高中数学北师大版第二章平面向量3从速度的倍数到数乘向量

课时提升作业数乘向量一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2023·开远高一检测)0AB→=( C.AB→ D.【解析】选AB→=02.如图,在正方形ABCD中,点E为CD的中点,点F为BC上靠近点B的一个三等分点,则EF→=(1214C.13AB12【解析】选D.在正方形ABCD中,点E为CD的中点,点F为BC上靠近点B的一个三等分点,故EF→=EC→+CF→=12AB→+3.如图,在正方形ABCD中,下列描述中正确的是()A.AB→=BC→ B.ABC.AC→=2AB→ D.|AB→+BC→【解析】选D.在正方形ABCD中,设边长等于1,因为AB→+BC→=AC→,所以|AB→+BC→|AB→-BC→|=|AB→-AD→|=|所以|AB→+BC→|=|AB→-BC4.已知O,A,B是平面上不共线的三点,若点C满足AC→=CB→,则向量OC→等于OA→OB→ B.OAC.12(OA→-OB→) D.12(【解题指南】由于O,A,B是平面上不共线的三点,若点C满足AC→=CB→,可得C是AB【解析】选D.由已知OC→=OA→+AC→,又AC→=CB→,所以OC→=OA→+CB→=OA→+OB→-OC→,故2OC→=OA→5.设M是▱ABCD的对角线的交点,O为任意一点(且不与M重合),则OA→+OB→+OC→+OD→A.OM→ OM→ OM→ 【解析】选D.因为O为任意一点,不妨把A点看成O点,则OA→+OB→+OC→+OD→=0+AB→因为M是▱ABCD的对角线的交点,所以0+AB→+AC→+AD→=2AC→=46.已知OM→=23OA→+13OB→,设AM→=λA.16 B.15 C.14 【解析】选D.因为AM→=λAB所以OM→-OA→=λ(OB→因为OM→=23OA所以-13OA→+13OB即13(OB→-OA→)=λ(OB→-OA→二、填空题(每小题4分,共12分)7.如图所示,已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA→+OC→+OB→=0,则OA→=【解析】因为D为BC的中点,所以OC→+OB→=2OD→,即2OA→+2OD→=0,答案:-8.(2023·如东高一检测)已知向量e1≠0,e2≠0,μ∈R.向量a=μe1+e2,b=2e2,若a与b共线,则下列关系中一定成立的是.①μ=0;②e1∥e2;③e1∥e2或μ=0【解析】当μ=0时,显然a与b共线;当e1∥e2时也有a与b共线,故③一定成立.答案:③【误区警示】本题容易出现错选①②的情况,当①②成立时向量共线,但向量共线①②不一定成立,应理清其中的逻辑关系.9.(2023·宜昌高一检测)已知O,A,M,B为平面上四点,且OM→=λOB→+(1-λ)OA→,λ∈(1,2),则A,B,M【解析】由OM→=λOB→+(1-λ)OA→可得AM→=λAB→,因为λ∈(1,2),因此点答案:B在线段AM上三、解答题(每小题10分,共20分)10.计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b).(2)QUOTE12(3a+2b)-23a-b-7612a+37b(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).【解析】(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=QUOTE1273a+bQUOTE76a+37=76a+12b-76a-12(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6-4+4)a+(-6+8)b+(6-4-2)c=6a+2b.【拓展提升】向量的数乘运算的求解(1)向量的加、减法以及实数与向量的积的运算可类比实数的加、减法与乘法满足的运算法则.因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中也都可以使用.(2)向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的,但它们在形式上类似.11.(2023·南昌高一检测)已知点C在线段AB的延长线上,且ABAC=3(1)用BC→表示AB(2)用CB→表示AC【解题指南】本题中已知条件没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡.【解析】如图①,由已知点C在线段AB的延长线上,且ABAC=34,所以ABAB+BC=3同时可得AC=4CB.(1)如图②,向量AB→与BC→所以AB→=3BC(2)如图③,向量AC→与CB→所以AC→=-4CB一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,则AB→+12(BD→+BC→)A.AG→ B.CG→ C.BC→【解析】选A.AB→+12(BD→+BC→)=AB→2.在△ABC中,AN→=13NC→,P是BN上的一点,若AP→=mAB→+29A.19 B.13 【解题指南】利用数乘向量及向量的加减法,用向量AB→,AC→表示出向量【解析】选A.因为AN→=13NC→,AP→所以AP→=mAB→+89AN→,设BP→=λPN→(λ>0),得AP→=11+λAB→+λ1+λAN→,3.(2023·百色高一检测)若O为平行四边形ABCD的中心,AB→=4e1,BC→=6e2,则6e2-4e1等于(A.AD→ B.BD→ C.AC→ 【解析】选=BC→-AB→=AD→-AB4.(2023·长沙高一检测)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则()=0 =1 =2 =1【解题指南】解答本题的关键是根据e1,e2不共线,分析是否可以找到实数λ,使m=λn.【解析】选D.由题意m=λn,所以-1=-2λ,k=λ,解得k=1【变式训练】a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1,e2共线,则a与b()A.共线 B.不共线C.相等 D.可能共线也可能不共线【解析】选A.因为e1,e2共线,所以存在λ使得e1=λe2,故a=(λ+2)e2,b=(3λ-4)e2,故a与b共线.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2023·江苏高考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE→=λ1AB→+λ2AC→(λ1,λ2为实数),则λ1【解题指南】利用向量加法的三角形法则,将DE→转化为AB→与AC【解析】由DE→=DB→+BE→=12AB→+23BC→=12AB则λ1+λ2的值为12答案:1【变式训练】在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,且AC→=λAE→+μAF→,其中λ,μ∈R,则【解析】AE→=12AB→+AD→,AF故AB→=-23AE→+43AF→故AC→=AB→+AD→=2故λ+μ=43答案:46.(2023·景德镇高一检测)已知在△ABC中,点M满足MA→+MB→+MC→=0,若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→【解题指南】确定点M为△ABC的重心,利用向量的加法法则,即可求得m的值.【解析】由点M满足MA→+MB→+MC→=0,知点M为△ABC的重心,设点D为底边则AM→=23AD→=23×1=13(AB→+AC→),所以AB→+AC→答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.设P是△ABC所在平面内的一点,BC→+BA→=2BP→,证明PC→+【证明】因为BC→+BA→=2BP→,所以点P为线段AC的中点即PC→+PA→=8.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC→=3CD→,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO→=xAB→+(1-x)AC→【解题指南】根据所给的数量关系,写出要求向量的关系式,注意共线的向量之间的三分之一关系,根据表示的关系式和所给的关系式进行比较,得到结果.【解析】设CO→=yBC因为AO→=AC→+CO→==AC→+y(AC→-=-yAB→+(1+y)AC因为BC→=3CD→,点O在线段CD上(与点C,D所以y∈0,1因为AO→=xAB→+(1-x)所以x∈-1【变式训练】如图所示,已知△OAB.(1)若OP→=xOA→+yOB→,且点P在直线AB上,则(2)若正实数x,y满足x+y<1,且有OP→=xOA→+yOB→,试求证点P必在△【解析】(1)由点P在直线AB上得AP→=λAB→=λ(OB→-OA→),