(3)泛函的性质(xìngzhì)(d)设f是上的任一有界线(jièxiàn)性泛函，则必存在惟一的使得任意时，有且反之，亦然。第五十七页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(3)泛函的性质(xìngzhì)(e)延拓定理(dìnglǐ)设E为赋范线性空间，L为E的线性子空间，则L上的任一有界线性泛函f，都可以延拓到全空间E上，且保持范数不变。即存在E上的有界线性泛函，满足：当时，；①②第五十八页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)(3)泛函的性质(xìngzhì)(d)存在(cúnzài)定理设E是具有非零元素的赋范线性空间，则E上有足够的非零有界线性泛函存在，至少对每个存在有界线性泛函

，使得第五十九页，共112页。2.4赋范线性空间中的各种(ɡèzhǒnɡ)收敛第二章赋范线性空间(kōngjiān)1、元素(yuánsù)序列的收敛性(a)强收敛设E是赋范线性空间，，若则称元素序列强收敛于x，记为(强)或强第六十页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)2.4赋范线性空间(kōngjiān)中的各种收敛1、元素(yuánsù)序列的收敛性(b)弱收敛设E是赋范线性空间，，若对E上的任一有界泛函f，有则称元素序列弱收敛于x，记为(弱)或弱第六十一页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)2.4赋范线性空间中的各种(ɡèzhǒnɡ)收敛2、算子(suànzǐ)序列的收敛性(a)一致收敛设E，E1是赋范线性空间，(一致)或一致若则称算子序列

一致收敛（或依范数收敛）于T，记为第六十二页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)2.4赋范线性空间(kōngjiān)中的各种收敛2、算子(suànzǐ)序列的收敛性(b)强收敛设E，E1是赋范线性空间，若对任一，有则称算子序列强收敛于T，记为(强)或强第六十三页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)2.4赋范线性空间(kōngjiān)中的各种收敛2、算子(suànzǐ)序列的收敛性(c)弱收敛设E为赋范线性空间，若对每个及E上的任一有界线性泛函f，都有则称算子序列弱收敛于T，记为(弱)或弱第六十四页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)2.4赋范线性空间中的各种(ɡèzhǒnɡ)收敛3、泛函序列(xùliè)的收敛性(a)强收敛设E为赋范线性空间，为E上的有界线性泛函及泛函序列，若则称泛函序列强收敛于f，记为(强)或强第六十五页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)2.4赋范线性空间(kōngjiān)中的各种收敛3、泛函序列(xùliè)的收敛性(a)弱*收敛则称泛函序列弱*收敛于f，记为(弱*)或弱*设E为赋范线性空间，为E上的有界线性泛函及泛函序列，若对每个，有第六十六页，共112页。第二章赋范线性空间(kōngjiān)3、几点结论(jiélùn)（1）上述各种收敛序列的极限都是惟一(wéiyī)的（2）各种序列若强收敛则必弱收敛，反之不一定（3）算子序列若一致收敛（依范数收敛），则必强收敛（4）若把泛函序列作为特殊的算子序列，则泛函序列的强、弱*收敛，分别相当于算子序列的一致收敛和强收敛第六十七页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.1定义(dìngyì)和例1、内积空间(kōngjiān)设K是数域(实或复)，U是K上的线性空间。若对任意的,都有惟一的数与之对应，且满足②①③④则称为x,y的内积，U为内积空间。内积公理第六十八页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)2、内积的性质(xìngzhì)（1）在内积空间(kōngjiān)中，可由内积导出范数Cauchy-Schwarz不等式：由上不等式还可得到第六十九页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)2、内积的性质(xìngzhì)（2）平行四边形公式(gōngshì)在内积空间中，由内积导出的范数满足平行四边形公式第七十页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)2、内积的性质(xìngzhì)（3）极化(jíhuà)恒等式若赋范线性空间中的范数满足平行四边形公式，则可由范数来表示内积特别地，在实空间则有第七十一页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)2、内积的性质(xìngzhì)定理(dìnglǐ)：赋范线性空间成为内积空间的充要条件是它的范数满足平行四边形公式。（4）内积的连续性在内积空间中，内积(x,y)关于两个变元x,y都是连续的，即当时，有第七十二页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3、Hilbert空间(kōngjiān)若内积空间(kōngjiān)U按范数完备,则称U为Hilbert空间，简记为H空间。H空间是一个特殊的Banach空间，特殊性在于它的范数由内积导出。第七十三页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)4、例（1）任意的它们(tāmen)的内积定义为由它导出的范数第七十四页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)4、例（2）其中(qízhōng)定义内积由它导出的范数若为复函数，则定义内积第七十五页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)4、例（3）其中(qízhōng)定义内积由它导出的范数第七十六页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.2正交分解与投影(tóuyǐng)定理1、正交的概念(gàiniàn)定义1：设，若，则称x与y正交记为定义2：设，若x与M中的一切元素正交，则称x与M正交，记为定义3：设，若对任意，恒有，则称M与N正交。第七十七页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.2正交分解与投影(tóuyǐng)定理1、正交的概念(gàiniàn)即定义4：设，则U中与M正交的所有元素的全体称为M的正交补，记为。第七十八页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.2正交分解与投影(tóuyǐng)定理1、正交的概念(gàiniàn)定义5：设M为内积空间U的线性子空间，如果存在，使则称为x

在M上的投影，上式称为关于M的正交分解。第七十九页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.2正交分解(fēnjiě)与投影定理2、性质(xìngzhì)（1）设U为内积空间，，若，则称为内积空间中的“商高定理”（2）设L为内积空间U中的一个稠密子集，若，则x=0（零元素）第八十页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.2正交分解与投影(tóuyǐng)定理2、性质(xìngzhì)（3）设U为内积空间，对任意的，其正交补必为U的闭线性子空间。（4）设U为内积空间,为线性子空间，若为x在M上的投影，则下确界第八十一页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)什么(shénme)是下确界（infimum）？一般说，使成立的所有常数M中，把M的最大值，叫做函数的下确界。什么(shénme)是上确界（supremum）？—最小的上界下确界，即最大的下界。如，第八十二页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3、投影(tóuyǐng)定理设M是H空间的闭子空间，对任意的必存在惟一的，使定理条件(tiáojiàn)中的H空间还可以推广到内积空间！投影定理示意图第八十三页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)1、定义(dìngyì)：3.3正交系、规范(guīfàn)正交系定义1：若在H空间中有一组非零元素其中，任何两个不同元素都正交，即则称它们为正交系。第八十四页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)定义2：若在H空间中的一个正交系，每个元素的范数都为1，则称它们(tāmen)为规范正交系。即，若元素为规范正交系，则1、定义(dìngyì)：3.3正交系、规范正交系第八十五页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)2、例3.3正交系、规范(guīfàn)正交系（1）中，元素(yuánsù)组即为规范正交系。第八十六页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)2、例3.3正交系、规范(guīfàn)正交系（2）中，元素(yuánsù)列即为规范正交系。第八十七页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)2、例3.3正交系、规范(guīfàn)正交系（3）中，规定(guīdìng)内积则三角函数系即为规范正交系。第八十八页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)中，若规定(guīdìng)内积则三角函数(sānjiǎhánshù)系即为规范正交系。3.3正交系、规范正交系第八十九页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3、性质(xìngzhì)3.3正交系、规范(guīfàn)正交系（1）设为H空间中的规范正交系则x在M上的投影为且第九十页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3、性质(xìngzhì)3.3正交系、规范(guīfàn)正交系（2）设为H空间中的规范正交系称为Bessle不等式。则对任一，有即第九十一页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.4完全(wánquán)规范正交系的完全(wánquán)性与完备性1、定义(dìngyì)定义1：若内积空间U中的规范正交系对任意的，有（即不存在与所有正交的非零元素），则称此规范正交系是完全的。第九十二页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.4完全规范(guīfàn)正交系的完全性与完备性1、定义(dìngyì)定义2：若内积空间U中的规范正交系对任意的，都有则称此规范正交系是完备的。上式也称Parseval等式，也称广义商高定理。第九十三页，共112页。第三章Hilbert空间(kōngjiān)3.4完全(wánquán)规范正交系的完全(wánquán)性与完备性2、性质(xìngzhì)定理：设为H空间中的规范正交系，则下述4个命题等价为完全规范正交系设对任意的，Parseval等式成立对任意的，有①②③④第九十四页，共112页。第四章投影与逼近(bījìn)空间4.1内积空间(kōngjiān)中的投影定理设M是内积空间(kōngjiān)U的闭子空间(kōngjiān)，对任意的必存在惟一的，使在内积空间中,x0是x在M中的最佳逼近元素投影定理示意图第九十五页，共112页。第四章投影(tóuyǐng)与逼近在内积空间M中(M∈U),其投影x0是x在M中的最佳逼近(bījìn)元素，即：4.1内积空间(kōngjiān)中的投影定理如何构造最佳逼近元素x0

？第九十六页，共112页。第四章投影(tóu