高中数学苏教版第二章平面向量 第2章向量的数乘

第2章平面向量向量的线性运算2.2.3向量的数乘A级基础巩固1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2b B．aC．a－6b D．a－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8答案：D2．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有()(1)a与－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a与λ2a(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．答案：B3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝0.则()\o(AO,\s\up13(→))＝2eq\o(OD,\s\up13(→)) \o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→))\o(AO,\s\up13(→))＝3eq\o(OD,\s\up13(→)) D．2AO＝eq\o(OD,\s\up13(→))解析：因为D为BC的中点，且2eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝2eq\o(OD,\s\up13(→)).所以2eq\o(OA,\s\up13(→))＋2eq\o(OD,\s\up13(→))＝0.则eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝0，因此eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→)).答案：B4．化简eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))的结果是()A．2a－b B．2b－C．b－a D．a－b解析：原式＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(6b－3a)＝2b－a.答案：B5．设四边形ABCD中，有eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))且|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|，则这个四边形是()A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：因为eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))，所以AB∥DC且AB≠DC.所以四边形ABCD是梯形．又|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|，所以四边形ABCD是等腰梯形．答案：C6．已知|a|＝eq\f(3,5)|b|，b与a的方向相反，若a＝λb，则λ＝________.解析：因为|a|＝eq\f(3,5)|b|，b与a的方向相反，所以a＝－eq\f(3,5)b.所以λ＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)7．(2023·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)8．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝__________________．解析：由2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)y＋b＝0，即eq\f(7,2)y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b＝0，所以y＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.答案：eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c9．已知两个非零向量e1和e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up13(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．证明：因为eq\o(BC,\s\up13(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝4e1－8e2，所以eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.又因为eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1＋3e2，所以eq\o(BD,\s\up13(→))＝5eq\o(AB,\s\up13(→)).所以eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(BD,\s\up13(→))共线，且有公共点B.所以A，B，D三点共线．B级能力提升10．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→))＋eq\o(MC,\s\up13(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝meq\o(AM,\s\up13(→))成立，则m＝()A．2B．3C．4D．解析：因为eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→))＋eq\o(MC,\s\up13(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝0.从而有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝－3eq\o(MA,\s\up13(→))＝3eq\o(AM,\s\up13(→))＝meq\o(AM,\s\up13(→))，故有m＝3.答案：B11．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________．解析：eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b.所以m＝－2.答案：－212．已知非零向量e1，e2不共线，且eq\o(AB,\s\up13(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up13(→))＝ke1＋8e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝3(e1－e2)．若A，B，D三点共线，试确定实数k的值．解：因为eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2，又A，B，D三点共线，所以存在唯一实数λ，使得eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→))，即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.又e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ（k＋3）－1＝0，,1－5λ＝0.))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,λ＝\f(1,5).))所以k＝2.13．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up13(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up13(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up13(→))＝－5e－3f.(1)将eq\o(AD,\s\up13(→))用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：