第十二章振动与波

第十二章振动与波简谐振动是最简单、最基本的振动。周期振动：由不同频率的简谐振动的叠加。非周期振动：由无限多个简谐振动合成。xot锯齿波A03050锯齿波频谱图xot阻尼振动曲线阻尼振动频谱图oA12.1.2弹簧振子动力学方程运动学方程（振动表达式）12.1.3单摆（1）简谐振动特征量：圆频率周期频率

描述简谐振动的物理量振幅初相位相位与初始条件有关（2）简谐振动的速度和加速度：其中、分别称为速度振幅和加速度振幅。加速度：速度：位移：12.1.5简谐振动的旋转矢量表示法0xA12.1.6简谐振动的能量以弹簧振子为例动能势能弹簧受到的力平均值机械能动能、势能交替转换，简谐振动系统机械能守恒。讨论：1、此结论适合其他简谐振动形式。2、单摆k＝mg/l,弹簧k－弹性系数。例

两个小球都在竖直方向上作同周期的简谐振动，第二个小球的振幅恰是第一个小球振幅的两倍；当第一个小球自振动的正方向回到其平衡位置时，第二个小球恰在正方向的端点，如第一个小球的振动方程为：求第二个小球的振动方程，并指出其位相差。12.2阻尼振动动力学方程，

令12.2.1弱阻尼时的衰减振动

x（t）=A0e-βtcos（ωt+)

xtO阻尼振动位移时间曲线12.2.2过阻尼时的衰减振动12.2.3临界阻尼tx过阻尼振动临界阻尼振动过阻尼振动和临界阻尼振动位移时间曲线12.3受迫振动共振受迫振动的动力学方程

解为共振:对一确定的振动系统，当强迫力角频率取某一值时，受迫振动的振幅达到极大值，这种现象称为共振。共振时的强迫力角频率称为共振角频率。12.4振动的合成12.4.1同方向同频率简谐振动的合成合振动仍为简谐振动0012.4.2.同方向不同频率简谐振动的合成——不是简谐振动设两振动的振幅和初相位相同合振动如图研究

相近情况tox1x2随时间变化非常缓慢拍合振幅变化的频率即拍频

在声振动和电振动中经常遇到拍的现象。例如可以利用拍校正乐器，测定超声的频率，制作产生颤音的双簧片等等。to12.4.3振动方向垂直频率相同的两简谐振动的合成合振动的轨迹1)

相位差或时仍为简谐振动，但是振动方向改变了2)

相位差时时轨迹为圆轨迹为正椭圆右旋一般来说,轨迹为内切于2Ax和2Ay的斜椭圆。椭圆的形状与有关。3)

一般情况12.4.4不同频率,互相垂直的两个简谐振动的合成两振动的频率成简单的整数比时，合成运动的轨道是封闭曲线，具有周期性。－－称为李萨如图形。12.5振动的分解频谱一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动xot锯齿波A35锯齿波频谱图12.6平面简谐波波动：物理量在空间一处扰动，以一定速度通过空间传播，是振动状态的传播。12.6.1机械波的产生和传播简谐波：波源作简谐振动。任何复杂波可看成简谐波的合成.t=00481620············12·················t=T/4·····················t=T/2································t=3T/4·······················t=T····················12.6.2纵波和横波纵波:振动方向与波的传播方向相同；横波:振动方向与波的传播方向垂直；固体介质内部既能传播纵波又能传播横波；在气体和液体内部只能传播纵波。12.6.3描述波动的三个基本物理量波长

:

振动在一个周期中传播的距离波的周期T：波传过一个波长的时间波速u(相速）:单位时间波所传过的距离——表示波在空间中的周期性——表示波在时间上的周期性（振速波阵面（或相面、波面）某时刻介质内振动相位相同的点的轨迹平面波波线波面球面波波面波线波线表示波的传播方向，在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直。波前：某时刻处在最前面的波阵面。波前波前12.6.4波的几何描述12.6.5简谐波的表达式以横波为例说明一维简谐波的表达式(不考虑波的吸收，振幅不变化）已知O点振动表达式：O点的振动状态经过Δt后才传到P点；即P点的振动状态是O点在(t-Δt)时刻的状态xyop任一质点P在t时刻的振动为：如果波沿-x轴方向传播波的表达式为：一维简谐波的表达式：与x轴方向相同，取：“－”号与x轴方向相反，取：“＋”号波的表达式的物理意义:（1）当x

一定时，给出x

处的位移—时间曲线(振动曲线y(t))。(2)当t一定时，给出给定时刻的y—x曲线即波形图y(x)。给出同一时刻波线各质点的位移分布情况。（3)当t和x都变化时，波的表达式描述了波形的传播。例已知一列波的表达式是

y=Acos(Bt–Cx+D),

求振幅、周期、波速、波长、振速。例一质点作简谐振动，取质点过0.1cm

处往y轴正向为起始时刻，所激起的横波沿x轴正向传播，，求波的表达式。12.6.6波的能量声波1.媒质元的能量弹性介质中传播一简谐波体积ΔV，密度ρ的任一小质元的振动动能为：经计算，势能为：小质元的总能量为：讨论：（1）任意时刻，动能与势能同时达到最大或最小，不同于振动。（2）总能量随时间周期性变化，与相邻质元进行能量传递。波是能量传播的一种形式。平均能量密度：能量密度在一个周期中的平均值2.平均能量密度能量密度：3.平均能流密度单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。平均能流密度即波的强度（光强，声强，平均坡印廷矢量）平面简谐波：单位时间内通过S1和S2的能量相等表达式：假设媒质均匀不吸收能量4.平面波和球面波的振幅球面简谐波：单位时间内通过S1和S2的能量相等表达式：

其中，单位称为分贝。（dB）2.声强级声强1.正常人听声范围20<<20000Hz.I下

<I<I上12.6.7惠更斯原理波的衍射惠更斯原理

媒质中任一波阵面上的各点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。平面波t+t时刻波面·····utt时刻波面球面波··············tt+t惠更斯作图法解释反射、折射波的衍射

波动在传播的路程中遇到障碍物或孔隙时，能够绕过障碍物或孔隙的边缘前进，这种现象叫波的衍射。不足：不能解释波的强度及为什么只考虑向前传播的波。2.

波的干涉

当两列波在空间传播时，有的地方的振动始终加强，有些地方的振动始终减弱，空间有一稳定的强度分布。这种现象称为波的干涉。波的叠加原理干涉1.

波的叠加原理波的相干条件：

ⅰ.同频率ⅱ.同振动方向（或有同振动方向的分量）ⅲ.相位差恒定振幅为：强度为：振动相位差波源相位差振动同方向两列波在p点引起的振动：驻波：

驻波是由两个同频率、同振动方向、振幅相等、传播方向相反的两个简谐波的合成。

合成后各点都以角频率ω作简谐振动，但在不同的坐标处，各质点的振幅不等。波腹波节弦线上形成稳定的驻波的条件

n＝1，基频n>1,谐频设波相对介质的速度为u，波源的速度为周期频率分别为观察者速度：接收者接收到的频率12.6.9多普勒效应观察者OS波源u2）波源不动，观察者以速度相对媒质运动接收频率提高！A）观察者朝向波源运动ut+1