《线性代数B》强化训练题一解答_第1页
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PAGE5-《线性代数B》强化训练题一解答一、单项选择题1.D2.D3.A4.C5.B二、填空题1.;2.;3.相关;4.5.三、计算下列行列式1.解：2.已知其中试求其中是元素的代数余子式.解：因为又因为所以四、设矩阵矩阵满足其中为的伴随矩阵,是阶单位矩阵,求解：由得即由于可逆,则所以则五、设矩阵求矩阵的列向量组的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示出来.解：对施行初等行变换化为行最简形矩阵:知的秩为,故的列向量组的极大无关组含有个向量,且由行最简形矩阵可得的第一、第二、第四个列向量为列向量组的一个极大无关组;此时的第三、第五个列向量可表示为六、常数取何值时,方程组无解,有惟一解或有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解.解：(1)当且时,,由克莱姆法则知,方程组有惟一解;(2)当时,该方程组的增广矩阵为因为所以方程组无解;(3)当时,该方程组的增广矩阵为因为所以方程组有无穷多解;其通解由上面的行最简形矩阵应得其中为任意常数.七、设且又设有特征值且属于的特征向量为,试求和及的值.解：由于故即,解得此时,显然有八、设二次型其中二次型矩阵的特征值之和为,特征值之积为(1)求的值;(2)求一正交变换把二次型化成标准型(需写出正交变换及标准型).解：(1)二次型的矩阵为设的特征值为则有解得(2)由得的特征值对于特征值故相应的特征向量为规范正交化得对于特征值故相应的特征向量为单位化得令则即为所求矩阵,所求变换为即,即相应的二次型的标准形为九、证明题1．设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示,证明个向量必线性无关.证：设有个数使得因为向量可由向量组线性表示,所以存在个数使得则有如则可由向量组线性表示,矛盾!故则有又由于向量组线性无关,所以则个向量线性无关.2．设矩阵是阶非零矩阵,且满足证明矩阵的秩.证：因为所以则四元齐次线

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