《地图设计及编绘》第2章

第二章地图的数学基基础第一节地球的大小与形状1地球的形状公元前6世纪，古希腊毕答哥拉斯提出“球形”说公元前4世纪，亚里士多德提出“地圆说”17世纪末，牛顿和惠更斯从力学角度，提出地球是两极略扁的椭球体，称为“地扁说”1873年，利斯廷提出用大地水准面来代表地球的形状；大地水准面是一个物理表面，是地球重力场的几何表示1945年，前苏联的莫洛坚斯基提出用“似大地水准面”来研究地球的形状

人类花去了约二千五百年的时间对地球形状和其大小进行测定，

经历了从“球－椭球－大地水准面”这三个阶段。现在我们认为：地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形的椭球体。

这个不规则的地球体满足不了人们工作的需要，于是人们选择了一个最接近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球体。地球椭球体又称“地球椭圆体”和“地球扁球体”。代表地球大小和形状的数学曲面。以长半径和扁率表示。因它十分迫近于椭球体，故通常以参考椭球体表示地球椭球体的形状和大小。椭圆绕其短轴旋转所成的形体，并近似于地球大地水准面。大地水准面的形状即用相对于参考椭球体的偏离来表示。通常所说地球的形状和大小，实际上就是以参考椭球体的半长径、半短径和扁率来表示。1975年国际大地测量与地球物理联合会推荐的数据为：半长径6378140米，半短径6356755米，扁率1∶298.257。

2地球的大小地球椭球体的大小，由于推算所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同前苏联克拉索夫斯基参考椭球（1954北京坐标系采用）a＝6378245m，扁率＝1：298.3IUGG－75地球椭球（1980国家大地坐标系采用）a＝6378140m，扁率＝1：298.257由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。地球椭球体三要素长轴赤道半径a短轴极半径b扁率f=(a-b)/a国际主要椭球参数椭球名称年代长半径扁率备注德兰博180036756531:334.0海福特191063783881:297.01942年国际第1个推荐值克拉索夫斯基194063782451:298.31967大地坐标系196763781601:298.2471971年国际第2个推荐值1975大地坐标系197563781401:298.2571975年国际第3个推荐值1980大地坐标系197963781371:298.2571979年国际第4个推荐值3地球模型水准面：平静的海水面，重力等位面大地水准面：传统上，将一个假想的、与平静的平均海水面相重合并延伸通过陆地而形成的封闭曲面定义为大地水准面参考椭球：选定了某一个地球椭球的参数后，仅仅解决了椭球的形状和大小。要把地面观测值归算到椭球面上进行计算，还必须确定它同大地水准面间的相关位置，这就是地球椭球的定位和定向。一个形状、大小和定位、定向都已确定的地球椭球称之为参考椭球。它是与局部地区的大地水准面符合的最好的一个地球椭球体大地体：似大地水准面包围的形体，物理模型第二章地图的数学基基础第二节地球坐标系与大地坐标30°40'28.15"N104°8'21.30"E1坐标系地面点或空间目标的位置需要由三维数据来决定。即由确定平面位置的坐标系和确定空间高度的高程来决定。2地理坐标的构成子午线赤道经线纬线本初子午面3地理坐标分类天文经纬度坐标*大地经纬度地心经纬度?同一点的经纬度唯一吗同一点的不同类型（天文经纬度、大地经纬度和地心经纬度）的经纬度不唯一，不同点的同一类型的经纬度唯一。天文经纬度、大地经纬度和地心经纬度定义不同，参考系统不同，适用于不同的情况。

天文经度：观测点天顶子午面与本初子午面之间的两面角

天文纬度：铅垂线（重力线）与赤道面之间的夹角；大地经度：观测点大地子午面与本初子午面之间的两面角，

大地纬度：椭球垂直线(法线)与赤道面之间的夹角；地心经度：观测点大地子午面与本初子午面之间的两面角，

地心纬度：观测点和球心连线与赤道面之间的夹角。4我国的大地坐标系世界各国基本都有自己国家的坐标系，我国的大地坐标系包括过去使用的1954北京坐标系，和现在使用的1980国家大地坐标系1980坐标系的大地原点设在陕西省泾阳县A=6378140m（赤道半径）f=1:298.257（扁率）5

地球的高程系统高程：是由高程基准面起算的高度。高程基准面：是根据验潮站所确定的多年平均海水面而确定的。海拔高程：地面点至平均海水面垂直高度，也成为海拔高度、绝对高程通常被称之为海拔或高程。高差：地面点之间的高程差，也称相对高程。高程控制：为测定地面点高程所建立的基本控制。高程控制点：起高程控制的地面点。或称为水准点。第二章地图的数学基础第三节地图投影地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法。地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。1地图投影的产生地图表面和地球球面的矛盾地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。2地图投影的定义球面上任一点的位置是用地理坐标（φ、λ）表示的，而平面上点的位置是用直角坐标（纵坐标是x,横坐标是y）表示的，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。3地图投影的实质球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，所以实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网后，就可以将球面上的地理事物，按照其所在的经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。由此看来，地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。4地图投影的方法几何投影（透视投影）假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。解析投影随着科学技术的发展，几何透视法远远不能满足编制各种类型地图的需要，这样推动了地图投影的发展，出现了解析法。所谓解析法就是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系。 X=f1(φ、λ) Y=f2(φ、λ)

函数的f1f2具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系式，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。5地图投影的变形变形的概念由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须了解投影后产生得变形，所以投影变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。地球仪上经纬网的特点

1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。

2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。

3.经线和纬线是相互垂直的。

4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。

5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。地球椭球面是不可展的面，将地球椭球面投影到平面上必然要产生变形。无论那种地图投影法都有变形，包括长度变形、面积变形、角度变形或形状变形。有的投影图上，几种变形都存在，也有的投影图上可使面积无变形，而角度变形较大；也可使角度无变形，而面积变形较大；还可以在某个特定方向上使长度无变形。第二章地图的数学基基础第四节常用的地图投影1按构成方法几何投影方位投影圆住投影圆锥投影非几何投影伪圆锥投影伪圆柱投影多圆锥投影几何投影⑴方位投影以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。一般用于编制极地和半球的地图

正方位投影横方位投影斜方位投影⑵圆住投影以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。一般用于编制世界地图与赤道附近的区域地图

正圆柱投影横圆柱投影斜圆柱投影⑶圆锥投影以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。适于编制中纬度国家和区域地图

正圆锥投影横圆锥投影斜圆锥投影非几何投影不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆住投影、伪圆锥投影和多圆锥投影2按变形性质地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，根据变形特征可分为：等角投影等积投影任意投影伪圆锥投影伪圆柱投影多圆锥投影等角投影（正形投影）角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图等积投影投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。任意投影任意投影是既不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影，即误差椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等。3高斯-克吕格投影由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。即等角横切椭圆柱投影。假想用一个圆柱横切于地球椭球体的某一经线上，这条与圆柱面相切的经线，称中央经线。以中央经线为投影的对称轴，将东西各3°或1°30′的两条子午线所夹经差6°或3°的带状地区按数学法则、投影法则投影到圆柱面上，再展开成平面，即高斯-克吕格投影，简称高斯投影。这个狭长的带状的经纬线网叫做高斯-克吕格投影带。这种投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。随远离中央经线，面积变形也愈大。若采用分带投影的方法，可使投影边缘的变形不致过大。我国各种大、中比例尺地形图采用了不同的高斯-克吕格投影带。其中大于1∶1万的地形图采用3°带；1∶2.5万至1∶50万的地形图采用6°带。4双标准纬线圆锥投影双标准纬线圆锥投影，是假象圆锥和地球椭球体旋转轴重合并套在椭球体上，圆锥面与地球椭球面想割，将经纬网投影于圆锥面上展开而成。其经线表现为辐射的直线束，纬线为同心圆弧第二章地图的数学基基础第五节地图的比例尺由于地图投影的原因会造成地图上各处的缩小比例不一致性，因此，进行地图投影时，应考虑地图投影对地图比例尺的影响。电子地图出现后传统的比例尺概念发生新变化，在以纸质为信息载体的地图上，地图内容的选取、概括程度、数据精度等都与比例尺密切相关，而在计算机生成的屏幕地图上，比例尺主要表明地图数据的精度。屏幕上比例尺的变化，并不影响上述内容涉及的地图本身比例尺的特征。１地图比例尺的含义当制图区域比较小，景物缩小的比例也比较小时，由于采用了各方面变形都比较小的地图投影，因此，图面上各处长度缩小的比例都可以看成是相等的。在这种情况下，地图比例尺的含义，具体指的是图上长度与相应地面之间的长度比例。２地图比例尺的表示1.比例尺的表示传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式：（1）数字式比例尺如1∶10000（2）文字式比例尺如图上1厘米等于实地1千米（3）图解比例尺：可分为直线比例尺、斜分比例尺和复式比例尺。

直线比例尺，是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的地面距离。

斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一复式比例尺又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。３地图的比例尺系统各个国家的地图比例尺系统是不完全相同的，特别是有些国家采用英制。我国采用十进制米制长度单位，规定了８种比例尺为国家基本地图的比例尺系列第二章地图的数学基基础第六节地图定向1地图定向确定地图上图形的地理方向叫地图定向三北方向线真北：过地面上任意一点，指向北极的方向，叫真北。其方向线叫真北方向线或真子午线。地图上东西内图廓就是真子午线。磁北：过地面上任意一点，磁针所指的北方，叫磁北。其方向线叫磁北方向线或磁子午线。地图上P、P′点或磁北、磁南点的连线叫磁子午线。坐标纵线北：地图上坐标纵线所指的北方，叫坐标纵线北。三个方位角真方位角：从真子午线北段顺时针方向量至某一直线的水平角，叫真方位角。磁方位角：从磁子午线北端顺时针方向量至某一直线的水平角，叫磁方位角。坐标方位角：从坐标纵线北端顺时针方向量至某一直线的水平角，叫坐标方位角。三种偏角

由于真北、磁北、坐标纵线北在一般情况下方向是不一致的，所以三者之间互相形成三种偏角。磁偏角：以真子午线为准，磁子午线与真子午线的夹角。磁子午线东偏为正，西偏为负，磁偏角是实测得来的，由于磁偏角因地而异，所以图幅的磁偏角是本图幅几个点的平均值。坐标纵线偏角（子午线收敛角）以真子午线为准，坐标纵线与真子之间的夹角。东偏为正，西偏为负，在投影带的中央经线以东的图幅均为东偏，以西的图幅均为西偏。磁坐偏角：以坐标纵线为准，坐标纵线与磁子午线之间的夹角。磁子午线东偏为正，西偏为负。磁子午线真子午线坐标纵线磁北方向真北方向坐标北方向磁偏角子午线收敛角磁坐偏角10

°16’15°4’25

°20’地图定向演示偏角与方位角间的换算关系：坐标方位角=磁方位角+磁坐偏角磁方位角=坐标方位角+磁坐偏角真方位角=坐标方位角+坐标纵线偏角注意偏角的正负号第二章地图的数学基基础第七节地图分幅与编号对于一个确定的制图区域来说，要求地图内容比较概略，采用较小的比例尺，才有可能将全区域绘制于一张图纸上。若需要增加地图内容，便需要采用较大比例尺，比例尺增大将引起地图幅面的增加，这样就不可能在一张图纸上描绘出来，则需要进行地图分幅。1地图的分幅矩形分幅拼接分幅不拼接分幅经纬分幅经纬分幅是当前全世界各国地形图和大区域的小比例尺地图采用的主要分幅方式我国的基本本比例尺地图就是以经纬分幅制作的。它们是以1：100万地图为基础，按照规定的经差合纬差划分图幅，行列数和图幅数成简单倍数的关系。矩形分幅我国基本比例尺地图经差纬差与图幅数比例尺1:1001:501:251:101:51:2.51:11:0.5图幅范围经差6°3°1°30’30’15’7’30”3’45”1’52.5”纬差4°2°1°20’10’5’2’30”1’15”图幅数量141614457623049216368641：100万地形图按经差6°纬差4°分幅。以经差6°将整个地球划分成60个纵列；由赤道向南北至纬度±88°，以纬差4°各划分成22个横行在纬度60°~76°内，按经差12°纬差4°分幅在纬度76°~88°内，按经常24°纬差4°分幅在纬度88°以上圆形极地地区，以极点为中心，单独成一幅图2国家基本比例尺地形图的分幅编号截止1990年地形图的图解法分幅编号系统（一）1：100万地形图的分幅和编号分幅：经差6°纬差4°由经度180°开始按经差6°自西向东将全球分成60纵行，用1.2……60表示由赤道开始，按纬差4°将南北半球各分成22横列，依次用字母A.B……V表示编号:每幅1：100万地形图的编号是由列号和行号所组成，列号在前，行号在后，中间连一短线，如北京所在图幅，J-50(北京116°05′15″E39°50′10″N)（二）1：50万；1：25万；1：10万地形图分幅和编号1：50万：按经差3°纬差2°分幅。每幅1：100万图含4幅1：50万图。代码为A,B,C,D。

例：J-50-AADBCJ-50->1:50J-50-A1：25万：按经差1°30′纬差1°分幅，1：100万一幅地形图含16幅1：25万地形图。代码为a,b,c,d。编号：在1：50万图幅编号后加上该代码。例：J-50-A-bADBCabdcJ-50->1:25J-50-A-b1：10万：按经差30′纬差20′分幅，每幅1：100万图含144幅1：10万图，代码为1、2...144，编号是在1：100万的编号后加上自然序数代码。例：J-50-5J-50->1:10J-50-551：5万：分幅按经差15′纬差10′分幅，每幅1：10万图含4幅1：5万地形图。编号是在1：10万图编号后加上自己的序号A、B、C、D例：J-50-5-BJ-50-5->1:5J-50-5-BABDC1：2.5万：按经差7′30″，纬差5′分幅，每幅1：5万图含4幅1：2.5万地形图。代码为1、2、3、4。例：J-50-5-B-4J-50-5->1:2.5J-50-5-B-4ABDC12341：1万：按经差3′45″，纬差2′30