初中数学北师大版七年级下册第四章三角形4．1认识三角形（市一等奖）

认识三角形考点、热点回顾一、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边。二、三角形三个内角的和等于180°。三、三角形的分类：锐角三角形（三角形的三个内角都小于90°）；直角三角形（三角形有一个角是90°）；钝角三角形（三角形有一个角大于90°）。四、由三角形一条边和另一条相邻边的延长组成的角叫做该三角形的外角。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。五、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。角平分线上的点到角两边的距离相等。六、在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。中垂线？垂线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。七、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的面积等于底乘于高除以2。同高等底的两个三角形面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。即已知△ABC的中线AD，则2S△ABD=2S△ACD=S△ABC一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。例题：△ABC中,∠B=80°∠C=40°,BO、CO平分∠B、∠C，则∠BOC=4、中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。简称三角形的中线。一个三角形共有三条中线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。如图,已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm,AD=4cm,▲ABD的周长是12cm,求BC的长.5、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。小结：（1）锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点。（2）直角三角形的三条高交于直角顶点处。（3）钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部。典型例题在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A与∠B的和大12°，求这个三角形的三个内角的度数．【分析】因为三角形的三个内角的和是180°，而已知这三个内角之间具有一定的数量关系，因此可用代数的方法列出相应的等式，求出三个内角的度数，这是解几何题中常用的方法．【解】设∠B的度数为x，那么∠A的度数为2x，∠C的度数为x+2x+12．由三角形三内角和为180°，得2x+x+（2x+x+12）=180°，解得x=28°．则2x=56°，x+2x+12=96°，∴三个内角分别为28°，56°，96°．【例2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】解决本题这类问题的基本方法是利用三角形内、外角的性质，将各个角集中到一个三角形或若干个三角形中，然后根据三角形的内角和等于180°，计算它们的和．【解】∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．∵∠FGC是△DEG的外角，∴∠FGC=∠D+∠E（同理）．在△CGF中，∠C+∠CGF+∠CFG=180°（三角形三个内角和等于180°）．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．【例3】如图，试说明∠A+∠ABC+∠C=∠ADC．【分析】四边形中的问题往往转化为三角形来解决．本题通过添加辅助线，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和来说明．【解】连结BD并延长BD至E．在△ABD中，∠ADE=∠ABD+∠A，在△BCD中，∠CDE=∠CBD+∠C．又∠ADC=∠ADE+∠CDE，所以∠ADC=∠ABD+∠A+∠CBD+∠C=∠A+∠ABC+∠C．基础训练1．如图1，在△ABC中，与△ACB相邻的一个外角等于110°，∠A=40°，则∠B的度数是（D）A．30°B．50°C．60°D．70°（1）(2)(3)(4)2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是（C）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定形状3．如图2，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3=4：3：2，则∠ABC等于（A）（注意：三角形三内角和为180°，三外角和为360°）A．60°B．80°C．90°D．100°4．已知如图3，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E五个角的和的度数是（B）（注意：五角星之和为180°）A．100°B．180°C．360°D．540°5．已知在△ABC中，∠A+∠B=107°，则∠C的外角度数为___107°__．6．如图4，用“＜”连结∠A、∠1、∠2：_∠A＜∠2＜∠1_．7．已知在△ABC中，若∠A比∠B大20°，外角∠ACD=96°，则∠A=_58_°_，∠B=_38°__．8．如图，在四边形ABCD中，∠B=70°，∠C=50°，在顶点D的一个外角为100°，则在顶点A的一个外角∠x=__20°．（注意：四边形角度之和为360°）如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．如图，已知∠B=∠ACB=75°，∠BDE=3∠E，试求∠ADE的值．135°提高训练11．如图，△ABC中，D为△ABC内一点，已知∠BDC=100°，∠1=30°，∠2=20°，求∠A的度数．12．如图:（1）图甲是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）图甲中的点A向下移到BE上（如图乙），五个角的和有无变化？说说你的理由；（3）图乙中的点C向上移到BD上（如图丙），五个角的和有无变化？说说你的理由．应用拓展13．如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形．如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形内部，那么这些三角形的所有的内角之和为（）A．360°B．900°C．1260°D．1440°14．设A、B、C、D为平面上的任意四点，如果其中任何三点不在一条直线上，则△ABC、△ABD、△ACD、△BCD中至少有一个三角形的某个内角满足（）A．不超过15°B．不超过30°C．不超过45°D．都不对答案:1．D2．C3．A4．B5．107°6．∠A<∠2<∠17．58°3