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半无限长杆中卸载边界的传播特性翟文宇2014年5月9日

从前面的章节可知，除了在卸载扰动是强间断或塑性加载扰动是强间断的情况外，一般情况下弹塑性边界并非应力扰动、应变扰动或指点速度扰动本身的传播轨迹。弹塑性边界虽然不是力学扰动本身的传播，但它的位置也随时间变化，这就是所谓的弹塑性边界的传播。前言正文边界传播速度局部线性化法边界传播速度

弹塑性边界的传播速度一般是随着弹塑性波相互作用过程的进行而不断地变化着的，可以前进，可以后退。

从加载——卸载的角度看，弹塑性边界有从弹性区发展到塑性区的加载边界，也有从塑性区卸载到弹性区的卸载边界。对于半无限长杆，弹塑性加载波是简单波，因此加载边界容易确定，困难主要在于卸载边界的确定。接下来我们用特征线法来分析一下半无限长杆中弱间断卸载边界的一般传播特性，讨论一下传播速度到底主要取决于哪些因素。边界传播速度如图所示，考察弱间断卸载边界

（或者其反演）上任意一点及其邻近点，它们通过卸载区中的点以特征线相联系，其中是卸载区中左行特征线而是卸载区中右行特征线。在塑性加载区一侧，经点的左行特征线与经点的右行特征线交于N点。边界传播速度由沿特征线的相容条件：和沿特征线的相容条件：消去，并考虑到在半无限长杆的情况下和之间应满足简单波关系式：则可以得到：边界传播速度由特征线和表达式：来求和对时间的偏导数，考虑到和是相互独立的，及，可得于是根据公式（4）可得边界传播速度当时，可得弱间断卸载边界上任意一点处与之间的关系如下：另一方面，在塑性简单波区中，沿右行特征线有：而由特征线的表达式有：边界传播速度将式（10）带回式（9），并令，则可得上任一点处与间的如下关系：

和均为已知，因而式（8）和式（11）消去后，就得到上任意点处卸载边界传播速度与该点处和三者间的关系如下：边界传播速度可以解出得在现在所讨论的情况下，表示由塑性区进入弹性区的卸载边界。只要和不同时为零，则必定异号。于是由式（12）可知：这说明半无限长杆中卸载边界传播速度之值必在弹性波速值和塑性波速值之间。局部线性化法

对于解正问题，有一种有效的近似方法，叫做局部线性化法。其基本思想为：把上述结果用于杆端，由于杆端处的载荷条件已作为边界条件给出，其对t的各阶偏导数均属已知，因而由卸载开始时和对t的各阶偏导数中不同时为零的阶数最低者，即可按照下式确定卸载边界的初始传播速度，也即平面上

在点的初始斜率。局部线性化法只要把初始段取得足够短，就可以近似看做直线由所确定，而上的应力值和质点速度值可根据塑性加载区的已知解来确定，于

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