2022-2023学年天津市第四十二中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年天津市第四十二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知数列，则这个数列的第8项为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第8项即可.【详解】由已知条件得∵数列，，，，∴，则故选：.2．我们常用函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由改变到时，函数值的改变量（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平均变化率的概念即可得出结果.【详解】由题意知，当时，；当时，，故.故选D.3．若抛物线​的准线方程为​，则实数​（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】A【分析】先将抛物线方程化为标准方程，求得准线方程为，由题意可得的方程，解得即可求解.【详解】因为抛物线​的方程可化为：，所以准线方程为：，由题意可知：，解得：，故选：A.4．数列中，，当时，等于的个位数字，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知数列是周期型数列，进而求出.【详解】由题意可得，数列中项分别为：故可知数列是周期为的周期数列，.故选：C5．数列是等比数列，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】分析出，再结合等比中项的性质可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，由等比中项的性质可得，因此，.故选：A.6．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，长半轴为，由于椭圆的离心率为，所以椭圆的半焦距为，焦距为，由于曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，，所以曲线的轨迹是双曲线，且实轴长为，半实轴长为，所以虚半轴长为，所以曲线的标准方程为.故选：C7．水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（）A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此与图象越来越陡峭，原来越大，选【解析】函数的单调性与导数的关系.8．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：D.9．已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线的定义可得：，，于是可得，，在中，由余弦定理可得，即可求得离心率的值.【详解】因为，，由双曲线的定义可得：，，则，由，在中，由余弦定理可得，化简得，所以双曲线的离心率.故选：B.二、填空题10．已知是等差数列的前n项和，且，，则的公差______.【答案】【分析】根据已知条件列方程，由此求得公差.【详解】依题意得，解得.故答案为：11．已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为___________．【答案】2【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为，由题可知，过一三象限的渐近线为，即，所以右焦点到渐近线的距离为，又，∴，∴．故答案为:.12．已知等比数列{}的前n项和为，若，，则____________．【答案】63【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】由已知条件得，解得，∴；故答案为：.13．已知是定义在R上的偶函数，则___________．【答案】2【分析】根据偶函数，得到，列出方程，求出，从而求出.【详解】由题意得：，即，故，解得：，故，则.故答案为：214．已知函数，经过点且与相切的两条切线，斜率之和=____________.【答案】1【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义求出切点坐标，得切线斜率即可得．【详解】设切点为．，则，所以，，即，或，，，切线斜率之和．故答案为：1．15．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且＝()．若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为_____．【答案】【分析】先求出，再分离出，最后根据单调性求出最值即可.【详解】，，就是在时单调递增,其最小为,所以，故实数的最大值为,故答案为：．【方法点晴】本题主要考查等差数列列的通项公式及前项和公式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；②数形结合（图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数．本题是先求出的通项公式再利用方法①将求得的最大值．三、解答题16．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).（1）设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）设cn＝，求证：{cn}是等差数列.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据和之间的关系，an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，带入整理可得，即可得证；（2）由（1）知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以即cn＋1－cn＝3，即可得解.【详解】（1）an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.可得，因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.（2）由（1）知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以.所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.17．（1）求经过点的抛物线的标准方程：（2）求一条渐近线为，且过点的双曲线的标准方程；（3）求经过点(3，)，(，5)的双曲线的标准方程．【答案】（1）或；（2）;（3）.【分析】（1）根据点所在的象限设抛物线方程，代入点求得解；（2）根据渐近线方程设出双曲线方程，代入点求解；（3）设所求方程为，代入点求解.【详解】（1）因为在第三象限，设所求抛物线方程为或，点代入，可得，点代入，可得，、故所求抛物线的标准方程为或.（2）因为一条渐近线为，所以设双曲线方程为，又过点，代入方程可得，故所求双曲线方程为.（3）设所求双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为.18．已知{}为等差数列，前n项和为()，{}是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．(1)求{}和{}的通项公式；(2)求数列}的前n项和；(3)设，为数列的前n项和，求不超过的最大整数m．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；（3）求得．，运用数列的裂项相消求和