高中数学北师大版1第一章常用逻辑用语

章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，是命题的个数是()①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈NA．1B．2C．3D．4【解析】由命题的概念，知①不是命题，②③④是命题．【答案】C2．若命题p：任意x∈R,2x2＋1>0，则﹁p是()A．任意x∈R,2x2＋1≤0B．存在x∈R,2x2＋1>0C．存在x∈R,2x2＋1<0D．存在x∈R,2x2＋1≤0【解析】﹁p是特称命题，即存在x∈R,2x2＋1≤0.【答案】D3．命题“已知a，b都是实数，若a＋b>0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b>0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.【答案】C4．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.【答案】A5．(2023·陕西高考)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】cos2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cosα＝±sinα.由cosα＝sinα可得到cos2α＝0，反之不成立，故选A.【答案】A6．对任意x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是()A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0【解析】由题意kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，①当k＝0时，－1＜0恒成立；②当k≠0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜0，,Δ＝k2＋4k＜0，))解得－4＜k＜0.由①②知，－4＜k≤0.【答案】C7．关于命题p：存在x∈R，使sinx＝eq\f(\r(5),2)；命题q：任意x∈R，都有x2＋x＋1>0.下列结论中正确的是()A．命题“p且q”是真命题B．命题“p且(﹁q)”是真命题C．命题“(﹁p)或q”是真命题D．命题“(﹁p)或(﹁q)”是假命题【解析】∵eq\f(\r(5),2)>1，∴p命题为假命题；又在x2＋x＋1>0中，Δ<0.∴x2＋x＋1>0恒成立．∴q为真命题．∴(﹁p)或q为真命题．【答案】C8．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．－3<m<1 B．－4<m<2C．0<m<1 D．m<1【解析】直线与圆有两个不同交点⇔eq\f(|1＋m|,\r(2))<eq\r(2)，即－3<m<1，故0<m<1是－3<m<1的充分不必要条件．【答案】C9．下列说法错误的是()A．如果命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”C．若命题p：存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0－3<0，则﹁p：对任意的x∈R，x2＋2x－3≥0D．“sinθ＝eq\f(1,2)”是“θ＝30°”的充分不必要条件【解析】对于D选项，由sinθ＝eq\f(1,2)，得θ＝30°＋k·360°或θ＝150°＋k·360°(k∈Z)；若θ＝30°，则sinθ＝eq\f(1,2).所以“sinθ＝eq\f(1,2)”是“θ＝30°”的必要不充分条件．【答案】D10．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋eq\f(1,4)<0；命题q：存在x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2)，则下列判断正确的是()A．p是真命题 B．q是假命题C．﹁p是假命题 D．﹁q是假命题【解析】∵任意x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≥0恒成立，∴命题p假，﹁p真；又sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝1时，sinx＋cosx＝eq\r(2)，∴q真，﹁q假．【答案】D11．以下判断正确的是()A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题B．命题“任意x∈N，x3>x”的否定是“存在x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件【解析】∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；又∵对全称命题“任意x∈N，x3>x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；又∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期T＝π时，有eq\f(2π,|2a|)＝π，∴|a|＝1eq\o(⇒,\s\up0(/))a＝1.故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．【答案】D12．f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1＜3}，Q＝{x|f(x)＜－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是()A．t≤－1B．t＞－1C．t≥3D．t＞3【解析】P＝{x|f(x＋t)＋1＜3}＝{x|f(x＋t)＜2}＝{x|f(x＋t)＜f(2)}．Q＝{x|f(x)＜－4}＝{x|f(x)＜f(－1)}，因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t＜2}＝{x|x＜2－t}，Q＝{x|x＜－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则有2－t＜－1，即t＞3，选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________.【导学号：63470019】【解析】否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零．否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．【答案】若abc＝0，则a、b、c全不为零若abc≠0，则a、b、c全不为零14．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．【解析】由条件可以作出图示如图，∴p是t的充分不必要条件，r是t的充分必要条件．【答案】充分不必要充要15．已知命题p：x2＋2x－3＞0，命题q：eq\f(1,3－x)＞1，若“﹁q且p”为真，则x的取值范围是__________．【解析】因为“﹁q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，eq\f(x－2,x－3)＜0，即2＜x＜3，所以q假时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1或x＜－3，,x≥3或x≤2，))得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.【答案】(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)16．给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是__________．【解析】对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0，因此③不正确；对于④，由题意得，eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(3)，若B＝60°，则sinA＝eq\f(1,2)，注意到b＞a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝eq\f(\r(3),2)，由于b＞a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.【答案】①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若x2－5x－14＝0，则x＝7或x＝－2；(2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，则ab＝cd.【解】(1)逆命题：若x＝7或x＝－2，则x2－5x－14＝0.是真命题．否命题：若x2－5x－14≠0，则x≠7且x≠－2.是真命题．逆否命题：若x≠7且x≠－2，则x2－5x－14≠0.是真命题．(2)逆命题：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d，是假命题；否命题：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd，是假命题；逆否命题：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d，是真命题．18．(本小题满分12分)写出下列命题的“﹁p”命题，并判断它们的真假．(1)p：任意x，x2＋4x＋4≥0.(2)p：存在x0，xeq\o\al(2,0)－4＝0.【解】(1)﹁p：存在x0，xeq\o\al(2,0)＋4x0＋4<0是假命题．(2)﹁p：任意x，x2－4≠0是假命题．19．(本小题满分12分)求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．【证明】充分性：当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－eq\f(a,2)，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－eq\f(1,b)，如果a＋2b＝0，那么k1k2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b)))＝－1，两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b)))＝－1，所以a＋2b＝0；若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0.所以，a＋2b＝0.综上所述，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．20．(本小题满分12分)设p：关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个真命题，求a的取值范围．【解】当p真时，0<a<1，当q真时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－4a2<0，))即a>eq\f(1,2)，所以p假时，a>1，q假时，a≤eq\f(1,2).又p和q有且仅有一个真命题．当p真q假时，0<a≤eq\f(1,2)，当p假q真时，a>1.综上所述得，a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知p：－2≤1－eq\f(x－1,3)≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【导学号：63470020】【解】由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m.∴﹁q：A＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}．由－2≤1－eq\f(x－1,3)≤2，得－2≤x≤10.∴﹁p：B＝{x|x<－2或x>10}．∵﹁p是﹁q的必要不充分条件，且