高中数学人教A版第一章集合与函数概念 第一章

新课标数学必修1第一章集合与函数概念1．1集合1．集合的含义与表示第1课时集合的含义[学习目标]1.通过实例了解集合的含义．(难点)2.掌握集合中元素的三个特性．(重点)3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)一、元素与集合的相关概念1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．3．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．4．集合的相等：构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．二、元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．三、常用数集及符号表示数集非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)本班的“帅哥”组成集合．()(2)漂亮的花组成集合．()(3)联合国常任理事国组成集合．()(4)在一个集合中可以有两个相同的元素．()【解析】(1)不正确，因为“帅哥”没有统一标准，即元素不确定，不能组成集合．(2)不正确，因为什么样的花是漂亮的花不确定，不能组成集合．(3)正确．因为联合国常任理事国是确定的，所以能组成集合．(4)不正确．因为集合中的元素满足互异性，所以一个集合中没有两个相同的元素．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．若a∈R，但a∉Q，则a可以是()A．B．－5\f(3,7)\r(7)【解析】由题意知a是实数，但不是有理数，故a为无理数．【答案】D3．方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素．【解析】方程x2－1＝0的解是1，－1；x＋1＝0的解是－1，故这两个方程的解组成的集合中的元素是1，－1，共有2个元素．【答案】24．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“∉”)．【解析】集合A与集合B相等，则A、B两集合的元素完全相同，又1∈A，故1∈B.【答案】∈预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4集合的概念(1)下列给出的对象中，能构成集合的是()A．著名数学家B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数(2)考查下列每组对象能否构成一个集合．①不超过20的非负数；②方程x2－9＝0在实数范围内的解；③某校2023年在校的所有高个子同学；④eq\r(3)的近似值的全体．(3)一元二次方程x2－2x＋1＝0的实数解构成的集合为A，则A的元素个数为________．【解析】(1)由于只有选项D有明确的标准，能组成一个集合，故选D.(2)①对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；②也能构成集合；③“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；④“eq\r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此不能判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．(3)一元二次方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，由元素的互异性知，集合A含有一个元素．【答案】(1)D(2)①②能构成集合③④不能构成集合(3)11．判断给定的对象能不能构成集合，就看所给的对象是不是有确定性．2．互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．元素与集合的关系下列关系中正确的个数为()①eq\r(2)∈Q；②0∉N；③π∉R；④|－4|∈Z.A．1B．2C．3D．4【思路探究】先明确符号Q、N、R及Z的含义，再判断数eq\r(2)，0，π，|－4|与相应数集的关系．【解析】①∵eq\r(2)是无理数，∴eq\r(2)∉Q，故①错误；②∵0是非负整数，∴0∈N故②错误；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．【答案】A1．在求解时常因混淆数集Q、N、R及Z的含义导致误解．2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．用符号∈或∉填空：(1)若A表示由所有质数组成的集合，则1______A，2________A，3________A；(2)eq\r(4)________N*，eq\f(1,3)________Z，eq\r(7)________R.【解析】(1)由2，3为质数，1不是质数得，1∉A，2∈A，3∈A.(2)eq\r(4)是正整数，eq\f(1,3)不是整数，eq\r(7)是实数．【答案】(1)∉∈∈(2)∈∉∈集合中元素特性的简单应用已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．【思路探究】eq\x(令－3＝a－3或－3＝2a－1)→eq\x(解方程求a)→eq\x(检验得a的值)【解】∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3、－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；综上所述，a＝0或a＝－1.1．由于集合A含有两个元素，－3∈A，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，从而做到“不重不漏”．2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．【解】∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2，1，符合题意．故所求a的值为1.1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．2．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，应分类讨论时，必须明确分类标准，才能做到不重不漏．忽视集合中元素的互异性致误已知集合A中含有两个元素为a和a2，若1∈A，则实数a的值为________【易错分析】(1)缺乏分类讨论的意识，看到1∈A，就想当然地认为a＝1，而忽视分类讨论；(2)对元素的互异性缺乏理解，忽视对a＝1和a＝－1的检验致误．【防范措施】(1)解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例中应对何值为1进行讨论．(2)求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例中需对求出的a值进行检验．【解析】根据题意知集合A中含有两个元素为a和a2，且1∈A，所以a＝1或a2＝1，即a＝1或a＝－1.当a＝1时，a2＝1，不符合集合元素的互异性，故a≠1.当a＝－1时，集合A的元素是1和－1，符合集合元素的互异性．故a＝－1.综上所述，a的值为－1.【答案】－1——[类题尝试]—————————————————已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则a＝________．【解析】由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1或a＝－eq\f(3,2).则当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－eq\f(3,2)时，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，所以a＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)课时作业(一)集合的含义eq\a\vs4\al([学业水平层次])一、选择题1．(2023·遵义高一检测)以下各组对象不能组成集合的是()A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的实数解D．周长为10cm的三角形【解析】因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．【答案】B2．设集合A只含有一个元素a，则有()A．0∈AB．a∉AC．a∈AD．a＝A【解析】∵集合A中只含有一个元素a，故a属于集合A，∴a∈A.【答案】C3．由实数x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所组成的集合，最多含()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素【解析】由于|x|＝±x，eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．【答案】A4．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为()A．2B．2或4C．4D．0【解析】若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A若a＝6，则6－6＝0∉A，故选B【答案】B二、填空题5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．【解析】方程x2－5x＋6＝0的解是2，3；方程x2－x－2＝0的解是－1，2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．【答案】36．(2023·石家庄高一检测)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________【解析】∵P与Q相等，∴a2＝4，∴a＝±2，经检验知a＝±2满足题意，故a＝±2，【答案】±27．(2023·天津高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【解析】因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.【答案】0或1三、解答题8．集合A是由形如m＋eq\r(3)n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断eq\f(1,2－\r(3))是不是集合A中的元素．【解】由分母有理化，得eq\f(1,2－\r(3))＝2＋eq\r(3).由题意可知m＝2，n＝1，均有m∈Z，n∈Z，∴2＋eq\r(3)∈A，即eq\f(1,2－\r(3))∈A.9．已知集合A含有两个元素1，2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解的集合，且集合A与集合B相等，求a，b的值．【解】∵集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，∴1∈B，2∈B，∴1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－a，,1×2＝b，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.))eq\a\vs4\al([能力提升层次])1．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】△ABC的三边长两两不等，故选D.【答案】D2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可【解析】由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0，3，2，符合题意．【答案】B3．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________．【解析】由集合中元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠±1，即a∈R且a≠±1.【答案】a∈R且a≠±14．已知数集A满足条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．【解】∵2∈A，由题意可知，eq\f(1,1－2)＝－1∈A.由－1∈A可知，eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)∈A；由eq\f(1,2)∈A可知，eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，eq\f(1,2)，2.

第2课时集合的表示[学习目标]1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)一、列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．二、描述法1．定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．2．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．()(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}相等．()【解析】(1)由集合元素的互异性知(1)错．(2)集合{(1，2)}中的元素为有序实数对(1，2)，故(2)错．(3)∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√2．用列举法表示方程x2－1＝0的解集为__________．【解析】方程x2－1＝0的解为－1，1，所求集合为{－1，1}．【答案】{－1，1}3．集合{x∈N|x≤6}中的元素为____________．【解析】∵{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}∴该集合中的元素为0，1，2，3，4，5，6.【答案】0，1，2，3，4，5，64．用描述法表示大于0且小于9的实数x的集合为________【解析】大于0且小于9的实数x的集合为{x∈R|0＜x＜9}．【答案】{x∈R|0＜x＜9}预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．【解】(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．1．用列举法表示集合，要分清是数集还是点集．2．使用列举法表示集合时应注意以下几点：(1)在元素个数较少或有(无)限但有规律时用列举法表示集合，如集合：{1，2，3}，{1，2，3，…，100}，{1，2，3，…}等．(2)“{}”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；元素无顺序，满足无序性．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【思路探究】用描述法表示集合，解决此类问题要清楚集合中代表元素是什么，元素满足什么条件．【解】(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素．2．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围，如本例(1)，(2)．说明下列各集合表示的含义．(1)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))；(2)B＝{(x，y)|y＝x－3}；(3)C＝{(0，1)}；(4)D＝{(x，y)|x＋y＝1，且x－y＝－1}．【解】(1)A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知A＝{y∈R|y≠0}．(2)B表示的元素是点(x，y)，B表示直线y＝x－3.(3)C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合．(4)D表示一个实数对集，即方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解，解方程组得其解为(0，1)，D是一个单元素集．集合表示方法的简单应用(1)(2023·衡水高一检测)已知集合M＝{a，2，3＋a}，集合N＝{3，2，a2}，若M＝N，则a＝()A．1B．3C．0D．0或1(2)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【思路探究】(1)利用M＝N，两个集合中的元素是一样的，列方程组求解．(2)分a＝0，a≠0两种情况求解．【解析】(1)因为集合M与集合N相等．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,3＋a＝a2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝a2，,3＋a＝3，))对于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,3＋a＝a2，))无解；对于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝a2，,3＋a＝3，))解得a＝0，综上可知a＝0.【答案】C(2)当a＝0时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－eq\f(9,16).故所求的a的取值范围是a≤－eq\f(9,16)或a＝0.1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．2．若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．题(2)中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”其他不变，则a的取值是什么？【解】因为A中有两个元素，所以关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝9＋16a＞0，,a≠0，))即a＞－eq\f(9,16)且a≠0.1．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用逗号“，”分开；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要说明其含义或指出其取值范围．

分类讨论思想在集合表示法中的应用(12分)集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.【思路探究】eq\x(明确集合A的含义)→eq\x(对k加以讨论)→eq\x(求出k值)→eq\x(写出集合A)【满分样板】(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝分此时集合A＝{2}.4分(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.6分只需Δ＝64－64k＝0，即k＝分此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意.10分综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.12分1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，要做到不重不漏．——[类题尝试]—————————————————(2023·山东高考)设集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9【解析】因为A＝{0，1，2}，又集合B中元素为x－y且x∈A，y∈A，所以x的可能取值为0，1，2；y的可能取值为0，1，2.当x＝0时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为0，－1，－2.当x＝1时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为1，0，－1.当x＝2时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为2，1，0.综上可知，集合B＝{－2，－1，0，1，2}，所以集合B中的元素的个数为5.【答案】C课时作业(二)集合的表示eq\a\vs4\al([学业水平层次])一、选择题1．(2023·石家庄高一检测)用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1，1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}【解析】方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．【答案】B2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是()A．0∈AB．1∉AC．－1∈AD．0∉A【解析】∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A.【答案】A3．(2023·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{x|x2＝1}C．{1}D．{y|(y－1)2＝0}【解析】{x|x2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，故选B.【答案】B4．(2023·大纲全国卷)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6【解析】1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．【答案】B二、填空题5．已知A＝{－1，－2，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________．【解析】∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，所以B＝{0，1，2}．【答案】{0，1，2}6．方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解构成的集合用列举法表示是______．【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))∴集合为{(5，－4)}．【答案】{(5，－4)}7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．【解析】∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．【答案】{－1，4}三、解答题8．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8))的解集；(2)所有的正方形；(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．【解】(1)解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))故解集为{(4，－2)}；(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}；(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．9．(2023·福州高一检测)设集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,2＋x)∈N)))).(1)试判断元素1和2与集合B的关系．(2)用列举法表示集合B.【解】(1)当x＝1时，eq\f(6,2＋1)＝2∈N；当x＝2时，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)∉N，所以1∈B，2∉B.(2)令x＝0，1，4代入eq\f(6,2＋x)∈N检验，可得B＝{0，1，4}．eq\a\vs4\al([能力提升层次])1．已知A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定义集合A、B间的运算A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于()A．{1，2，3}B．{2，4}C．{1，3}D．{2}【解析】因为属于集合A的元素是1，2，3，但2属于集合B，所以A*B＝{1，3}．【答案】C2．(2023·山东寿光一中期末)已知集合{x|mx2＋2x－1＝0}有且只有一个元素，则m的值是()A．0B．1C．0或1D．0或－1【解析】由题意知，m＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝0，))∴m＝0或m＝－1，选D.【答案】D3．已知集合A＝{x|2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．【解析】∵1∉A，∴2＋a≤0，∴a≤－2。【答案】a≤－24．集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【解】(1)当a＝0时，方程转化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝{1}，满足条件；(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a≤0，即a≥eq\f(1,2)，此时方程无根或有两个相等的实数根．综合(1)(2)可知，集合M中至多有一个元素时，实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2)))或a＝0)).1．集合间的基本关系[学习目标]1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)一、子集与真子集1．子集与真子集概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.AB(或BA)2．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．二、集合的相等1．条件：A⊆B，且B⊆A.2．表示：A＝B.3．Venn图：三、空集1．定义：不含任何元素的集合，叫做空集．2．符号表示为：∅．3．规定：空集是任何集合的子集．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){0}＝∅.()(2)正整数集是自然数集的子集．()(3)空集是任何集合的真子集．()【解析】集合{0}是以0为元素的集合，是非空集，故(1)错．(2)∵对任意x∈N＋，都有x∈N，∴N＋⊆N，故(2)正确．(3)∵空集不是空集的真子集，∴(3)错．【答案】(1)×(2)√(3)×2．集合{1，2}的子集有()A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】集合{1，2}的子集有∅，{1}，{2}、{1，2}共4个．【答案】A3．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是________．【解析】∵{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，∴1∈{x|x2－1＝0}，又∵－1∈{x|x2－1＝0}，且－1∉{1}，∴{1}{x|x2－1＝0}．【答案】{1}{x|x2－1＝0}4．若集合A＝{1，a}，B＝{3，b}，且A＝B，则a＋b＝________．【解析】∵A＝B，∴集合A，B中的元素相同，故a＝3，b＝1，则a＋b＝4.【答案】4预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4子集、真子集问题(1)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为()A．PTB．PTC．P＝TD．P⃘T(2)(2023·济南高一检测)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}则()A．A＞BB．ABC．BAD．A⊆B(3)满足{x|x2＋1＝0}A⊆{x|x2－1＝0}的集合A的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)由x2－1＝0，得x＝±1，∴P＝{－1，1}，因此PT，故选A.(2)∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，∴对任意x∈B，都有x∈A，又∵0∈A.而0∉B，∴BA.(3){x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故集合A是集合{－1，1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3，故选C.【答案】(1)A(2)C(3)C1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集，∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A含n个元素，那么它子集个数为2n；真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.集合的相等已知集合M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a、b的值．【思路探究】可据集合相等的定义，结合集合中元素的互异性，分类讨论，列出方程组求解．【解】由集合相等的定义和集合中元素的互异性得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，,))解方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))再根据集合中元素的互异性，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))1．解答此类题目的基本方法为：利用集合中元素的特征性质列出方程组求解，求出解后注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．2．根据集合相等的定义，要证明A＝B，应分两步，第一步证明A⊆B，转化为证明对任意x∈A都有x∈B；第二步证明B⊆A，转化为证明对任意x∈B都有x∈A，因此，集合与集合之间的包含关系转化为元素与集合之间的从属关系，这就是“元素分析法”．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，则a2023＋b2023的值为()A．0B．1C．－1D．±1【解析】∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，又a≠0，∴eq\f(b,a)＝0，∴b＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.又a≠1，∴a＝－1，∴a2023＋b2023＝(－1)2023＋02023＝1.【答案】B由集合间的关系求参数(1)已知集合A＝{－1，3，m2}且B＝{3，4}，B⊆A，则m＝________．(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．【思路探究】(1)由B⊆A知集合B的元素都是集合A的元素，从而求出m的值．(2)以集合B是否为空集为标准分类求解．【解析】(1)由于B⊆A，则有m2＝4，解得m＝±2.(2)当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4，))解得a<－4，或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}．【答案】(1)±2(2){a|a<－4，或a>2}．1．利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．2．涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．把例3(2)中的集合A换成“A＝{x|－1<x<2}”，集合B不变，若A⊆B，则实数a的取值范围为________．【解析】∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若A⊆B，如图，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤－1，,a＋3>2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a<－1，,a＋3≥2，))∴实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤a≤－\f(1,2))))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤a≤－\f(1,2)))))1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．处理集合间的关系时要注意以下三点：(1)A⊆B且B≠∅隐含着A＝B和AB两种关系．(2)注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性．(3)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合关系问题中的应用．

忽视空集求参数范围致误已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________【易错分析】解答本题易忽视以下两种情况：一是B＝A，二是B＝∅.【防范措施】在求解集合关系问题时应特别注意以下两种情况：一是任何一个集合是它本身的子集，二是空集是任何集合的子集．【解析】A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，因为B⊆A，所以B＝A或BA.当B＝A时，B＝{－4，0}，即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入得a＝1，此时满足条件，即a＝1符合题意．当BA时，分两种情况：若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，符合题意．综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．【答案】{a|a≤－1或a＝1}——[类题尝试]—————————————————已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的取值是________．【解析】由题意得P＝{－1，1}，又因为Q⊆P，若Q＝∅，则a＝0，此时满足Q⊆P，若Q≠∅，则Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a)))))，由题意知，eq\f(1,a)＝1或eq\f(1,a)＝－1，解得a＝±1.综上可知，a的取值是0，±1.【答案】0，±1课时作业(三)集合间的基本关系eq\a\vs4\al([学业水平层次])一、选择题1．已知集合A＝{0，1}，则下列式子错误的是()A．0∈AB．{1}∈AC．∅⊆AD．{0，1}⊆A【解析】∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确．【答案】B2．集合M＝{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集个数是()A．9B．8C．7D．6【解析】由题意知集合M＝{1，3，5}，故其子集的个数是23＝8.【答案】B3．(2023·河北衡水中学期末)已知集合A＝{2，0，1}，集合B＝{x||x|＜a，且x∈Z}，则满足A⊆B的实数a可以取的一个值是()A．0B．1C．2D．3【解析】集合B＝{x||x|＜a，且x∈Z}，∴B＝{x|－a＜x＜a，x∈Z}，又A＝{2，0，1}，故满足A⊆B的实数a可以取的一个值是3，选D.【答案】D4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】由题意知：A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．【答案】D二、填空题5．集合∅和{0}的关系表示正确的有______．(把正确的序号都填上)①{0}＝∅②{0}∈∅③{0}⊆∅④∅{0}【解析】∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以④正确，①②③不正确．【答案】④6．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________．【解析】因为xy＞0，所以x，y同号，又x＋y＜0，所以x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.【答案】M＝P7．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．【解析】∵∅{x|x2－x＋a＝0}，∴Δ＝(－1)2－4a≥0，∴a≤eq\f(1,4).【答案】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,4)))))三、解答题8．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．【解】因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．9．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a、b的值．【解】∵A＝B且1∈A，∴1∈B.若a＝1，则a2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a≠1，若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍)，∴A＝{1，－1，b}，∴b＝ab＝－b，即b＝0，若ab＝1，则a2＝b，得a3＝1，即a＝1(舍去)，故a＝－1，b＝0.eq\a\vs4\al([能力提升层次])1．(2023·湖北孝感期中)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))，则下列结论中正确的是()A．1∈AB．B⊆AC．(1，1)⊆BD．∅∈A【解析】B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))＝{(1，1)}，故选B.【答案】B2．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(ax－2＝0))))，若B⊆A，则a的值不可能是()A．0B．1C．2D．3【解析】由题意知，a＝0时，B＝∅，满足题意；a≠0时，由eq\f(2,a)∈A⇒a＝1，2，所以a的值不可能是3.【答案】D3．已知：A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，定义某种运算：A*B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B))))，则A*B中最大的元素是________，集合A*B的所有子集的个数为________．【解析】由题意知A*B＝{2，3，4，5}，∴A*B中最大的元素是5，集合A*B有4个元素，∴所有子集个数为24＝16.【答案】5164．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.(1)求实数m的取值范围；(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．【解】(1)①当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅符合题意；②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴如图所示，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).所以0≤m≤eq\f(5,2).综合①②可知，实数m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2，或0≤m≤\f(5,2))))).(2)∵当x∈N时，A＝{0，1，2，3，4，5，6}，∴集合A的子集的个数为27＝128.1．集合的基本运算第1课时并集、交集[学习目标]1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．(难点)一、并集1．定义自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪BA∪B＝{x|x∈A或x∈B}2.性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B二、交集1．定义自然语言符号语言图形语言对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩BA∩B＝{x|x∈A且x∈B}2.性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合M＝{直线}与集合N＝{圆}无交集．()(2)两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数．()(3)若A∩B＝C∩B，则A＝C.()【解析】(1)∵M∩N＝∅，∴(1)错．(2)∵A∪A＝A∩A，∴(2)错．(3)设A＝{0，1}，B＝{1}，C＝{1，2}，则A∩B＝C∩B，但A≠C，故(3)错．【答案】(1)×(2)×(3)×2．(2023·广东高考)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝()A．{0，1}B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2}D．{－1，0，1}【解析】M∪N＝{－1，0，1}∪{0，1，2}＝{－1，0，1，2}．【答案】C3．(2023·课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＝0))))，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}【解析】∵B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＝0))))＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}，∴A∩B＝{2}．【答案】B4．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞1))))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))，则M∪N＝________，M∩N＝________．【解析】由数轴得M∪N＝R，M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜x＜2)))).【答案】Req\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜x＜2))))预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4求并集(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－16＝0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－x－12＝0))))，则A∪B＝()A．{4}B．{－3}C．{－4}D．{－4，－3，4}(2)(2023·成都高一检测)满足A∪{－1，1}＝{－1，0，1}的集合A共有()A．2个B．4个C．8个D．16个(3)已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，则A∪B＝________．【解析】(1)因为A＝{－4，4}，B＝{－3，4}，所以A∪B＝{－4，－3，4}．(2)因为A∪{－1，1}＝{－1，0，1}，所以0∈A，所以A＝{0}或{－1，0}或{0，1}或{－1，0，1}共4个．(3)将x≤－2或x>5及1<x≤7在数轴上表示出来．据并集的定义，图中阴影部分即为所求，∴A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．【答案】(1)D(2)B(3){x|x≤－2，或x>1}1．两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，但应注意集合元素的互异性．2．求涉及不等式表示的集合的并集时，常借助数轴直观求解，此时应特别关注端点值的取舍．求交集(1)(2023·广东高考)设集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＝0，x∈R))))，T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＝0，x∈R))))，则S∩T＝()A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}(2)(2023·课标全国卷Ⅰ)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜3))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜1))))，则M∩N＝________A．(－2，1)B．(－1，1)C．(1，3)D．(－2，3)【思路探究】(1)求出集合S，T的元素，再根据交集的定义求解．(2)借助数轴求解．【解析】(1)集合S＝{－2，0}，T＝{0，2}，则S∩T＝{0}，故选A.(2)由图知M∩N＝(－1，1)，选B.【答案】(1)A(2)B1．两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．2．求涉及不等式表示的集合的交集时，借助数轴求解可化抽象为直观．(2023·福建高考)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}则A∩B的子集个数为()A．2B．3C．4D．16【解析】A∩B＝{1，2，3}∩{1，3，4}＝{1，3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1，3}，共4个．【答案】C并集、交集运算性质及应用(1)(2023·郑州高一检测)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥m))))，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．(2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝A，求a的取值范围．【思路探究】(1)由A∪B＝A，得B⊆A，可求出m的取值范围．(2)由于A∩B＝A，∴A⊆B.结合数轴分A＝∅与A≠∅两种情况分别求解．【解析】(1)A∪B＝A，即B⊆A，所以m≥2.【答案】m≥2(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.①若A＝∅，则2a>a＋3，a>3；②若A≠∅，如图所示：则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,2a>5，))解得a<－4或eq\f(5,2)<a≤3.综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<－4或a>\f(5,2))))).1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．2．集合运算常用的性质：(1)A∪B＝B⇔A⊆B；(2)A∩B＝A⇔A⊆B；(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B等．把本例(2)条件“A∩B＝A”换成“A∩B＝∅”如何求解？【解】A∩B＝∅，A＝{x|2a≤x≤a＋3}；(1)若A＝∅，有2a>a＋3，∴a>3.(2)若A≠∅，如图所示．则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\f(1,2)≤a≤2.综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))≤a≤2，或a>3)).1．在解决有关集合运算的题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于将其转化为文字语言．2．集合的运算可以用Venn图帮助思考，实数集合的交集、并集运算可借助数轴求解，体现了数形结合思想的应用．3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要注意分类讨论思想的应用．转化思想在集合运算中的应用(12分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.【思路探究】eq\x(A∪B＝A)→eq\x(B⊆A)→eq\x(讨论集合B)→eq\x(列方程)→eq\x(求a)【满分样板】由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.3分又A∪B＝A，∴B⊆A.①若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝分②若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝分综上可知，适合题意的实数a所组成的集合C＝{0，1，2}.12分1．等价转化思想．涉及到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题的运算时，常借助于交、并集的定义及集合间的关系等价变形．如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B.2．分类讨论思想．若B⊆A且A≠∅，而集合B受参变量的影响不确定时，应分B＝∅，B≠∅两种情况求解．——[类题尝试]—————————————————设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0}，若A∩B＝B，求实数a的值．【解】因为A∩B＝B，所以B⊆A.因为A＝{－2}≠∅，所以B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，则关于x的方程ax＋1＝0无实数解，此时a＝0.当B≠∅时，此时a≠0，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))又－eq\f(1,a)∈A，所以－eq\f(1,a)＝－2，解得a＝eq\f(1,2).综上所述，所求a的值为0或eq\f(1,2).课时作业(四)并集、交集eq\a\vs4\al([学业水平层次])一、选择题1．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是()A．{－1，2，3}B．{－1，－2，3}C．{1，－2，3}D．{1，－2，－3}【解析】A＝{1，－2}，B＝{－2，3}，∴A∪B＝{1，－2，3}．【答案】C2．(2023·大纲全国卷)设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为()A．2B．3C．5D．7【解析】根据题意画出Venn图，如图所示，则M∩N＝{1，2，6}，有3个元素，故选B【答案】B3．(2023·浙江高考)设集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))，T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤5))))，则S∩T＝()A．(－∞，5]B．[2，＋∞)C．(2，5)D．[2，5]【解析】因为S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))，T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤5))))，所以S∩T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2且x≤5))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2≤x≤5)))).【答案】D4．(2023·课标全国卷Ⅱ)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝()A．{－2，－1，0，1}B．{－3，－2，－1，0}C．{－2，－1，0}D．{－3，－2，－1}【解析】M∩N＝{－2，－1，0}，故选C.【答案】C二、填空题5．已知A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】∵A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，∴A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是斜三角形}．【答案】∅{x|x是斜三角形}6．若集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤2))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥a))))，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________．【解析】当a＞2时，A∩B＝∅；当a＜2时，A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤2))))；当a＝2时，A∩B＝{2}．综上：a＝2.【答案】27．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】利用数轴分析可知，a＞－1.【答案】{a|a>－1}三、解答题8．已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，求A∪B.【解】∵A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，∴eq\f(1,2)∈A，且eq\f(1,2)∈B.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－\f(1,2)a＋b＝0，,b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2)（a＋2）＋5＋b＝0，))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(43,9)，,b＝－\f(26,9)，))∴A＝{x|18x2＋43x－26＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(26,9))).B＝{x|26x2＋25x－19＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(19,13))).∴A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(26,9)，－\f(19,13))).9．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．【解】(1)如下图所示：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B＝∅，∴数轴上点x＝a在x＝－1左侧．∴a≤－1.(2)如图所示：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}且A∪B＝{x|x<1}，∴数轴上点x＝a在x＝－1和x＝1之间．即a的范围为{a|－1<a≤1}．eq\a\vs4\al([能力提升层次])1．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解集分别为A与B，且A∩B＝{3}，则p＋q＝()A．14B．11C．7D．2【解析】∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B，∴32－p×3＋15＝0，32－5×3＋q＝0，解得p＝8，q＝6，∴p＋q＝14.【答案】A2．若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或eq\r(2)或－eq\r(2)或1.经检验，当x＝eq\r(2)或－eq\r(2)时满足题意，故选B.【答案】B3．(2023·成都高一检测)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【解析】设所求人数为x人，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8⇒x＝12.【答案】124．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合．【解】A＝{1，2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，故分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．(1)B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，则Δ＝16－4a<0，解得a>4.(2)B≠∅时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；当Δ>0时，若1，2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解，所以a＝4.所以a的取值集合为{a|a≥4}．第2课时补集及综合应用[学习目标]1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)一、全集1．定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2．记法：全集通常记作U．二、补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言三、补集的性质∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集一定含有元素．()(2)集合∁ZN与集合∁ZN＋相等．()(3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素．()【解析】(1)∵∁UU＝∅，∴(1)错；(2)∵0∉∁ZN，而0∈∁ZN＋，∴(2)错；(3)由补集定义知(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√2．(2023·大纲全国卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA＝()A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【解析】∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁UA＝{3，4，5}．【答案】B3．已知全集U＝R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))，则∁UA等于()．\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞2))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤2))))【解析】∵全集为R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))，∴∁UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2)))).【答案】C4．已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________．【解析】∵∁AB＝{5}，∴5∈A，∴m＝5.【答案】5预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4求补集(1)若全集U＝{0，1，2，3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集的个数为()A．3B．5C．7D．8(2)(2023·成都高一检测)已知A＝{0，2，4，6}，∁SA＝{－1，－3，1，3}，∁SB＝{－1，0，2}，则B＝________．(3)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5|}，则∁UA＝________．【解析】(1)∵U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1，3}，∴集合A的真子集共有23－1＝7个．(2)由题意知S＝AU(∁SA)＝{－1，－3，0，1，2，3，4，6}，又∁SB＝{－1，0，2}，所以B＝{－3，1，3，4，6}．(3)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．【答案】(1)C(2){－3，1，3，4，6}(3){x|x<－3或x＝5}如果全集及其子集是用列举法表示的，根据补集的定义，常借助Venn图求补集；如果全集及其子集是用不等式表示的，常借助数轴求补集．补集的应用(2023·广州高一检测)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＋m≥0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜4))))，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．【思路探究】由条件(∁UA)∩B＝∅知两个非空集合(∁UA)和B没有公共元素，可以利用数轴求解．【解】因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥－m))))，所以∁UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜－m))))，又B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜4))))，(∁UA)∩B＝∅，结合数轴分析可知－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的取舍．本题中将条件“(∁UA)∩B＝∅”，改为“(∁UB)∪A＝R”，